Chuyen de cac bai toan lien quan den kshsLTDH

Xác định a để đồ thị của hàm số có trục đối xứng cùng phương Oy...[r]

Chuyên đề 1: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm A(a;b)  (C): y = f(x)

Pttt với (C) : y = f(x) tại điểm A(a;b) là: y – b = f’(a)(x – a)

Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước:

1 Cho hàm số: y = f(x) =

( )

x x

x



 Viết pttt với (C), biết tt song song (D): 2x + y – 5 = 0

2 Viết pttt với (C) : y = f(x) = x3 – 2x2 + 2x biết tt đó vuông góc với đường thẳng (D): y = –x + 10

Cm r trên (C) không có 2 điểm nao mà tt tại 2 điểm đó vuông góc với nhau

3 Cho h/ số y = x3 + 3x2 + 3x + 5 (C)

a Cmr tt tại điểm uốn I của (C) có hệ số góc nhỏ nhất trong các hệ số góc của các tt của (C)

b Tìm k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tt tại đó vuông góc với đường thẳng (D): y = kx

4/ Cho đường cong y = f(x) =

3

3 3

x x

  và đường thẳng (d): y = m(x–3)

a Tìm m để (d) là tiếp tuyến của (C)

b Cmr (d) đi qua điểm cố định A thuuocj (C)

c Gọi A, B, C là các giao điểm của (C) và (d) Hãy tìm m để OB OC

Dạng 3: TT đi qua A(a;b)

1/ Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2–1)x – (m2 – 1) (1)

a Với m = 0 Hãy viết pttt với đồ thị của hs biết tt đi qua M 2; 1

3



b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

2/ Cho h/ số y = x3 – 9x2 + 17x + 2 (C) Qua điểm A(–2;5), có thể kẻ được bao nhiêu tt đến (C)

Dạng 4: Biện luận số tt với đường cong (C): y = f(x) đi qua 1 điểm.

1/ Cho hàm số: y = f(x) =

1

x x x

 

 (C) Tìm các điểm trên trục Oy mà từ đó có thể kẻ ít nhất một tt đến (C) 2/ Cho h/ số: y = –x3 + 3x2 – 2 (C) Hãy tìm tất cả các điểm trên đt y =2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

3/ Cho h/ số: y = x4 – x2 + 1 (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Tìm điểm A thuộc Oy sao cho từ A có thể vẽ được 3 tt đến (C)

4/Cho hàm số: yf x( ) x 4x22x (c) Tìm các điểm trên Oy sao cho từ đó có thể vẽ được ít nhất một tt 1 đến (C)

Dạng 5: Tìm điểm mà từ đó vẽ được 2 tt vuông góc với nhau với 1 đường cong (C): y = f(x)

PP: *Gọi M(a;b) là điểm cần tìm, pt đt (D) qua M: y = k(x– a) + b

*Pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = k(x –a) + b (1)

*(D) tiếp xúc với (C)  (1) có nghiệm kép, từ điều này thông thường ta tìm được một pt b2 theo k (2)

* Qua M có 2 tt với (C) và 2 tt này vuông góc với nhau  (2) có 2 nghiệm k và tích 2 nghiệm này = –1 (3)

* Từ (3) ta tìm được M

1/ Cho hàm số: y = f(x) =

3

x x x

 

 (C) Tìm những điểm trên Ox, từ đó kẻ được 2 tt với (C) và hai tt đó vuông góc với nhau

2/ Cho h/ số: y = x3 – 3x2 + 2 (C) Tìm trên đt y = –2 các điểm mà từ đó có thể kẻ đến (C) 2 tt vuông góc với nhau 3/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

1

x

x  (C) Tìm những điểm trong mp mà từ đó kẻ đến đồ thị 2 tt vuông góc nhau

Chuyên đề 2: Các bài toán liên quan khoảng cách và diện tích.

1/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

1

x

x  (C) Xác định m sao cho đt y = m cắt (C) tại 2 điểm với khoảng cách giữa 2 điểm

đó bằng 5

2/ Cho hàm số: y = f(x) = 2 1

1

x x



 (C) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

3/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

2

x x x



 (C) Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận của (C) và (d) là 1 tiếp tuyến của (C) tại một điểm M tùy ý trên (C) (d) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B Cm M là trung điểm AB và  IAB có diện tích không đổi

4/ Cho hàm số: y = f(x) =

x x x

 (C) Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận của (C) và (d) là 1 tiếp tuyến của (C) tại một điểm M tùy ý trên (C) (d) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B Cm M là trung điểm AB và tích diệnIAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Chuyên đề 3: Quỹ tích

1/ Cho hàm số: y = f(x) = 2 4

1

x x



 (C)

a Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D): y = –2x + m

b Khi (D) cắt (C) tại hai điểm M và N Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN

2/ Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)(x2 + x – 2) Một đt (D) quay quanh A(1;0) Khi (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,

M và N Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN

3/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

x mx

x m

a Tìm m để đths không suy biến thành đường thẳng

b Trong trường hợp đó, tìm quỹ tích tâm đối xứng I của (C)

4/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

1

x m x x

a Định m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu

b Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị hàm số (1)

5/ Cho hàm số: y = f(x) =

( )

x mx m

C x

a Định m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu

b Tìm quỹ tích điểm cực đại, cực tiểu của đường cong (Cm)

6/ Cho hàm số: y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) và y = g(x) = x3 + 2x2 + 7 (C) Cmr (Cm) và (C) luôn cắt nhau tại

2 điểm phân biệt A, B vói mọi giá trị của m Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB

7/ Cho hàm số: y = f(x) =

1

x x x

 (C) Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mp mà từ đó có thể kẻ đến (C) 2 tt vuông góc nhau

8/ Cho hàm số y = f(x) = x2 (C) Hai điểm A, B di động trên (C) sao choAB = 2 Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn AB

Chuyên đề 4: Sự tương giao của hai đồ thị.

1/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

1

x x x

 (C) và ( ): y = –x + m Tìm m để (C) cắt () tại 2 điểm phân biệt

2/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

mx m x

 

(Cm) và y = 2x + m –2 () Biện luận theo m số giao điểm của ( ) và (C)

3/ Cho hàm số: y = f(x) = 3 1

1

x

x

  

 (C).(D) là đt qua I(0;3) có hệ số góc là m Biện luận theo m số giao điểm của (D) và (C) Suy ra pttt của (C) vẽ từ I

4/ Cho hàm số y = f(x) = (4 – x)(x – 1)2 (C) Gọi A là giao điểm của (C) và trục Oy và (D) là đường thẳng qua A

có hệ số góc k Định k để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

5/ Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2mx2 + 2m – 1 (Cm) Định m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

6/ Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)(x2 –mx + m2 – 3) (Cm)

a Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương

7/ Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 – m (Cm) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

8/ Cho hàm số y = f(x) = x3 –3(m+1)x2 +2(m2 4m +1)x – 4m(m+1) (Cm)

a Cm (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

b Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

9/ Cho hàm số y = f(x) = x3 – x2 +18mx – 2m (Cm) Xác định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

10/ Cho hàm số: y =

2

x x x

 

 (C) và đường thẳng (d): y = kx + 2 – k Xác định k để (d) tiếp xúc (C)

11/ Cho hàm số y = f(x) = 2x3 –3(m + 3)x2 +18mx – 8 (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục Ox

12/ Tìm m sao cho qua A(0;1) không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số:

2

2

1

x mx m y

x





Chuyên đề 5: Biện luận số nghiệm của một phương trình bằng đồ thị (C): y = f(x)

1/ Cho hàm số y = f(x) = – x3 + 3x – 1 (C)

a Kshs và vẽ (C)

b Dùng (C) để biện luận số nghiệm của pt: 1) – x3 + 3x + k + 1 = 0 2) x3 – 3x + m + 4 = 0

2/ Cho hàm số: y =

2

x x x

 (C)

a Kshs

b Bl theo m số nghiệm của pt: x2 + (3 –m)x + 3 – 2m = 0 (1)

c Tùy theo m, hãy so sánh các nghiệm của (1) với các số –3 và –1

3/ Cho hàm số: y =

1

x x x

 (C)

a Kshs

b Bl theo m số nghiệm của pt: sin2 x – (m + 4)sinx + 4 + m = 0 với x  (0;  ) (1)

4/ Cho hàm số: y = 2 1

2

x x



 (C)

a Khhs

b Tìm t sao cho pt: 2sin 1

sin 2

x t x





 có đúng 2 nghiệm thõa mãn 0  x  

Chuyên đề 6: Các bài toán có liên quan đến tính đối xứng Dạng 1: Tâm đối xứng – Cặp điểm trên đồ thị đối xứng nhau qua điểm cho trướci

 Để chứng minh I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C): y = f(x), ta viết pt hàm số trong hệ trục mới, gốc tọa độ I

bằng phép tịnh tiến OI và chứng minh pt vừa nhận được là 1 hàm số lẽ

 Để tìm tâm đối xứng I(x0; y0) của (C): y = f(x), ta thực hiện:

– Gọi M(x;f(x))  (C) và N(x’;y’) là điểm đối xứng của M qua I

– Ta có: x + x’ = 2x0  x’ = 2x0 – x

f(x) + y’ = 2y0  y’ = 2y0 – f(x)

– Vì I là tâm đối xứng của (C): y = f(x) suy ra N  (C)

Tức có y’ = f(x’)  2y0 – f(x) = f(2x0 – x)  2y0 = f(x) + f(2x0 – x)

1/ Cho hàm số y = f(x) =

2

1

x mx m x

 (C) Định m để đồ thị (C) nhận I(1;2) là tâm đối xứng

2/ Tìm các cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O trên đồ thị (C) của hàm số: ( ) 4

1

x

y f x

x



 Dạng 2: Cặp điểm trên đồ thị đối xứng nhau qua một đường thẳng

PP: Gọi (C): y = f(x) và đường thẳng (D): y = ax + b (a 0) cho trước, để tìm 2 điểm A và B trên (C) đối xứng nhau qua (D), ta thực hiện các bước :

 Lập ptđt () qua A và B: (): y 1x m

a

 Gọi I = ( ) ( )  D , hoành độ xI là nghiệm của pt: ax+b = -1

ax m

 Lập pt hoành độ giao điểm (C) và (): f x( ) 1x m

a

  (1)

 Vì I là trung điểm của AB nên ta có:

2

I

x x

x   ( với xM và xN là nghiệm của (1)) từ đó tìm kết quả)

1/ Cho hàm số: y = f(x) = 4

2

x x



 (C) Tìm cặp điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng (D): x – 2y – 6 =0 2/ Cho hàm số: y = f(x) =

2

1

x

x  (C) Tìm 2 điểm M và N nằm trên (C) đối xứng nhau qua đthẳng (D): y = x – 1

3/ Cho hàm số: y = f(x) =

( ) 1

x m x m

Cm x

 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng (d): y = –(x + 4) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Dạng 3: Trục đối xứng của đồ thị

*Gọi (C): y = f(x)

 Để cm đường thẳng x = x0 là trục đối xứng (C), ta thực hiện:

– Đổi hệ trục tọa độ bằng phép tịnh tiến trên OI với I(x0; 0) Với công thức đổi trục x X x0

y Y







 – Tìm pt của (C) trong hệ trục mới IXY: Y = F(X)

– Cm hàm Y=F(X) là hàm chẵn

– Kết luận đt x = x0 là trục đối xứng của (C)

 Để cm đt (D): y = ax + b là trục đối xứng của (C), ta thực hiện:

– Gọi () là đt vuông góc với (D) và I = ( ) ( )  D

– Nếu () cắt (C) tại 2 điểm A,B và I là trung điểm của AB thì ta kết luận (D) là trục đối xứng của (C)

1/ Cm đồ thị hs y = f(x) = 2

2

x x



 nhận đương thẳng (D): y = – x – 1 làm trục đối xứng

2/ a KSHS y = f(x) = x4 – 4x3 – 2x2 +12x – 1 (C)

b.Cm đồ thị (C) có trục đối xứng cùng phương trục Oy Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox 3/ Cho hàm số: y = f(x) = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (C) Xác định a để đồ thị của hàm số có trục đối xứng cùng phương Oy