Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong Xét họ đường cong C,„ có phương trình y= ƒx,zm, trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến + với m là tham số sao cho bậc của không quá 2.. Hãy tìm
Trang 1Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
A KIEN THỨC CƠ BẢN
I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong (C,„) có phương trình y= ƒ(x,zm), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến +
với m là tham số sao cho bậc của không quá 2 Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đỗi?
s* Phương pháp giải:
o Bước 1: Đưa phương trình y= ƒ(x,) về dạng phương trình theo ân zr có dạng sau:
Am+B=0 hoặc Am” + Bm + CC =0
o Bước2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
A=0 A=0
hoặc , B=0
B=
C=0
o Bước3: Kết luận
* Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C,„) không có điểm có định
+ Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C,)
II Bai todn tim điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (ham phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ
nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đâu
là số nguyên
s* Phương pháp giải:
o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số
o Bước2: Lí luận để giải bài toán
HI Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm,
qua đường thẳng
Bai todn 1: Cho dé thi (C): y = Ax’ + Bx’ +Cx+D trén đô thị (C) tìm những cặp điểm đổi
xing nhau qua diémI(x,, y,)
A(a’ +b*)+ B(a? +b’)+C(a+b)+2D=2y,
Giải hệ phương trinh tim dugc a,b tt dé tim dugc toa d6 M, N
Trường hợp đặc biệt : Cho đô thị (C): y = Ax’ + Bx’ +Cx+D Trén dé thi (C) tìm những cặp
điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ
s* Phương pháp giải:
Trang 2Y Goi M (a, Aa’ + Ba’ +Ca+ D),N(b, Ab’ + Bb’ +Cb+D) 1a hai diém trên (C) đối xứng
nhau qua gốc tọa độ
a+b=0
⁄ Ta có 8 +b°)+B(a’ +b’) +C(a+b)+2D=0
Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M,N
Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Ax) + Bx”+Cx+ D trên đô thị (C) tìm những cặp điểm đổi xứng nhau qua đường thẳng d: y = Ax+B
Giải hệ phương trình tìm được Ä, N
IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:
1 Lí thuyết:
Loại I Cho hai điểm P(x:y):0(;;y,)= PO =+4|(x~x,Ý +(v;~ y,Ÿ ‹
Cho điểm M (xạ:yạ) và đường thắng đ: Ax+ By+C =0, thì khoảng cách từ M
đến đ là h(M-d) =o Bo Cl
VA’ +B?
Loại 2 Khoảng cách từ M (xạ: yạ) dén tiém cin dimg x=a la h=|x,-a]
Loại 3 Khoảng cách từ M (xạ; yạ) đến tiệm cận ngang y= là b=|yạ —ở|
Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường
thẳng với một đường cong (C) nào đó Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điêu kiện tôn tại rôi tìm tọa độ của chúng
2 Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Cho ham s6 y= ax +b
cx+d điển A va B thuộc hai nhánh đô thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất
Trang 3Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
v Nếu B thuộc nhánh phải thì x, >_- 4 Ty, 44 85-4 ys = ƒ#Œyg)
* Sau đó tính AB” = (x, —x,) +(y,- y,) = [(a+ 8)-(a—a) | +(y, ~y,)
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất
s* Phương pháp giải:
Gọi M (x; y)va tong khoảng cách từ Mĩ đến hai trục tọa độ là đ thì đ = x|+|y]
v Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung
* Sau đó xét tong quát, những điểm 4 có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến
v Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm
rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ
Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = ƒ(x) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lẫn khoảng cách từ M đến trục Oy
Y Sit dung phương pháp tìm GTLN - GTNN cho ham số g dé thu dugc két qua
Bài toán 5: Cho đô thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(x) và đường thẳng d:Ax+By+C =0 Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất
Trang 4Biết đồ thị (C„) của hàm sé y=x*—2mx’ +3 luén di qua mét diém M cé dinh khi m thay
déi, khi đó tọa độ của diém M là
A M (—1;1) B M (1:4) C M (0;-2) D M (0;3)
Biết đồ thị (C„„) của hàm số y = mi (m0) luôn đi qua một điểm M có định khi m
thay đôi Tọa độ điểm M khi đó là
Trang 5Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
—x+m
M (Xy3Yy) C6 dinh khi m thay d6i, khi d6 x,, + y,, bang
Cho hàm số y=—x` +zmxz”— x—4m có đồ thị (C„) và A là điểm có định có hoành độ âm của
(C,„) Giá trị của mm dé tiép tuyén tại A của (C, ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là
Trang 6C M(5;2),M (-10) D u[4:3].m (0-3)
Các giá trị thyc cia tham s6 m dé dé thi (C,,) cha ham sé y =x’ —3x?+m cé hai diém phan
biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là
Á -l<m<0 B m#0 C m>-3 D m>0
Trang 7Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aế BTN_2 3
Câu 31 Cho hàm số y= — có đồ thị (C) Gọi đ là khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến giao
x+
điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất có thể có của đ là
Câu 32 Cho hàm số y= = có đồ thi (C) va I 1A giao diém cia hai dudng tiém cận của (C) Tiếp xX —
tuyến tại một điểm M bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B Diện tích của tam
giác ABI bằng
Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= —, biết M có hoàng độ a va khoang cach
x+
từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có thể có của ø là
A a=1 hoac ans B a=—-1 hoặc x=—
Câu 34 Cho hàm số y=—” có đề thị (C) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị (C) và đ là tổng
Câu 36 Có bao nhiêu điểm #⁄ thuộc đồ thị (C) của hàm số y = cách đều hai trục tọa độ ?
Câu 37 Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= có tọa độ nguyên ?
x+2x+2
Cau 38 Biét dé thi (C,,) cha ham s6 y=x? —3(m—1)x’ —3mx+2 lu6n luén di qua hai diém cé dinh
P(x,:y„) và Q(xạ: yạ} khi m thay đỗi, khi đó giá trị của y„ + y„ bằng
Câu 39 Tọa độ điểm AM thuộc đồ thị (C) của hàm số y=“”—ˆ sao cho khoảng cách từ điểm /(—1;2)
x+1
đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.là
Trang 8Cho ham s6 y=2274 x+1
tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?
có đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai
Biết đồ thị (C„) của hàm số y= x“+mx”—m+2016 luôn luôn đi qua hai điểm 3 và N cố
định khi m thay đôi Tọa độ trung điểm 7 của đoạn thang MN la
A I(-1;0) B 7(1;2016) Π/(0;1) D /(0;2017)
Trang 9Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
Cho ham sé y=—x‘*+2mx?-2m+1.c6 d6 thi (C,) Goi A là điểm cố định có hoành độ
duong cua (C,,) Khi tiếp tuyến tại A của (C,,) song song với đường thang d: y=16x thi gid trị của m là
Trang 10Điều kiện của tham số ứøm để trên đồ thị (C„) của hàm số y= xÌ —(3m—1)x”+2mx+m+1 có
ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Óy là
Toa d6 hai diém trén d6 thi (C) cia ham s6 y=—-x°+3x+2 sao cho hai diém d6 d6i xing
nhau qua điểm # (-1; 3) là
Trang 11Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
Trang 12C DAP AN VA HUONG DAN GIAI BAI TAP TRAC NGHIEM
I- ĐÁP ÁN 1|12|13|14|5|L617 |8 | 9 |10|11| 12| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 B|C|B|D|B|IC|A|B|IC|IC|A|A|A|DI|C|D|ID|D|AIB
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 DỊA|B|A|A|A|C|D|C|D|D|A|D|C|B|IC|IC|B|ICIỊID
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 D|C|C|B|A|D|B|ID|B|A|B|A|D|C|B|A|C|IC|B|IB
Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm Ä⁄ vào phương trình hàm số
luôn đúng với mọi rn thì điểm đó là điểm cố định
Chúng ta có thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số
luôn đúng với mọi zn thì điểm đó là điểm cố định
Trang 13Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3 Câu 4 (GhigaD)
Gọi M (3; yạ) là điểm cố định cần tìm
Chúng ta có thê thê từng đáp án đê kiêm tra, tức là thê tọa độ điêm Mí vào phương trình hàm sô
luôn đúng với mọi z thi diém đó là điệm cô định
Trang 14Tiệm cận đừng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt có phương trình x=1, y=2
Trang 15Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2_3
Lại có yˆ=—3x?+2mx—1— y(—2) =—4m—13
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại A(-2;10) có dạng y=(-4—13)(x+2)+10 hay y=(-4m—13)x—8m—16 (A)
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình đ: y= x
Trang 17Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài
Gọi M (xạ; yạ) VỚI xạ € 2, yạc Z2
Vậy cặp điểm cần tim 1a A(1;2), B(3;34)
Goi A(x,3x3 —4x2 +9x, +4), B(x,;x; —4x2 +9x„ +4) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua
sốc tọa độ
y„ T+yp =2Vo x¿ 4x4 +9x,+4+x;T—4x;+9x;„+4=0 (2)
Thay () vào (2) ta được
Trang 18Vậy cặp điểm cần tìm là A(;10), B(—1;-10)
Goi A(a;a° +a), B(b;b° +b) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thang d:y=— Sa hay d:x+2y=0
Với AB =(b-a;(b—a)(a’ +ab+b’ +2)), tir (2) tacd
2(b—a)—(b—a)(a?+ab+b? +1) =0
©(b—a)(a”+ab+b?T—1)=0
=> a’ +ab+b’-1=0 (4) (Vi a#b)
Thay (3) vào (4) ta được Tnhh
a=-1>bD=1
Vậy cặp diém can tim 1a A(1;2), 8(-1;-2)
Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang là y = I
x —3x5 +m=—| (-x)° -3(-%)? +m| € ton tai x, #0 sao cho 3x, =m & m>0
Giao điểm của hai tiệm cận là 7 (—1;1) gọi M [a a ï
Trang 19Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
cách từ M téi Oy c6 hoành độ là nghiệm phương trình | ƒ (z)| =|a|©
ƒ(z)=-kx Cách khác:
Goi A X33 %A +x, +3x, —a B Xp?— a Xh +x; +3x; -3 la hai điêm trên (C) đôi xứng
nhau qua trục tung
Trang 20Thay (1) vao (2) ta được:
Trang 21Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2_3
Khoảng cách từ 7(—1;2) tới tiếp tuyến
Cau 40 Chon)
Đồ thị hàm số (C„) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tôn tại
X) #2 va x, #0 sao cho y(x%,) =—y(—*ạ)
Phương trình đường trung trực đoạn Á là y= x
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phương trình :
Trang 221—x/5 8), (a8 tế]
Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là 5 5 5
*x„ => yự„ =l Phương pháp trắc nghiệm
Goi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là x„ <3 với số œ>0, đặt
Vậy AB? =(xy—x¿} +(y;— y„}Ÿ -[(5+8) a)P +[1+5)-(1-$)|
Trang 23Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
Gọi (xạ; yạ) là điểm cố định cần tìm
Ta có yạ = x9 + mxa —m~+ 2016, Vm © (x2 —]l)m + xj — yạ +2016 =0, Vm
Câu 47 (ØW@Wf
Điểm M năm trên trục Ox : M(-2;0) => đự =|_-2|+0=2
Điểm M nằm trên trục tung : đ„ =0+
-7|-2<2 3| 3 Xét những điểm ⁄ có hoành độ lÌ>5= 4, =lx|+|| >=
Xét những điểm #⁄ có hoành độ thỏa mãn |x| < = y< -ễ =>|y|> 20
= Truong hop: 0<x<2.Do (*) cho nén: d,, =l*lb|>2
Trang 24Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn Š => d =|x|+|y|>
Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn š :
5 X1 € 92x? —(m+3)x+2m+4=0-
h(x)
x—
Vậy họ đồ thị có hai điểm có định là (—1;0), (1;0)
Trang 25Chuyên đề 2 Các bài toán tiên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
Phương trình tiếp tuyến của (C,) tại điểm A(1;0) có dang y=(4m-—4)(x-1) hay
Trang 26Gọi M| a; e(C) voi a#2 ta c6 |a—2|=|-—-1| @ |a-2;= —_ © Vay
M (0;—1) M (4;3)
Câu 5ó (ØW@WÑ
Gọi u( a2 )e(c) voi a#l1 ta có lal =|2 7 o> |" Vay
Vì hệ có 3 nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có 3 điểm có định
Trang 27Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị hàm aố BTN_2 3
atl a+2
atl a+2
Gọi „(a5 } (C) với a#2 Ta có đ =|a—2|+ 62 -=le—2]+ 2228
Trang 28Ta có 5|a—2|=|“ *Z~1 a—
|+23le~3|= ˆgi*35(0ˆ~4a+4)=4 m
+
c> 5z? —20z+16=0 cy „- 10*245
Vậy có hai điêm cân tìm