Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu

Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu

Đại học thái nguyên

Trường đại học sư phạm

-Nông Thị Mai

Dưới vi phân của hàm lồi và một số

ứng dụng trong tối ưu

Mục lục

Trang

1.1 Tập lồi 5

1.2 Hàm lồi 11

1.2.1 Hàm lồi 11

1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi 15

1.2.3 Các phép toán bảo toàn tính lồi 15

1.2.4 Bất đẳng thức lồi 16

1.2.5 Hàm liên hợp 16

Chương2 Dưới vi phân của hàm lồi 18 2.1 Đạo hàm theo phương 18

2.2 Dưới vi phân và các tính chất 22

2.2.1 Dưới vi phân 22

2.2.2 Tính khả vi của hàm lồi 30

2.2.3 Tính đơn điệu của dưới vi phân 35

2.2.4 Tính liên tục của dưới vi phân 39

2.2.5 Phép tính với dưới đạo hàm 43

2.3 Dưới vi phân xấp xỉ 45

Chương3 Một số ứng dụng của dưới vi phân trong tối ưu hoá 52 3.1 Các khái niệm 52

3.2 Bài toán lồi không có rằng buộc 53

3.3 Bài toán lồi với rằng buộc đẳng thức 53

3.4 Bài toán lồi với rằng buộc bất đẳng thức 54

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Với n là số nguyên dương, ký hiệu:

Rn: không gian Euclide n-chiều trên trường số thực;

Rn+: góc không âm của Rn (tập các véc-tơ có mọi toạ độ đều không âm );

R: trục số thực (R = R1);

R: trục số thực mở rộng (R = R ∪ {−∞, +∞});

N: tập hợp số nguyên dương;

2Rn: tập hợp tất cả các tập con của Rn;

Với mọi véc-tơ x, y ∈ Rn, ký hiệu:

coA: bao lồi của A;

aff A: bao a-phin của A;

intA: tập hợp các điểm trong của A;

ri A: tập hợp các điểm trong tương đối của A;

Với hàm f của n biến, ký hiệu:

f: hàm bao đóng của f;

dom f: tập hữu dụng của f;

f∗: hàm liên hợp của f;

epi f: trên đồ thị của f;

∂f (x): dưới vi phân của f tại x;

∂f (x): - dưới vi phân của f tại x;

Of (x) hoặc f0(x): đạo hàm của f tại x;

f0(x, d): đạo hàm theo phương d của f tại x;

Lời nói đầu

Giải tích lồi là một bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến hiện đại.Giải tích lồi nghiên cứu những khía cạnh giải tích của tập lồi và hàm lồi.Dưới vi phân là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi Đây là mở rộng cho

đạo hàm khi hàm không khả vi Điều này cho thấy vai trò của dưới vi phântrong giải tích hiện đại cũng có tầm quan trọng như vai trò của đạo hàm tronggiải tích cổ điển Dưới vi phân của hàm lồi có rất nhiều ứng dụng trong giảitích phi tuyến và đặc biệt trong các bộ môn toán ứng dụng, như tối ưu hoá,bất đẳng thức biến phân, cân bằng v v

Mục đích của luận văn là trình bày một cách có hệ thống, các kiến thứccơ bản và quan trọng nhất về dưới vi phân của hàm lồi và xét một số ứngdụng điển hình của dưới vi phân trong tối ưu hoá

Luận văn gồm 3 chương Trong chương 1 sẽ trình bày những kiến thứccơ bản về tập lồi và hàm lồi Đây là các kiến thức bổ trợ cho chương 2 và do

đó sẽ không được chứng minh trong luận văn này Trong chương 2 sẽ đề cập

về đạo hàm theo phương, dưới vi phân, dưới vi phân xấp xỉ và một số tínhchất cơ bản của chúng Dựa trên các kết quả đã nghiên cứu trong các chươngtrước, trong chương 3 sẽ trình bày các điều kiện cực trị cho các bài toán quyhoạch lồi với các rằng buộc khác nhau (không rằng buộc, rằng buộc đẳngthức, rằng buộc bất đẳng thức)

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS-TSKH Lê Dũng Mưu Nhân đây em xin chân thành cảm ơn thầy đã hướngdẫn, động viên, khuyến khích em học tập, nghiên cứu để hoàn thành luậnvăn này

Chương 1

Các kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc với không gian euclid-n chiều trêntrường số thực R Không gian này được kí hiệu là Rn Chương này nhằmgiới thiệu những khái niệm cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi cùng với nhữngtính chất đặc trưng của nó Các kiến thức ở trong chương này đuợc lấy ở tàiliệu :

+ Giáo trình "Nhập môn giải tích lồi ứng dụng" của tác giả Lê Dũng Mưu

và Nguyễn Văn Hiền

+ Cuốn "Convex Analysis" của tác giả T.Rockafellar

Do chương này chỉ mang tính chất bổ trợ, nên ta không chứng minh cáckết quả nêu ở đây

1.1 Tập lồi

Định nghĩa 1.1 Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong Rn là tập hợp cácvéc-tơ x có dạng

{x ∈ Rn | x = αa + βb , α > 0 , β > 0 , α + β = 1}

Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi

đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là

C lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

5

c) Tập C ≡ oxy trong R3 là tập lồi.

d) Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi

Véc-tơ a thường được gọi là véc-tơ pháp tuyến của siêu phẳng Một siêuphẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian Nửa không gian được địnhnghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5 Nửa không gian là một tập hợp có dạng

{x | aTx > α},trong đó a 6= 0 và α ∈ R Đây là nửa không gian đóng

Định nghĩa 1.6 Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và x ∈ C Tập

NC(x) := {ω | hω, y − xi 6 0 , ∀y ∈ C},

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x

Nhận xét NC(x) là một nón lồi đóng

ri C := {a ∈ aff C | ∃B : (a + B) ∩ aff C ⊂ C}.

Như thường lệ, ta ký hiệu C, là bao đóng của C Tập hợp C \ ri C đượcgọi là biên tương đối của C

Mệnh đề 1.1 Cho C ⊆ Rn là một tập lồi Giả sử x ∈ ri C Khi đó với mọi

y ∈ C tất cả các điểm trên đoạn thẳng nối x và y, có thể trừ y, đều thuộc

ri C Nói cách khác, với mọi 0 6 λ < 1, thì (1 − λ) ri C + λC ⊂ ri C

Định nghĩa 1.8 Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a,b trong Rn làtập hợp tất cả các véc-tơ x ∈ Rn có dạng

Nhận xét Tập a-phin là một trường hợp riêng của tập lồi

Định nghĩa 1.10 Bao lồi của một tập E là giao của tất cả các tập lồi chứa

E Bao lồi của một tập E sẽ được ký hiệu là coE

Bao lồi đóng của một tập E là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa E Ta sẽ kýhiệu bao lồi đóng của một tập E là coE

Bao a-phin của E là giao của tất cả các tập a-phin chứa E Bao a-phincủa một tập E sẽ được ký hiệu là aff E

Định nghĩa 1.11 Cho E ⊆ Rn

Điểm a được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận mở U(a)của a sao cho U(a) ⊂ E

Ký hiệu tập hợp các điểm trong của tập E là intE và B là quả cầu đơn

vị tâm ở gốc Khi đó theo định nghĩa ta có

Tập E được gọi là bị chặn, nếu tồn tại một hình cầu chứa E

Trong Rn tập E được gọi là tập compắc nếu E là một tập đóng và bị chặn

Định nghĩa 1.12 Cho C là một tập lồi

Một tập F ⊂ C được gọi là một diện của một tập lồi C nếu

F là tập lồi và ∀x, y ∈ C , tx + (1 − t)y ∈ F , 0 < t < 1 =⇒ [x, y] ⊂ F

Ví dụ 1.5 Cho C := {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ∈ [0, 1]}

Tập F1 := {(x, y, z) ∈ R3 | x, y ∈ [0, 1], z = 0} là một diện của tập C.Tập F2 := {(x, y, z) ∈ R3 | y ∈ [0, 1], x = 1, z = 0} là một diện của tập

C

Điểm cực biên là diện có thứ nguyên (chiều) bằng 0

Định nghĩa 1.13 Cho x0 ∈ C Ta nói aTx = α là siêu phẳng tựa của C tại

x0, nếu

aTx0 = α , aTx > α ∀x ∈ C

Như vậy siêu phẳng tựa của C tại x0 ∈ C là siêu phẳng đi qua x0 và đểtập C về một phía Nửa không gian aT

x > α trong định nghĩa trên, được gọi

là nửa không gian tựa của C tại x0

Định lý 1.1 (Krein-Milman)

Mọi tập lồi đóng khác rỗng, không chứa đường thẳng đều có điểm cựcbiên

Định lý 1.2 (Xấp xỉ tuyến tính tập lồi)

Mọi tập lồi đóng khác rỗng và không trùng với toàn bộ không gian đều

là giao của tất cả các nửa không gian tựa của nó

Định nghĩa 1.14 Cho hai tập C và D khác rỗng

Ta nói siêu phẳng aTx = α tách C và D nếu

aTx 6 α 6 aTy , ∀x ∈ C , ∀y ∈ D

Ta nói siêu phẳng aTx = α tách chặt C và D nếu

aTx < α < aTy , ∀x ∈ C , ∀y ∈ D

Ta nói siêu phẳng aTx = α tách mạnh C và D nếu

Supx∈C aTx < α < infy∈DaTy

Ví dụ 1.6 (Tách nhưng không tách chặt)

Cho tập

C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 6 1},và

D = {(x, y) ∈ R2 | − 1 6 x 6 1, 1 6 y 6 3}

Ta có:

Định lý 1.3 (Định lý tách 1).

Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅ Khi

đó có một siêu phẳng tách C và D

Hệ quả 1.1 (Bổ đề liên thuộc).

Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng Giả sử x0 6∈ C Khi đó tồn tại

t ∈ Rn , t 6= 0 thoả mãn

ht, xi > ht, x0i ∀x ∈ C

Định lý 1.4 (Định lý tách 2)

Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C ∩ D = ∅ Giả sử

có ít nhất một tập là compắc Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởimột siêu phẳng

Hệ quả 1.2 Cho C ⊂ Rn là một tập lồi đóng khác rỗng sao cho 0 6∈ C Khi

đó tồn tại một véc-tơ t ∈ Rn , t 6= 0 và α > 0 sao cho

Hµm f : Rn −→ R ∪ {+∞} lµ hµm låi trªn C nÕu

f [λx + (1 − λ)y] 6 λf (x) + (1 − λ)f (y) , ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1)Hµm f : Rn −→ R ∪ {+∞} lµ hµm låi chÆt trªn C nÕu

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) , ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1)Hµm f : Rn −→ R ∪ {+∞} lµ hµm låi m¹nh trªn C víi hÖ sè låi η > 0nÕu

VÝ dô 1.9 Hµm chØ Cho C 6= ∅ lµ mét tËp låi

SC[λx + (1 − λ)y] = Supz∈Chλx + (1 − λ)y, zi

= Supz∈C{hλx, zi + h(1 − λ)y, zi}

6 Supz∈Chλx, zi + Supz∈Ch(1 − λ)y, zi

= λ Supz∈Chx, zi + (1 − λ) Supz∈Chy, zi

Nếu η = 0 thì f lồi trên C

Nếu f có hệ số lồi trên C là η > 0, thì f lồi mạnh trên C với hệ số η

Định nghĩa 1.17 Một hàm f : Rn −→ R ∪ {+∞} được gọi là chính thườngnếu dom f 6= ∅ và f(x) > −∞ với mọi x

Định nghĩa 1.18 Hàm f : Rn −→ R ∪ {+∞} được gọi là đóng, nếu epi f

Hiển nhiên fe(x) = f (x) với mọi x ∈ C và fe lồi trên Rn Hơn nữa fe

là chính thường khi và chỉ khi f chính thường Tương tự fe đóng khi và chỉkhi f đóng

2 Nếu f là một hàm lồi trên Rn thì dom f là một tập lồi vì dom f chính

là hình chiếu trên Rn của epi f, tức là:

Ví dụ 1.11 Hàm chuẩn f(x) = kxk là hàm dưới tuyến tính Thật vậy,

∀x ∈ Rn, ∀λ > 0, ta có: f(λx) = kλxk = |λ|.kxk = λkxk = λf(x)

∀x, y ∈ Rn, ta có: f(x + y) = kx + yk 6 kxk + kyk = f(x) + f(y).Mệnh đề 1.2 Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} là một hàm thuần nhất dươngtrên Rn

Khi đó: f lồi khi và chỉ khi f là dưới cộng tính

1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi

Định nghĩa 1.21 Cho hai hàm f và g xác định trên Rn

Ta nói g là bao đóng của f, nếu epi g = epi f Bao đóng của f sẽ được

kí hiệu là f Vậy epi f = epi f

Hàm f được gọi là đóng nếu epi f = epi f

1.2.3 Các phép toán bảo toàn tính lồi

Định nghĩa 1.22 Giả sử {fα}α∈I là một họ tuỳ ý các hàm số trên Rn và

E ⊆ Rn Hàm cận trên của họ hàm này trên coE, ký hiệu là Vα∈Ifα là hàm

số được định nghĩa như sau:

(Vα∈Ifα)(x) := Supα∈I fα(x)với mỗi x ∈ coE

Mệnh đề 1.3 Giả sử {fα}α∈I là một họ hàm lồi trên Rn và E ⊆ Rn Khi

đó hàm cận trên của họ hàm này là một hàm lồi trên coE

Mệnh đề 1.4 Cho f1, , fm là các hàm lồi hữu hạn trên một tập lồi D 6= ∅

và A là một ma trận thực cấp k ì n Giả sử b ∈ ri A(D) Khi đó hệ

x ∈ D, Ax = b, fi(x) < 0 i = 1, , mkhông có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại t ∈ Rk và λi > 0, i = 1, , m saocho Pm

được gọi là hàm liên hợp của f

Chú ý 1.2 Như thường lệ, trong định nghĩa trên ta qui ước cận trên đúngtrên một tập rỗng là −∞ Như vậy nếu f ≡ +∞, thì f∗ ≡ −∞, ngoài ranếu f có nhận giá trị −∞ thì f∗ ≡ +∞

Để khỏi phải làm việc với hàm liên hợp đồng nhất bằng +∞ hoặc đồngnhất bằng −∞, ta sẽ hạn chế việc xét hàm liên hợp trong lớp hàm có tínhchất sau:

f 6≡ +∞ và tồn tại một hàm non a-phin của f

f∗∗(x) := (f∗)∗(x) = Sup{hx, si − f∗(s) | s ∈ Rn}.

Hàm liên hợp thứ hai tất nhiên luôn là một hàm lồi đóng

Mệnh đề 1.6 Giả sử f 6≡ +∞ và tồn tại một hàm non a-phin của f Khi đó

epi f∗∗ = co(epi f )

Hệ quả 1.3 f ≡ f∗∗ khi và chỉ khi f là hàm lồi, đóng

Định nghĩa 1.25 Hàm l là hàm non a-phin của một hàm f trên Rn nếu

l là hàm a-phin trên Rn và l(x) 6 f(x) ∀x ∈ Rn

Chương 2

Dưới vi phân của hàm lồi

Phép tính vi phân là một trong những đề tài cơ bản nhất của giải tích cổ điển.Trong giải tích lồi, lý thuyết này lại càng trở nên phong phú nhờ những tínhchất đặc biệt của tập lồi và hàm lồi Mục đầu tiên của chương này sẽ xét đến

đạo hàm theo phương của một hàm lồi Tiếp đến ở mục 2, sẽ đưa ra địnhnghĩa về dưới vi phân và các tính chất của nó như: Xét tính khả vi của hàmlồi, khảo sát tính đơn điệu của dưới vi phân, khảo sát tính liên tục của ánhxạ dưới vi phân và một số phép tính với dưới vi phân Mục cuối của chương

sẽ giới thiệu về dưới vi phân xấp xỉ và một số tính chất của nó

2.1 Đạo hàm theo phương

Cho một hàm n-biến f : Rn −→ R ∪ {+∞} Khi cố định một phương và xéthàm nhiều biến trên phương đó , thì ta có một hàm một biến Giả sử y 6= 0 làmột phương cho trước xuất phát từ điểm x0 Khi đó mọi điểm x thuộc đườngthẳng đi qua x0 và có phương y đều có dạng x = x0 + λy với λ ∈ R Nếu

đặt ξ(λ) = f(x0 + λy) thì ξ lồi trên R khi và chỉ khi f lồi trên Rn

Định nghĩa 2.1 Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} và x0 ∈ Rn sao cho

Ví dụ 2.1 Giả sử f được cho như sau:

Mệnh đề 2.1 Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} lồi Khi đó với mọi x ∈ dom f

ii) Hàm f0(x, ) thuần nhất dương bậc 1

Ngoài ra nếu f0(x, ) > −∞ thì hàm f0(x, ) là dưới tuyến tính trên Rn

(do đó nó là hàm lồi chính thường trên Rn)

Vậy f0(x, ) thuần nhất dương.

Chứng minh tính dưới tuyến tính

Giả sử f0(x, ) > −∞, với mọi u và v ta có:

f0(x, u + v) = infλ>0 f [x +

λ

2(u + v)] − f (x)

λ 2

nó là hàm lồi, chính thường trên toàn không gian

iii) Do f0(x, 0) = 0 và theo tính chất dưới cộng tính, ta có:

0 = f0(x, 0) = f0(x, y − y) 6 f0(x, y) + f0(x, −y) ∀y ∈ Rn.Suy ra −f0

(x, −y) 6 f0(x, y) với mọi y ∈ Rn.iv) Giả sử x ∈ ri(dom f) Ta cần chứng tỏ f0(x, ) hữu hạn trên F

Từ iii) suy ra f0(x, ) > −∞ Vậy cần chỉ ra f0(x, y) < +∞ với mọi

Thật vậy, nếu trái lại sẽ tồn tại y ∈ F và một dãy {λk} các số dương hội

tụ đến 0 và x + λk.y 6∈ dom f với mọi k đủ lớn Trong trường hợp này

f (x + λk.y) − f (x) = +∞ với mọi k đủ lớn

Do đó f0(x, y) = +∞ Mâu thuẫn với giả thiết Vậy x ∈ ri(dom f)

Kí hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f(x) Vậy ∂f(x)

là một tập (có thể bằng ∅) trong Rn Khi ∂f(x) 6= ∅, thì ta nói hàm f khảdưới vi phân tại x

Theo định nghĩa, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi nó thoả mãn một

hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy ∂f(x) là giao của các nửakhông gian đóng Vậy ∂f(x) luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng)

x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0.

Mệnh đề 2.2 i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi f0

(x, y) > hx∗, yi , ∀y.ii) Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn, thì với mọi x ∈ dom(∂f), ta

Lấy z bất kì và áp dụng (2.1) với y = z − x và λ = 1, ta có

hx∗, z − xi 6 f (z) − f (x) ∀z

Vậy x∗ ∈ ∂f (x)

ii) Cho x ∈ dom(∂f), thì ∂f(x) 6= ∅, tức là tồn tại x∗ ∈ ∂f (x)

Theo định nghĩa của f, ta có epi f = epi f

Mặt khác, ta lại có epi f ⊂ epi f, suy ra epi f ⊂ epi f Vậy

hx∗, z − xi + f (x) 6 f (z)

hx∗, z − xi + f (x) 6 f (z)Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x) Vậy

Từ (2.5) và (2.6) ta có ∂f(x) = ∂f(x)

Mệnh đề 2.3 Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} lồi, khi đó :

i) Nếu x 6∈ dom f, thì ∂f(x) = ∅

ii) x ∈ ri(dom f) khi và chỉ khi ∂f(x) 6= ∅ và compắc

Chứng minh i) Cho z ∈ dom f, thì f(z) < +∞ Vậy nếu x 6∈ dom f thì

f (x) = +∞ và do đó không thể tồn tại x∗ tho mãn

hx∗, z − xi + f (x) 6 f (z) < +∞

Vậy ∂f(x) = ∅

ii) Giả sử x ∈ ri(dom f) Ta có điểm (x, f(x)) nằm trên biên của epi f

Do f lồi, chính thường, nên tồn tại siêu phẳng tựa của epi f đi qua(x, f (x))

Tức là tồn tại p ∈ Rn, t ∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho

hp, xi + t.f (x) 6 hp, yi + t.à , ∀(y, à) ∈ epi f (2.7)

Ta có t 6= 0, vì nếu t = 0 thì hp, xi 6 hp, yi , ∀y ∈ dom f

Hay hp, x − yi 6 0 , ∀y ∈ dom f

Nhưng do x ∈ ri(dom f), nên điều này kéo theo p = 0 Mâu thuẫn với

p, tkhông đồng thời bằng 0 Vậy t 6= 0

Hơn nữa t > 0, vì nếu t < 0 thì trong bất đẳng thức (2.7), khi cho à → ∞

ta suy ra mâu thuẫn vì vế trái cố định

Chia hai vế của (2.7) cho t > 0, ta được:

hp

t, xi + f (x) 6 hp

t, yi + à ∀y ∈ dom f

hx∗, y − xi + f (x) 6 f (y) ∀y ∈ dom f.

Nếu y 6∈ dom f thì f(y) = ∞, do đó

i 6 f0(x, ei).Tương tự , áp dụng với d = −ei với i=1, k, ta có −x∗

i 6 f0(x, −ei) Hay

x∗i > −f0(x, −ei)

Tóm lại −f0(x, −ei) 6 x∗i 6 f0(x, ei) ,với mọi i=1, k

Theo (iv) mệnh đề (2.1), do x ∈ ri(dom f) và F là không gian concủa dom f, nên f0(x, y) hữu hạn với mọi y ∈ F Nói riêng f0(x, −ei) và

f0(x, ei) hữu hạn với mọi i=1, k Vậy ∂f(x) bị chặn , và do tính đóng nên

Do dom f lồi, theo mệnh đề về siêu phẳng tựa, tồn tại một siêu phẳng tựacủa dom f tại x, tức là tồn tại vectơ p ∈ Rn, p 6= 0 sao cho

Điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của ∂f(x) Vậy x ∈ ri(dom f)

Ví dụ 2.3 Cho hàm một biến

f (x) =

(

−2x12 nếu x > 0,+∞ nếu x < 0

Ta có

dom f = [0; +∞) , 0 6∈ int(dom f )

x∗ ∈ ∂f (0) ⇔ hx∗, xi + f (0) 6 f (x) , ∀x

⇔ x∗.x 6 −2x12, ∀x > 0 (2.9)Nếu x∗ < 0 , ta chọn x = 0.01 thì (2.9) không thoả mãn

i) Nếu x ∈ ri(dom f), thì f0(x, y) = maxx∗ ∈∂f (x)hx∗, yi , ∀y

ii) Với mọi tập bị chặn C ⊂ int(dom f), tập ∪x∈C∂f (x) bị chặn

iii) Nếu có thêm f đóng, thì

f∗(x∗) + f (x) = hx∗, xi ⇐⇒ x∗ ∈ ∂f (x), x ∈ ∂f (x∗)

Chứng minh i) Do f0(x, ) là hàm lồi, thuần nhất dương, nên mọi hàm nona-phin của f0(x, )đều tuyến tính, tức là có dạng hp, i Vậy nếu hp, i là hàmnon a-phin của f0(x, )trên Rn, thì

hp, yi 6 f0(x, y) , ∀y

Theo mệnh đề 2.2 ta có p ∈ ∂f(x)

Hơn nữa, do f0(x, ) là một hàm lồi đóng, nên theo định lý xấp xỉ tập lồi

nó là bao trên của các hàm non a-phin của nó Vậy

ξ = Supkzk=1Supx∈C f0(x, z)

Đặt g(z) = Supx∈Cf0(x, z)

Do x ∈ C ⊆ int(dom f), nên hàm f0(x, ) lồi trên Rn ( do đó liên tục ).Suy ra hàm g liên tục vì là bao trên của một họ hàm lồi liên tục trên Rn.Vậy

ξ = Supkzk=1g(z) = maxkzk=1g(z) < +∞

Chứng tỏ ∂f(C) bị chặn

iii) Theo định nghĩa hàm liên hợp, ta có

2.2.2 Tính khả vi của hàm lồi

Định nghĩa 2.3 Cho một hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ Rn Hàm

f được gọi là khả vi tại x, nếu tồn tại x∗ sao cho

lim

z→x

f (z) − f (x) − hx∗, z − xi

Một điểm x∗ như thế nếu tồn tại sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của

f tại x Thông thường đạo hàm này được kí hiệu là Of(x) hoặc f0(x).Giả sử f : Rn −→ R ∪ {+∞} lồi, chính thường và x ∈ dom f Nếu fkhả vi tại x, thì với mọi y 6= 0, ta có:

Mệnh đề 2.5 Giả sử f : Rn −→ R ∪ {+∞} lồi, chính thường và

x ∈ dom f Khi đó f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại x∗ ∈ Rn sao cho

f0(x, y) = hx∗, yi , ∀y

Ngoài ra x ∈ int(dom f) và Of(x) = x∗

Chứng minh Nếu f khả vi tại x thì như ở trên, ta đã chỉ ra rằng

f0(x, y) = hOf (x), yi , ∀y

Vậy f0(x, y) hữu hạn trên toàn Rn, nên x ∈ int(dom f).

Ngược lại f0

(x, y) = hOf (x), yi , ∀y Trước hết ta có x ∈ int(dom f ) vì

f0(x, ) hữu hạn trên toàn Rn Để chứng minh tính khả vi của f tại x, ta lấy

Trước hết từ f0(x, y) = hx∗, yi, theo định nghĩa của f0(x, y), ta có

g(y) > 0 , ∀y và g(0) = 0

Nếu y 6= 0 thì véc-tơ y

kyk thuộc siêu hộp H := [−1, 1]n Vậy theo định lýKrein-Milman điểm y

kyk biểu diễn được bởi một tổ hợp lồi của các đỉnh của

H, tức là tồn tại các số thực βi (phụ thuộc y) sao cho

Vậy g(y)

kyk → 0

Chứng tỏ f khả vi tại x và do đó Of(x) = x∗

f (y) − f (x) > f [ty + (1 − t)x] − f (x) +

η

2t(1 − t)kx − yk2t

f (y) − f (x) > f0(x, y − x) + η

2kx − yk2.(b)→(a):

Cho t ∈ (0; 1) và ω = (1 − t)x + ty Khi đó

f (y) > f (ω) + hf0(ω), (1 − t)(y − x)i + η