[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÔNG TRƯ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
GV: Trần Xuân Đài – Lê Huy Bài 1(4đ) Phân tích thành nhân tư
a) M = 7√x −1 −√x3− x2
+x − 1 với x ≥ 1
b) A = √2010+√2010+√2010+√2010+
Bài 2(4đ) Giải phương trình
a) √3 x2+26+3√x +√x+3=8
b) √4 y2+x=√4 y − x −√x2+2
Bài 3(4đ) Một giám đốc giao cho 3 cô bán hàng lần lượt là:
- Cô A: 50 sản phẩm
- Cô B: 30 sản phẩm
- Cô C: 10 sản phẩm
Điền kiện phải bán với giá bằng nhau và số tiền mỗi người đem về phải bằng nhau Hỏi phải bán bằng cách nào?
Bài 4(4đ) Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c p là nưa chu vi của tam giác Chứng minh rằng ta luôn có
√p≺√p − a+√p − b+√p −c ≤√3 p
Bài 5(4đ) Cho nưa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R, M là một điểm di động trên đoạn AB, kẻ MC vuông góc AB( C thuộc nưa đường tròn (O)) Gọi D và E lần lượt là hình chiếc của M trên CA, CB Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và MB
a) Chứng minh CD.CA = CE.CB
b) Xác đinh vị trí của điểm M để diện tích tứ giác DEQP đạt giá trị lớn nhất
ĐÁP ÁN
Trang 2Bài 1(4đ)
a) M = 7√x −1 −√x3− x2
+x − 1 với x ≥ 1
¿−√x − 1(x −1 −√x − 1+1
4−
25
¿−√x − 1[ ( √x −1 −1
2)2−25
¿−√x − 1( √x − 1− 3) ( √x −1+2) (0,5đ)
¿−√x − 1( √x − 1− 3) ( √x −1+2) (0,5đ)
¿√x −1(3 −√x − 1)( √x − 1+2) (0,25đ)
b) A = √2010+√2010+√2010+√2010+
A2=2010+√2010+√2010+√2010+ (0,25đ)
⇔ A2
⇔ A2− A+1
4−
8041
⇔(A −1
2)2−( √80412 )2=0 (0,25đ)
⇔(A −1
2−
√8041
2 )(A −1
2+
√8041
2 )=0 (0,25đ)
⇔ A=1
2+√
8041 2
¿
A=1
2−
√8041 2
¿
¿
¿
¿
¿
(0,5đ)
Vì A> 0 nên A=1+√8041
Bài 2(4đ) Giải phương trình
a) 3
√x2+26+3√x +√x+3=8 (1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,5đ)
Với 0 ≤ x <1 thì:
3
√x2+26+3√x +√x+3<√312+26+3√1+√1+3=8
Với x >1 Thì:
3
√x2+26+3√x +√x+3>√312+26+3√1+√1+3=8
Trang 3Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,5đ) b) √4 y2+x=√4 y − x −√x2+2
⇔√4 y2
+x +√x2
+2=√4 y − x
⇔( √4 y2+x+√x2+2)2=( √4 y − x)2 (0,5đ)
x+1¿2+2√(4 y2− 1)(x2+2)=0
2 y −1¿2+¿
⇔¿
(0,5đ)
¿
2 y −1=0
x +1=0
√4 y2
+x=0
⇔
¿y =1
2
x=−1
¿{ {
¿
(1đ)
Bài 3(4đ)
- Cô A bán 49 sản phẩm thu được 7 đồng
- Cô B bán 28 sản phẩm thu được 4 đồng (1đ)
- Cô C bán 7 sản phẩm thu được 1 đồng
- Cô A bán 1 sản phẩm thu được 3 đồng
- Cô B bán 2 sản phẩm thu được 6 đồng (1đ)
- Cô C bán 3 sản phẩm thu được 9 đồng
Vậy sau hai lần bán mỗi người đều thu được 10 đồng
Bài 4(4đ)
Ta có 2(x2
+y2
+z2 )≥ 2 xy +2 yz+2zx
x + y +z¿2
⇔3( x2
+y2+z2)≥¿ (0,5đ) Thay x=√p − a ; y=√p −b ; z=√p −c ta có
√p − a+√p− b+√p −c¿2
⇔3(3 p −a − b −c )≥¿ (0,5đ)
√p − a+√p− b+√p −c¿2
⇔√p −a+√p −b+√p − c ≤√3 p (0,5đ)
Ta lại có (x +y +z)2 > x2 +y2 +z2 mọi x, y, z >0 (0,5đ) Nên √p − a+√p− b+√p −c¿2>p− a+ p − b+ p− c
√p − a+√p− b+ ⇔¿ √p −c¿2>p (0,5đ)
⇔√p −a+√p −b+√p − c>√p (0,5đ)
Trang 4Vậy √p<√p − a+√p − b+√p− c ≤√3 p
Bài 5(4đ)
a) tam giác ABC vuông tại C, CM là đường cao
ta có hệ thức CD.CA = CM2 (0,25đ)
b) Tứ giác DCEM có góc D = góc C = góc E =900
nên DCEM là hình chữ nhật (0,5đ)
=> S DEM = 1
2 S DCEM (0,5đ)
ADM có DP là trung tuyến
=> S DPM = 1
2 SADM (0,5đ) Tương tự ta có S MED = 12 SMEB
Nên SDEM + SDPM + SMEQ = 1
2 ( SDCEM + SADM + SMEB ) (0,5đ) Hay S DEQP = 12 SABC
Mà S ABC = 1
1
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi M trùng O
Vậy SDEQP đạt giá trị lớn nhất bằng R2
A
C
M D
E