bài giảng giải tích 12 chương 3 bài 3 ứng dụng tích phân trong hình học

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành2... Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành2... Hình phẳng giới hạn bởi hai đường congkhông có dấu giá trị tuyệt đối?. k

BÀI GIẢNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TRONG HÌNH HỌC

Năm học 2011 - 2012

Ví dụ

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5

5 1

I = (2x + 1)dx 

Giải: Ta có (đvdt)

và

(AD + BC).CD

2

5 2

1 = 28

I = (x +x)

a) Dùng công thức hình học tính diện tích hp

b) Tính tích phân sau

o

Bài toán: Tính diện tích hp

'

y = f(x) lt u c/[a;b]

y = 0

x = a; x = b









y = f(x)

x b

S

y = - f(x) B’ A’

x

y

y = f(x)

S

B A

S’

- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì

b a

S = f(x).dx

- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì  

b a

S = S' = -f(x) dx

- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì

1 2 3

S = S + S + S

= f(x).dx + -f(x) dx + f(x).dx   

b

a

=  dx +  dx +  dx  

b

a

= f(x) dx 

b

a

= f(x) dx 

b a

S = f(x) dx

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Bài toán: Tính diện tích hp

'

y = f(x) lt u c /[a;b]

y = 0

x = a; x = b









y = f(x)

x b

S

b a

S = f(x) dx

Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn bởi

3

y = x

y = 0

x = -1; x = 2











Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

2

3 -1

S = x dx 

( - x ).dx + x dx

17



2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng

1

2

'

'

u c/

u c/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b













1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng

1 2

' '

uc/

uc/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b













- Xét TH f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b]

Khi đó S = S1 - S2

f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx

b

a

S = f (x) - f (x).dx

1 2 a

f (x) - f (x).dx



2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng

1 2

' '

u c/

uc/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b













Chú ý về cách tính:

- Giải pt f1(x) = f2(x)

(f1(x) - f2(x) = 0)

[a;b]

x c

x d











- Tách tích phân thành

S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x)     dx

= [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx   

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:

b

a

S = f (x) - f (x).dx

1

2

2 2

(x)

(x)

=

= - 4x +1

- 3x + 3

x = 0; x =

y =

3

f 2x











1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng

1 2

' '

uc/

uc/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b













Ví dụ: Tính diện tích hp:

b

a

S = f (x) - f (x).dx

1

2

2 2

(x)

(x)

=

= - 4x +1

- 3x + 3

x = 0; x =

y =

3

f 2x











Giải: - Ta có f1(x) - f2(x) = x2 - x - 2 = 0

x = -1 [0;3]

x = 2 (t/m)











- Ta có 2 2 1 3 1 2

]

31 6

S = [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x) dx = (-x +x+2)dx + (x -x-2)dx



(đvdt)

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

(không có) dấu giá trị tuyệt đối?

(không có) dấu giá trị tuyệt đối?

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính dt

'

y = f(x) lt u c/[a;b]

y = 0

x = a; x = b

S











b a

S = f(x) dx

y = f(x)

x

y

b

S

Bài toán: Tính dt

1 2

' '

uc/

uc/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

S y = f (x) lt

x = a; x = b













b

a

S = f (x) - f (x).dx

Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) = 0

- Tách tích phân và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân

[a;b]

x c

x d











S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x)     dx

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính dt hình phẳng

1 2

' '

uc/

u c/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

S y = f (x) lt

x = a; x = b













Bài tập: Tính diện tích hp:

b

a

S = f (x) - f (x).dx

x

y = e

y = 1

x = 1; x = 2











Giải: - Ta có pt ex = 1

 x = 0  [1;2]

- Ta có 2 x 2 x

2

1

S = e - 1dx = (e - 1)dx = (e - x) = e - e - 1

(đvdt)

Bài tập về nhà: 1 + 2 + 3 trang 121 SGK

Bài tập thêm: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2 2 2 4

y x

y

















và các em!