tuyển tập: đề thi thử ĐH bắc Trung Nam 2014 chủ đề các bài toán liên quan đến hàm số

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

2 0

3

25

32

xkxx

x

kx

xx

Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Thay vào ( )1 ta c

m

= −+

= − th a 1

− +

=

− t i hai i m phân bi t ,A B G!i k k1, 1 l n l t là h s góc c a các ti p tuy n v i ( )C t i A và B Tìm m ∈ t ng k1+k2 t giá tr l n nh t

− +

=

− t i hai i m phân bi t ,A B G!i x x1, 2 là hai nghi m c a ( )* thì A x y( 1; 1),B x y( 2; 2)

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

1

xxx

2

0 0

11

x

xx

Ta xác nh c t!a giao i m c a ti p tuy n v i các tr c t o : ( 2 )

2 0 0

0 0

1

*1

**

1

bax

Bài làm:

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Cách 1: Ph ng trình hoành giao i m c a th hàm s ã cho v i tr c Ox :

D a vào b ng bi n thiên ta th y yêu c u bài toán ⇔ −m<3⇔m> −3

Cách 2: # th hàm s ã cho c t Ox t i duy nh t m t i m ta có các tr ng h p sau:

TH 1: # th hàm s ã cho không có c c tr hay là hàm s luôn ng bi n (do a = >1 0) trên

−

=+ hai i m ,A B sao cho A và B i x ng nhau qua i m

(1; 2)

M −

Bài làm:

Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên kho ng (−∞ −; 3) (∪ − +∞3; )

Cách 1: G!i t!a hai i m thu c th c n tìm là ;2 1 , ;2 1 ( , 3)

Vì ,A B i x ng nhau qua M(1; 2− ) nên M là trung i m c a AB , do ó:

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

Câu9 G!i B x( B >1 ,) D là giao i m c a ( ) 4 3 16 2

:

C y= − x + x và ng th ng : 4 x 3y 16 0

d + − = Xác nh t!a tr!ng tâm G c a ABC∆ Bi t A thu c tr c hoành, ABC∆vuông t i A, C d∈ và ng tròn n i ti p ABC∆ có bán kính b ng 1

Bài làm: T!a giao i m ,B D là nghi m c a ph ng trình 4 3 16 2 16 4

g(x) g'(x) x

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Câu 11 Ch ng minh r ng h! (Cm): y (m 1)x m

x m

=

+ luôn ti p xúc v i m t ng th ng c nh Bài làm:

Cách 1: Gi s$ (Cm) luôn ti p xúc v i ng th ng y ax b= + Khi ó h ph ng trình sau có nghi m v i m!i m:

2 2

aa

⇔

=

=

++

=+

Câu 12 G!i M là i m thu c th ( )C : y=x3−3x2+2 có hoành xM ≠1 Ti p tuy n t i

M c t th ( )C t i i m th hai N (khác M ), ti p tuy n t i N c t th ( )C t i i m th hai

Th c hi n phép bi n i t nh ti n: x 1 X

y Y

= +

= Trong h tr c m i ng cong ( )C có ph ng trình Y = X3−3X M là i m thu c ( )C có hoành XM =m≠0, không m t tính t ng quát có

m m

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

4 4

27

14

mS

Câu 14 Tìm giá tr tham s m ∈ sao cho th ( )C : y= x3−3x+2 và ng th ng

y=m x+ gi i h n hai hình ph ng có cùng di n tích

Bài làm:

V y v i m < −8 thì hàm s ã cho luôn ngh ch bi n trong kho ng (−1;1)

Cách 2: Hàm s ã cho ngh ch bi n trong kho ng (−1;1)⇔ y' 0,≤ ∀ ∈ −x ( 1;1) t c là ph i có

D a vào b ng bi n thiên, suy ra m≤g x( ) v i ∀ ∈ −x ( 1;1)⇔m≤ −8

V y v i m ≤ −8 thì hàm s luôn ngh ch bi n trong kho ng (−1;1)

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Câu 16 Tìm m kho ng cách t 1;4

+

++

IM

m

Câu 17 Tìm m ng th ng ( ): 9 3

4

d y= x− c t th hàm s y=mx3−6x2+9mx−3 t i 3

i m phân bi t A(0; 3 , ,− ) B Cth a mãn i u ki n B n m gi&a A và C ng th i AC =3AB Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên

S giao i m c a th ã cho v i ng th ng d là s nghi m c a ph ng trình:

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Câu 18 Tìm m th hàm s 3 1( ) 2

x

y= − m+ x + mx+ có hai i m c c tr i x ng v i nhau qua ng th ng 9x−6y−7 0=

Hàm s có hai i m c c tr ⇔ Ph ng trình ' 0y = có hai nghi m phân bi t ⇔m≠2

Khi ó hai i m c c tr c a th hàm s ã cho là:

3 2

2

mm

+ V y m =4 không th a mãn yêu c u bài toán

+ V y m =0 th a mãn yêu c u bài toán

M N sao cho dài o n th ng MN nh nh t

Bài làm:Ph ng trình hoành giao i m c a ng th ng và th :

# ng th ng c t th hàm s t i hai i m phân bi t khi và ch khi ph ng trình ( )* có

hai nghi m phân bi t

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Bài làm:Ph ng trình hoành giao i m c a (Cm) và tr c hoành:

4 3 1 2 3 2 0 2 1 2 3 2 0 *

V i m >0 thì (Cm) c t tr c hoành t i 4 i m phân bi t và x= 3m+2 là hoành l n nh t

Gi s$ A( 3m +2;0) là giao i m có hoành l n nh t và ti p tuy n d t i A có ph ng trình:

G!i B là giao i m c a d v i Oy , suy ra B(0; 2 3− ( m+1 3)( m+2) )

Theo gi thi t, tam giác OAB vuông t i O và SOAB =24⇔OA OB =48

Bài làm:Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên

G!i A là i m n m trên ng th ng y = −4 nên A a −( ; 4)

# ng th ng ∆ qua A v i h s góc k có ph ng trình y=k x( −a)−4

# ng th ng ∆ ti p xúc v i th ( )C t i i m có hoành x khi và ch khi h ph ng trình

3 2

( ) ( ) ( )

( )

2 2

Tr ng h p 1:g x( )ph i th a mãn có m t nghi m b ng −1 và nghi m khác −1, hay:

1

12

g

a

aa

a

a

= −+

A B có hoành x x1, 2 th a mãn 2

1 9 1 8 2

x − x = x Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên kho ng (−∞ −; m) (∪ −m;+∞)

Hoành giao i m c a ng th ng d và (Cm) là nghi m c a ph ng trình

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

24

m

mm

<

< −

V y m < −1 là giá tr c n tìm

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

V y, m < −3ho c 1 1

3m

Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên

TH2:t > 43 12 4− t4 <0, ph ng trình ( )** tr% thành: (4t4−12 )t =104

Bài làm:Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên

Hoành giao i m c a tr c hoành và (Cm) là nghi m c a ph ng trình:

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

= − −+ = −

V y v im ∈(3− 17;3+ 17 \ 2) { ± 7} th a mãn yêu c u bài toán

Cách 2:S giao i m c a th ã cho v i tr c hoành là s nghi m c a ph ng trình:

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

( )

2 2 2

Bài làm:G!i M x( 0; y0) là i m thu c th ( )C , khi ó: ( ) 0

=+

TH2:

0 2

= −+

mm

=

−

= −+

42

mm

mm

= −+

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015

0 -'

g(x) g'(x) x

Cách 1: G!i M x y( 0; 0) là t!a ti p i m c a ti p tuy n ( )t và th ( )C c a hàm s Khi ó,

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Bài làm:Ph ng trình hoành giao i m c a ( )C và ∆ : x3−3x2−(2m−1)x+4m+2 0=

V y không có giá tr c a m th a mãn MNP∆ nh n O làm tr!ng tâm

Câu 34 Xác nh t t c nh&ng i m M trên th ( ): 2 2

;1

2

0 0

4:

11

x

xx

Cách 2: Nh n th y I(1;2) là tâm c a hypebol Do ó ( )C ti p xúc v i ng tròn tâm I theo

2 0

34

1

11

xx

xx

=

= −

V y M(3;4 ;) M −( 1;0) th a mãn yêu c u bài toán

Câu 35.Cho ng th ng :d y= − +x m và hai i m M(3;4) và N(4;5) Tìm các giá tr c a m

− sao cho ti p tuy n t i M c t hai ng ti m c n c a ( )C

t i ,A B ng th i hai i m này cùng v i i m I t o thành m t tam giác n i ti p ng tròn có bán kính b ng 10

Bài làm:T p xác nh D = \ 1{ }

Chuyên KH O SÁT HÀM S Luy n thi i h c 2015 Hai ng ti m c n c a th hàm s là: ti m c n ngang y =2, ti m c n ng x =1

Giao i m c a hai ti m c n là I(1;2)

Gi s$ i m M x y( 0; 0) thu c th hàm s (x ≠0 1), suy ra 0

0 0

1

xyx

V y có hai i m M th a mãn yêu c u bài toán là M(2;5) và M(4;3)

Câu 37 Tìm m th hàm s y=2x3−3(m+1)x2+6mx ( )1 có hai i m c c tr A và B sao cho ng th ng AB vuông góc v i ng th ng y = x+2

N u m =1 thì y' 6= (x−1)2 y' 0,≥ ∀ ∈x và ' 0y = ⇔ x =1

Do ó hàm s ng bi n trên t p xác nh, hay hàm s không có c c tr

N u m ≠1 thì ' 0y = luôn có hai nghi m phân bi t và i d u qua hai nghi m ó (vì 'y là hàm a

th c b c hai) và do ó hàm s luôn có hai c c tr