de thi HSG toan 9

[r]

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI số 3

Câu 1: ( 3 điểm)

2

A

1- Rút gọn biểu thức A

2- Tính giá trị của A khi x  7 2 6

3- Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất

Câu 2: (3 điểm)

1- Cho phương trình: (m 1)x2  (2m 3)x m   4 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m=2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 thõa mãn

x x 

3 1

a x y





a) Giải hệ (I) với a  3 1 

b) Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm

Câu 3: (3 điểm)

Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm N thuộc đoạn AM, vẽ đường tròn (O) có đường kính AN

1- Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của phân giác ngoài góc A với (O) Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (O)

2- Đường tròn tâm (O) cắt AB tại K, cắt AC tại H, KH cắt AD tại I

.

FK FI FA 3- Chứng minh: NH.CD = NK BD

Câu 4: (1 điểm)

Tài liệu bồi dưỡng HSG GV:HUỲNH TRUNG KIÊN

ĐÁP ÁN Số 3 Câu I: (3)

1- (1) Điều kiện xác định:0  x 1 (0,25)

.

A



  (0,25)

     (0,5) 2- (1)

2

A

x

   (0,5) Dấu “ =’’ xảy ra  x   0 x 0 (0,25) Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 0 (0,25)

3- (1) Với x = 7 2 6 ( 6 1)    2

 x  6 1  (0,5)

     (0,5)

Câu II: (3)

1- (1,5) a) Khi m = 2 ta có phương trình: x2  7x  6 0 (0,25)

Ta có a + b + c = 0, suy ra phương trình có nghiệm x = 1, x = 6 (0,25) b) Nếu m=1: Ta có phương trình: -5 x + 5 = 0: phương trình chỉ có một nghiệm

Nếu m 1:

Nhận thấy a + b + c = 0 nên để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

( x x1 2 ) (0,25) Khi đó hai nghiệm của phương trình (1) là: 1 2

4 1,

1

m

x x

m



 (0,25) Yêu cầu bài toán tương đương đương với:

1

1

1















x x

m

m

m

(0,5)

Vậy 3

2

m  là giá trị cần tìm

2- (1,5) a)

Với a  3 1  thì hệ (I) trở thành:

1

3 1

x y

x

x

y













(0,5)

(I)

1 (1)

3









ay x

a x y

Hệ (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm

2

3







a

a (0,5) Vậy a = -2, a = 3 là giá trị cần tìm

Câu III:

Tài liệu bồi dưỡng HSG GV:HUỲNH TRUNG KIÊN

1- Ta có: AE và AF là hai tia phân giác của hai goc kề bù đỉnh A nên

0

90

AEAF EAF  (1)

Do đó EF là đường kính của đường tròn (O)

2-Ta có:HAF KAF( AD là tia phân giác)

 

HF KF



1 = ( ® ® )

2

AK F s AF s AH s HF

s AH s FK

Do đó: AK F K I F (0,25) Xét AKFvà KIFcó:

K AF I K F ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (0,25)

AK F K I F ( chứng minh trên)

Do đó AK F đồng dạng với K I F (0,25)

 F K FA  FK 2 F I FA.

FI FK (0,25) 3-

Ta có S ANC S AMC  S NMC ,

ANB  AMB  NMB

S S S (0,25)

AMB  AMC

S S , SNM B SNMC

Do đó SANB SANC (0,25)

NH AC NK AB

NH AB

NK AC

(1)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta cóAB BD

AC CD (2) (0,25)

Từ (1) và (2) suy ra NH BD  NH CD NK BD.

Câu IV:

Ta có:



1

2008.2009

=1+

2008 2009

(0,5)

 (1 1 1  ) (1  1 1  ) (1   1  1 )

S

2007

2 2009

2007

4018 (0,5)