Vị trí thắng: là vị trí mà tồn tại một cách đi đến vị trí thua (vị trí ở đây ý nói giá trị n hiện tại, thắng này chỉ người chơi hiện tại và đi đến chỉ số sỏi còn lại sau lượt chơi đó[r]
Trang 1Chủ đề 5
CÁC BÀI TOÁN TRÊN LƯỚI NGUYÊN
Bài 1 Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 Trên parabol y x2, ta lấy các điểm A A1, , ,2 A n
có hoành độ lần lượt là 1,2, 3, ,n Gọi S là diện tích của đa giác n OA A A Chứng minh 1 2 n rằng S là hợp số n
Gợi ý
Sử dụng công thức tính diện tích hình thang vuông, chia nhỏ hình cần tính ra và ta có được
3 6
n
Xét các trường hợp để có được S là hợp số n
Bài 2
1) (Kỹ sư tài năng ĐH Bách khoa 2012) Cho cấp số cộng ( )a và cấp số nhân ( ) n b đều có các n
số hạng dương Biết rằng a1 b a1, n Chứng minh rằng b n
k k
a với mọi b k 2, 3, ,n 1
2) (VMO 2012) Cho hai cấp số cộng ( ),( )a n b và xét dãy đa thức n P x k( )x2 a x k với b k
1,2, ,
k n Giả sử P x P x vô nghiệm Chứng minh rằng các đa thức 1( ), ( )n P x với k( )
2 đều vô nghiệm k n 1
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho dãy các điểm phân biệt có tọa độ dương A x y với n( ; )n n 1,
n trong đó các dãy số thực dương ( ),( ) x n y xác định bởi công thức n
2
2 2
n n
Biết rằng các điểm O A A, ,1 2015 cùng nằm trên một đường thẳng d Chứng minh không tồn tại
hai chỉ số ,i j với 1 i j 2015 sao cho đoạn thẳng A A i j cắt d
Lời giải
1) Trước hết, dễ dàng chứng minh được công thức về cấp số cộng và cấp số nhân như sau:
Trang 21
n k
a
n
1 1
1
n k k n
b b b
Áp dụng trực tiếp BĐT AM-GM cho n 1 số, ta có đpcm
2) Theo giả thiết thì a124b1 0,a n2 4b n Ta cần chứng minh 0 2
1 k n
,
2
Theo BĐT AM-GM thì
1
n n
nên 2(nk k)( 1)a a1 n (nk k)( 1)(a12 a n2)
Chú ý (nk)2 (nk k)( 1) (nk n)( và 1) (k1)2 (nk k)( 1) (k 1)(n 1) nên ta viết thành
(nk n)( 1)(a 4 )b (k1)(n1)(a n 4 )b n 0 BĐT cuối đúng nên ta có đpcm
3) Theo giả thiết, ta thấy hai dãy ( ),( )x n y thỏa mãn n 1 2015
0
k
Ta sẽ chứng minh rằng với mọi i 2, 2014 thì i
i
x k
y Thật vậy,
Ta thấy
2
,
2014 2014
x x x x x x
Ta cần có
Trang 3 2
Tuy nhiên, (*) đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz vì
4
Do đây là các điểm phân biệt nên A1 A2015 x1 x2015 và đẳng thức ở (*) không xảy ra
Từ đó suy ra tất cả các điểm A A2, , ,3 A2014 đều nằm dưới đường thẳng d Ta có đpcm
Bài 3
1) (Olympic Toán SV 2016) Cho 2016 2016 điểm xếp thành lưới vuông Hỏi có bao nhiêu
bộ 4 điểm tạo thành hình vuông có cạnh là 5 ?
2) Cho lưới tam giác đều có ba điểm ở đỉnh là , ,A B C và trên mỗi cạnh AB BC CA có đúng , ,
n điểm (kể cả đỉnh) Hỏi có bao nhiêu hình bình hành trong lưới mà có các cạnh song song
với hai cạnh nào đó trong ba cạnh AB BC CA ? , ,
3) Cũng lưới tam giác đều như trên, hỏi có bao nhiêu tam giác đều có ba đỉnh lấy tùy ý từ ba trong các điểm của lưới mà cạnh song song với AB BC CA ? , ,
4) Câu hỏi tương tự 3 nhưng cạnh của tam giác có thể không song song với AB BC CA ? , ,
Lời giải
1) Chú ý rằng 52 32 42 nên ta thấy có 2 loại hình vuông thỏa mãn là: hình vuông có cạnh
5 5 song song với các cạnh của hình vuông gốc và hình vuông cũng có cạnh 5 5 nhưng lại nằm chéo (cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3, 4 ) trong hình vuông kích thước 7 7 Đáp số là: 20112 2 20092
2) Ta thấy có 3 loại hình bình hành dựa theo hướng các cạnh của chúng là: song song với ,
AB AC hoặc song song với BC BA hoặc song song với , CA CB ,
Trang 4Xét hình bình hành loại 1, bằng cách kẻ thêm một đường thẳng d phía dưới tam giác đều và cách BC một khoảng bằng chiều cao của các tam giác đều con Kéo dài các đường thẳng của lưới xuống cắt d tại n 1 điểm
Dễ dàng chứng minh được bằng song ánh rằng số hình bình hành loại này cũng chính bằng
số cách chọn ra 4 giao điểm trong n 1 giao điểm nên số lượng hình bình hành là C n41 Đáp số bài toán là 3C n41
3) Đếm bằng truy hồi kết hợp với bù trừ, ta gọi S là số tam giác thỏa mãn thì có n
2
n
a nếu n chẵn và a nếu n lẻ n 1
Công thức trên có thể hiểu dễ dàng là việc thu nhỏ số cạnh lại 1 đơn vị thì tương ứng với mỗi đỉnh, ta có 1 tam giác; khi thực hiện cộng số tam giác ở các đỉnh thì có phần chung, trừ ra, rồi lại bù vào Sau cùng, ta cộng thêm tam giác lớn ở ngoài Tuy nhiên, chú ý rằng trong trường hợp số chẵn, tam giác tạo bởi trung điểm 3 cạnh chưa được xét vào nên thay vì cộng 1, ta cộng thêm 2 Đáp số là
8
8
n
n
4) Ý tưởng tương tự trên nhưng công thức truy hồi đẹp hơn là:
S S S S n Đáp số là S n C n42
Trang 5Bài 4 (Cuộc thi Brilliant.org) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , xét tập hợp S gồm các điểm thỏa mãn:
( , ) 0x y x y, 999; ,x y
Hai bạn ,A B chơi một trò chơi như sau: Ban đầu, có 1 quân cờ ở vị trí nào đó thuộc tập hợp
S và họ di chuyển quân cờ theo cách sau:
• Bạn A đi trước và có thể di chuyển quân cờ xuống dưới 1 đơn vị hoặc sang trái 2 đơn vị
• Bạn B đi sau và có thể di chuyển quân cờ xuống dưới 2 đơn vị hoặc sang trái 1 đơn vị Hai bạn luân phiên chơi và ai buộc phải di chuyển quân cờ khỏi góc phần tử thứ nhất thì thua Hỏi có tất cả bao nhiêu vị trí mà A có chiến lược để thắng trò chơi?
Lời giải
Trước khi tiến hành xây dựng tương tự như trên, các bạn có thể cần hai định nghĩa sau về trò chơi tổ hợp cân bằng (tức là hai bên có cách chơi như nhau):
Vị trí thắng: là vị trí mà tồn tại một cách đi đến vị trí thua (vị trí ở đây ý nói giá trị n hiện tại, thắng này chỉ người chơi hiện tại và đi đến chỉ số sỏi còn lại sau lượt chơi đó)
Vị trí thua: là vị trí mà luôn phải đi đến một vị trí thắng
Ta sẽ thực hiện kiểm tra trực tiếp các vị trí gần gốc tọa độ để thử tìm một quy luật nào đó:
Trong hình trên, ta quy ước các điểm trắng là người A có chiến lược thắng, điểm đen là người
B có chiến lược để thắng Ta thấy rằng dựa vào một số kiểm tra trực tiếp vét cạn với các vị trí
(0, 0),(0,1),(1, 0),(2, 0),
thì có quy luật là các vị trí thắng thua ô hình vuông 3 3 ở ngay sát gốc tọa độ được lặp lại Điều này có thể giải thích được thông qua đặc điểm: A sang trái 1 đơn vị thì B sang trái 2 đơn vị, tổng cộng là 3 đơn vị; tương tự khi đi xuống dưới
Từ đó dễ dàng giải quyết được bài toán