Đề thi HSG Toán 9 cấp Tỉnh 2017 có đáp án Sở GD&ĐT Quảng Ninh

AM không phụ thuộc vào vị trí của D trên cung AC.. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mớ[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017

Môn thi: TOÁN - Bảng A Ngày thi: 03/03/2017

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1 (3,5 điểm)

A

    (với x  0; x  16; x  1)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để A1

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2

x  x x x   x b) Giải hệ phương trình: 2 2 5

x y xy







Bài 3: (2,5 điểm)

Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1) n  8 là số chính phương

2) n  3 là số chính phương

3) n chia hết cho 9

Bài 4: (7,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn

(A  B C ; ), D là điểm chuyển động trên AC Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K

là hình chiếu của M trên BC

a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK

b) Khi D di chuyển trên AC(D C  ), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố

định

c) Đường thẳng qua A, vuông góc với BC cắt BD ở E Chứng minh BD EM.

AM có giá trị không

đổi khi D di chuyển trên AC(D A)

Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

1 14 15

A   x  x  x với 1 1

15

x

  

-Hết -

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh

Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài

1

3,5đ

Câu a 2,0 đ

 5 4 4 1 3 2 4 21

A



1,0

4

x x







1,0

Câu b 1,5 đ

A

4

x

x

 Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm được 0   x 16; x  1

(nếu không chỉ đủ kq là 0 x 16;x1 thì không cho điểm bước này)

0,25 0,5

Bài

2

5,0đ Câu a 2,5 đ

2

2

 

3 4 1

3 3 2







Giải (1): Ta có x  3 VP    4 x 1, VT 0 Vậy (2) vô

Giải (2): (2) 3 2

x





 

2

x  x  x

2

x x

được x1  1 ( nhận); x2  6 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x1

0,75

2

2 2

4 4 1 4( ) 4

2 1 = 2

0,5

Câu b

2,5đ

(nếu hs đưa về pt bậc hai ẩn y tham số x tính được  thì được 0,5đ)

TH1: x y 1 thay vào pt x y xy 5

ta có y 2 + y + 4 = 0

2

    nên phương trình vô nghiệm

0,5

TH2: y 3 3x thay vào pt x y xy 5 ta có 2

3x   x 8 0

= (-1)2 + 4.3.8 = 97 > 0 1 1







0,75

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:

;

;

0,25

Bài

3

2,5đ

Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2

n n  n chia cho 3 dư 2,

mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)

n  8 không phải là số chính phương vậy n không thỏa tc1 0,5

n n  n

9n mà 3 không chia hết cho 9  n 3 không chia hết cho 9

Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**) nên n3 không là số chính phương vậy n không thỏa tc2

n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết

(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ 0,25 đ cho cả hai phần này)

0,75

Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này

mà không lập luận phần trên)

Đặt

2

2

8 3

n p

n k

  





 

 (p; k  N)

2 2

11

p k

   (p k p k )(  ) 11 0,5

Do p,kN   p k N p k;  Z p k;   p k; Kết hợp với (1)  11 6



Vậy n 28

(hs có thể làm bài tập này bằng cách xét 3TH mỗi TH chỉ đúng 2 trong 3 tc; mỗi phần đúng được 0,75đ) 0,25

Bài

4

7,0đ

Câu a 2đ

E

I

K

M

O

A

D

a Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK MCK  0,5

ADB ACB 

(hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB)  MDK  MDA hay DM là phân giác của tam giác ADK

1,0

Tương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác ADK

Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 0,5

Câu b 2,5đ

b Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I 0,5

Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC KDC  0,5 Vậy IAC IDC  tứ giác ADCI nội tiếp hay I O cố định, mà



I đường thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định Vậy I

cố định hay DK qua I cố định

1,0

Bài c 2,5đ

c Có: EAM  KDC, AMEDKCDMC

Vậy hai tam giác AEM và DCK đồng dạng  AM  DK

ME KC

1,0

Xét hai tam giác KDB và KCA có KCA KDB  , KAC KBD  

hai tam giác KDB và KCA đồng dạng  DK  DB

Vậy AM  DB

ME CA

 BD EM CA

AM hằng số

Vậy BD EM.

AM không phụ thuộc vào vị trí của D trên cung AC

0,5

2

A x  x x  x x  x

1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi

tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa

2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết

3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất

trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn

Hết

Bài

5

2,0đ

với 1 1

15

x

   có 9(x 1) 0 và 1 15  x  0 0,25

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 9(x1) và 1 15x  không âm

2

5

3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1

3

Vây giá trị lớn nhất của A là 5

3 đạt được khi 1

3

x 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017

Môn thi: TOÁN - Bảng B Ngày thi: 03/03/2017

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1: (3,5 điểm)

A

    (với x  0; x  16; x  1)

c) Rút gọn biểu thức A

d) Tìm giá trị của x để A1

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2

x  x x  b) Giải hệ phương trình:

2 2

4 5 10

x y xy





Bài 3: (2,5 điểm)

Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

4) n là bội số của 5

5) n  8 là số chính phương

6) n  3 là số chính phương

Bài 4: (7,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn

(A  B C ; ), D là điểm chuyển động trên AC Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K

là hình chiếu của M trên BC

a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK

b) Chứng minh rằng BM BD CM CA  không đổi khi D di chuyển trên AC

c) Khi D di chuyển trên AC(D C  ), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một

điểm cố định

Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

A  x   x  x với 1 1

5

x

  

-Hết -

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh

Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2

Bài Sơ lược bài giải Điểm

Bài

1

3,5đ

Câu a 2,0 đ

 5 4 4 1 3 2 4 21

A



1,0

 1 31 41

4

x x





Câu b 1,5 đ

A

4

x

x

 Kết hợp với điều kiện xác định tìm được 0 x 16;x1 (nếu không chỉ đủ kq là 0 x 16;x1thì không cho điểm bước này )

0,25 0,5

Bài

2

5,0đ

Câu a 2,5 đ

2

2





Trường hợp 1: x 4 x1

do x      1 0 x 4 0 hai vế không âm bình phương

ta có x2 + 8x + 16 = x + 1 x2 + 7x + 15 = 0

2

7 4.15 0

     phương trình vô nghiệm

0,5

Trường hợp 2: 2 x x 1 21 2 (1)

4 4 1 (2)

x

  





   

Pt(2) 2

2

( 5) 3.4 13 0

     

Phương trình (2) có hai nghiệm x1 = 5 13

2



; x2 = 5 13

2



Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy

chỉ có nghiệm x2 = 5 13 thỏa mãn

0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 5 13

2



Câu b

2,5đ

2 2

2

(2 ) 2(2 ) 3 0 (1)

4 2 7 (2)

x y xy x y

xy x y

xy x y

 

   



 

   



1,0

y x

y x



TH1: y2x1 thay vào phương trình (2) ta có 2

2x   x 9 0 (phương trình vô nghiệm) 0,5 TH2: y2x3 thay vào phương trình (2) ta có

2

2x 3x 1 0 phương trình có hai nghiệm

1

2 2

   





    



0,5

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  1; 1   và 1 ; 2

2

  

 

0,25

Bài

3

2,5đ

Giả sử tìm được n thỏa tc/1 ta đi chứng minh n không thỏa tc2;3

n là bội của 5  n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 0,25 Vậy n + 8 có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8

n3 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 0,5

Mà một số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0; 1;4; 5;6;9

Nên n+8 và n  3 đều không phải là số chính phương t/c 2

và 3 đều sai (trái gt) Vậy tính chất 1 sai; t/c 2; 3 đúng

0,5

Ta đi tìm n thỏa mãn tc 2,3 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)

Đặt

2

2

8 3

n p

n k

  





 

 (p; k  N)

2 2

11

p k

   (p k p k )(  ) 11 0,25

Do p,kN   p k N p k;  Z p k;   p k; Kết hợp với (1)  11 6



Vậy n 28

(hs có thể làm bài tập này bằng cách xét 3TH mỗi TH chỉ đúng 2 trong 3 tc; mỗi phần đúng được 0,75đ) 0,25

Bài

4

7,0đ

Câu a

K M

O

A

D

a Tứ giác MKCD nội tiếp MDK MCK 0,5



ADB ACB (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB) MDK MDA hay DM là phân giác của tam giác ADK

1,0

Tương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác ADK

Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 0,5

Câu b 2,5đ

b Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng

 BM  BC BM BDBK BC

BK BD

1,0

2

BM BD CM CA BK BC CK BC BC 0,5

Do BC không đổi, vậy BM BD CM CA  không đổi khi D chuyển

Câu c 2,5đ

c Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I 0,5

Lại có tứ giác MDCK nội tiếp KMCKDC 0,5 Vậy IACIDCtứ giác ADCI nội tiếp hay I đường tròn

ngoại tiếp tam giác ADC  I  O cố định, mà I đường

thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định

1,0

Bài

5

2,0đ

2

A x  x x  x x  x 0,5 với 1 1

5

x

   có (x 1) 0 và 1 5  x  0 0,25

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số (x1) và 1 5x  không

âm

2

1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi

tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa

2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết

3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất

trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn

Hết

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x  1) 1 5x6x  0 x 0 thỏa điều kiện 1 1

5

x

Vây giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x  0 0,25

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí