Vay vé phai bang vé trai.
Trang 1VẬN DỤNG MỘTT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN ĐÉ GIẢI TOÁN
Dương Văn Thới
Ching minh : x°+y*+z°* — 3xyz = 5 (x+y+z)|(x-y)+(y-z)+(-x)| (1)
Xét về phải: => @&+y+z)|l&-yŸ+-zŸ+(2-x)]
= 5 (xtytz)[2(x? + vĩ +z27— 2(xy +yz + x2)|
= (xty+z)[@Œ + yˆ + Z2)- (xy +yz + xZ)|
= (xtytz)(x? + y? +z’) — (xtyt+z)( (xy + yz + xz)
=xX+xy?+x7t+xytytyZ7+xzt+yzt+Z-x’y —xyzZ-x’zZ-xy’-yz- XYZ— XYZ - YZ - xz
= x*ty*+z> — 3xyz
Vay vé phai bang vé trai
Hay : x1+y`+2`~ 3xyZ= 2 (x‡y22[@-y)^y-z)2(z-xŸ]
Vận dụng chứng minh:
3 3 3
1) Voi ba số x,y,z không âm thì: * ` TF > XYZ
2) Với ba sô a,b,c không âm thì: ———>Vabc
3) Ba số a,b,c khác nhau và khác 0 thỏa mãn điêu kiện atb+c = 0 Chứng minh
răng:
1) Nếu x.y.z không âm thì x + y + z không âm,
mà xÌ+yÌ+zÌ~ 3xyz = 5 (x+y+Z)[(x-y)“+(y-2)“HZz-x}Ÿ ] (theo (1))
suy ra : xÌ+y*+z”— 3xyz >0
` r , X + +Z
Tu dé ta c6; 2
2) Đặt: x= Va;y= Vb;z= Me ;
Vì a, b, c không âm nên x, y, z không âm Dựa vào kêt quả câu a ta có:
Vay +b) +ey ` MT , ực
3
> XYZ
a+b+c
> \ abc
Suy ra:
3) Ta có :
Trang 2a-b b-c c-g Cc a b
aa—b) b(a—b) c(b—c) 5°(b—c) cle—a) a(c—a)
=17 c(b —c) + c(c —a) + ava—b) tit a(c —a) + b(a—b) + b(b—c) TỊ
=3+ aB(a—b)+bc(b—c) ab(a—b)+ac(c—a) bc(b—c)+ac(c—a)
ac(c —a) bc(b —c) ab(a—b)
=3+ b(a” =ab+bc—c”) a(ab—b* +c? —ac) c(b* —be+ac—a’)
ac(c —a) bc(b —c) ab(a—b)
=3+ b|—(c-a)(c +a] +b(c—a)| „ a[lb=e) +c)+a(b—c)| c|—(a—bÌ(a+b)+ c(a— b)|
ac(c — a) bc(b —c) ab(a—b)
=3 „ ðle=alœ=c=ø)] „ alb=clta~ð—ø)| dịa—ðlœ=a=ð)
ac(c —a) bc(b—c) ab(a—b)
=3+ b|b—c-al + a[a—b —c| „ de=a=bl
=3+ b?[b—c—a|+a?[a—b—e]+e?[e—a— 5]
abc
=3+ bÌẰ—b”c—ab”+a' =a ae+e? —ac* —be? (vi btc=-a; a+b=-c; a+c=-b)
=3+ b`+a` +e`—ab(a+b)— be(b +e)— ae(a +)
abc
abe b+a+c+3abe
abc
Theo (1) ta c6 : a’ +b*+c° — 3abe = = (atb+c)[(a-b)’+(b-c)’+(c-a)’]
Suy ra: a°+b*+c? = = (atb+c)[(a-b)’+(b-c)’+(c-a)’] + 3abe
b`+a`+c`+3abc
abc
+ Sabe +—(a+b-+e)[(a~b) +(b-c)’ +(c—a)*]+3abe
Do do:
=3
abc
CaS (do atb+c=0)
abc
=3+6=9
Vậy với a+b+c= 0 thì: “ + Bàng) —+——+ F9
=3 +