Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy chuyên đề “các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất”

Tiềm năng của dạy học chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.. Một số biện pháp phát triển tư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGHIÊM QUỲNH ANH

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ “CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT”

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGHIÊM QUỲNH ANH

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ “CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT”

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2019

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tác giả xin được trân trọngcảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội và cácthầy giáo, cô giáo đang công tác tại trường đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợicho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành đề tài này

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tớiGS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tác giảtrong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy cô giáotrong tổ Toán trường THCS Nguyễn Tri Phương đã tạo điều kiện thuận lợi trongquá trình tác giả thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho những người thântrong gia đình và bạn bè, các bạn đồng nghiệp - những người đã luôn quan tâm,động viên, cổ vũ, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu củacác thầy cô giáo và các bạn độc giả quan tâm đến đề tài

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 2 năm 2019

Tác giả

Nghiêm Quỳnh Anh

DANH MỤC CÁC CHỮ VÀ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

* Danh mục các ký hiệu viết tắt

[b1, b2, , bn] Bội chung củab1, b2, , bn

lcm (b1, b2, , bn) Bội chung nhỏ nhất của b1, b2, , bn

P

TổngQ

Tích

(a1, a2, , an) Ước chung củaa1, a2, , an

gcd(a1, a2, , an) Ước chung lớn nhất của a1, a2, , an

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Kết quả điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng

tạo của giáo viên 60

Bảng 3.2 Kết quả điều tra thực trạng học tập theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh 62

Bảng 3.3 Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra số 1 64

Bảng 3.4 Phân phối tần suất kết quả bài kiểm tra số 1 64

Bảng 3.5 Phân phối tần suất tích lũy kết quả bài kiểm tra số 1 64

Bảng 3.6 Tổng hợp phân loại kết quả bài kiểm tra số 1 65

Bảng 3.7 Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra số 2 66

Bảng 3.8 Phân phối tần suất kết quả bài kiểm tra số 2 66

Bảng 3.9 Phân phối tần suất tích lũy kết quả bài kiểm tra số 2 67

Bảng 3.10 Tổng hợp phân loại kết quả bài kiểm tra số 2 67

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ VÀ SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Các giai đoạn của tư duy 8

Biểu đồ 3.1 Kết quả điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo của giáo viên 61

Biểu đồ 3.2 Kết quả điều tra thực trạng học tập theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh 62

Biểu đồ 3.3 Phân phối tần suất bài kiểm tra số 1 65

Biểu đồ 3.4 Phân phối tần suất tích lũy bài kiểm tra số 1 65

Biểu đồ 3.5 Phân loại kết quả học tập bài kiểm tra số 1 66

Biểu đồ 3.6 Phân phối tần suất bài kiểm tra số 2 67

Biểu đồ 3.7 Phân phối tần suất tích lũy bài kiểm tra số 2 68

Biểu đồ 3.8 Phân loại kết quả học tập bài kiểm tra số 2 68

Mục lục

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VÀ KÝ HIỆU VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ VÀ SƠ ĐỒ iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Các vấn đề chung về tư duy 5

1.1.1 Khái niệm tư duy 5

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 6

1.1.3 Các giai đoạn của tư duy 7

1.1.4 Các thao tác tư duy 8

1.2 Các vấn đề về tư duy sáng tạo 9

1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo 9

1.2.2 Các đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo 11

1.2.3 Dạy tư duy sáng tạo cho học sinh 13

1.3 Tiềm năng của dạy học chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 14

1.4 Thực trạng dạy và học các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất trong chương trình toán THCS 15

1.4.1 Thực trạng dạy của giáo viên 15

1.4.2 Thực trạng học của học sinh 16

1.5 Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua

dạy học chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn

nhất và bội chung nhỏ nhất” 17

Kết luận chương 1 18

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ “CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT” 19

2.1 Các kiến thức cơ bản liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 19

2.1.1 Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên 19

2.1.2 Số nguyên tố Hợp số Số chính phương 19

2.1.3 Ước chung lớn nhất 22

2.1.4 Bội chung nhỏ nhất 23

2.1.5 Đồng dư 24

2.2 Một số dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 25

2.2.1 Các bài toán về ước chung lớn nhất 25

2.2.2 Các bài toán về bội chung nhỏ nhất 27

2.2.3 Một số dạng toán liên quan 28

2.3 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” 35

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh sử dụng linh hoạt các thao tác tư duy 36

2.3.2 Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán 40

2.4 Kiến thức mở rộng liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất giúp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 48

2.4.1 Tổng các ước số và số các ước số của một số 48

2.4.2 Số hoàn chỉnh 50

2.5 Một số đề thi học sinh giỏi và Olympic liên quan 53

Kết luận chương 2 57

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 58

3.1 Khái quát về thực nghiệm sư phạm 58

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 58

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 58

3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 58

3.1.4 Nội dung thực nghiệm 58

3.2 Phương pháp dạy thực nghiệm 59

3.2.1 Chọn đối tượng thực nghiệm 59

3.2.2 Bố trí thực nghiệm 59

3.2.3 Giáo án và đề kiểm tra thực nghiệm 59

3.3 Phân tích kết quả phiếu điều tra 59

3.3.1 Phân tích kết quả điều tra giáo viên 59

3.3.2 Phân tích kết quả điều tra học sinh 61

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 63

3.4.1 Đánh giá định tính 63

3.4.2 Đánh giá định lượng 64

Kết luận chương 3 69

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, đất nước ta đang trên đường đổi mới và phát triển, do đó cần cónhững con người năng động và không ngừng sáng tạo Ở Việt Nam cũng như trênthế giới, giáo dục và đào tạo được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực của sựphát triển kinh tế và xã hội Với sứ mệnh làm thay đổi và gia tăng giá trị con người,mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện

về mọi mặt, không những có kiến thức chuyên sâu mà còn giàu năng lực trí tuệ,biết vận dụng linh hoạt các kiến thức lý luận vào trong thực tiễn

Chính vì vậy một trong những nhiệm vụ hàng đầu của giáo dục ngày nay làgiáo dục thế hệ trẻ có năng lực tư duy sáng tạo Tuy nhiên, thực tế giảng dạy chothấy những nội dung được giảng dạy trên lớp chỉ đơn thuần là những kiến thứcđược gói gọn trong chương trình sách giáo khoa Trong khi đó để đáp ứng nhu cầuđổi mới giáo dục hiện nay, các trường học cần phải phát triển cho học sinh khôngnhững các năng lực và phẩm chất trí tuệ mà còn cần rèn luyện cho học sinh về khảnăng tư duy, tính hợp logic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận,trong học tập, qua đó có tác dụng hình thành và phát triển năng lực tư duy sángtạo ở mỗi học sinh một cách hiệu quả

Toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, trải qua hơn hai ngàn năm pháttriển toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhậpvào hầu hết các ngành khoa học và là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quantrọng Chính vì vậy môn Toán là một trong những môn học chính, xuyên suốt quátrình học tập của học sinh ở trường phổ thông, đồng thời đóng vai trò vô cùngquan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Đã có nhiều công trình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đề cập tớinhững vấn đề về lý luận và thực tiễn của việc phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh trong dạy học môn Toán Điển hình là trong tác phẩm “Sáng tạo toán học” nổitiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá

trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và đúc kết ra những kinh nghiệm giảngdạy của bản thân Nhà tâm lí học Crutexki với tác phẩm “Tâm lý năng lực toán họccủa học sinh” cũng đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh, đồngthời đã nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán cho học sinh Các tácphẩm trong nước nổi bật khác như “Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán”của tác giả Nguyễn Thái Hòe, hay “Xây dựng câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡngmột số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường Trunghọc cơ sở Việt Nam” của tác giả Tôn Thân cũng đã gây được ấn tượng mạnh mẽ.Chủ đề về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất có vị trí quan trọngtrong chương trình toán Trung học cơ sở (THCS) Các dạng toán về ước chung lớnnhất và bội chung nhỏ nhất thường hay xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi vàOlympic Nếu chỉ dừng lại ở cách học thông thường thì khi gặp các bài toán khóhơn, với năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng hợp còn hạn chế học sinh sẽ rấtkhó khăn trong việc giải loại toán này Hơn nữa để giải được các bài tập nâng cao,ngoài các kiến thức cơ bản có trong chương trình, học sinh còn phải biết liên kếtcác nội dung và nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng Những vấn đề nàyđặt ra yêu cầu đối với giáo viên dạy toán là cần tăng cường dạy học theo hướngphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Với mong muốn giúp học sinh giải quyết những khó khăn trên, nâng cao chấtlượng dạy học nội dung ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất, tôi đã chọn đề

tài nghiên cứu Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học cơ sở thông

qua dạy chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về tư duy sáng tạo từ đó vận dụng vào dạy học phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy chuyên đề “Các dạng toán liên quanđến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” ở trường THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo và các yếu tố đặc trưng của

tư duy sáng tạo.

- Điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở trườngTHCS trong dạy học nội dung ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất hiện nay.Qua đó đề xuất các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạyhọc các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

- Xây dựng và khai thác hệ thống các bài tập nội dung ước chung lớn nhất vàbội chung nhỏ nhất phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình phát triển tư duy sáng tạo cho học sinhTHCS thông qua dạy chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu dạy học chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất vàbội chung nhỏ nhất” theo hướng phát triển tư duy sáng tạo thì

- Học sinh sẽ có hứng thú và có nhu cầu học toán, làm toán; giúp học sinhthấy đó như là một trong những nhu cầu của bản thân

- Học sinh có khả năng vận dụng các kiến thức, kĩ năng vào giải toán, biếtphân tích nội dung để từ đó tìm ra các cách giải khác nhau cho bài toán

- Học sinh biết phân tích, phát hiện, đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Giới hạn nghiên cứu: Chương trình Toán THCS

- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Tri Phương,

quận Ba Đình, thành phố Hà Nội.

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu về giáo dụchọc môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết khoa học toán phục vụ cho đề tài, cáccông trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp tới đề tài

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên dạy Toán, học sinh lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng về thực trạng vấn đề dạy học theo hướng phát triển tưduy sáng tạo trong môn Toán

- Quan sát các hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinhtrong quá trình thực nghiệm

- Nghiên cứu các sản phẩm hoạt động giáo dục

- Tổng kết kinh nghiệm giáo dục

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm 02 giáo án nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả của đề tài

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lí số liệu điều tra khảo sát nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và hiệuquả của giả thuyết nghiên cứu

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục,luận văn dự kiến được trình bày trong 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạychuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất”

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Các vấn đề chung về tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Thế giới hiện thực có rất nhiều điều mà con người chưa biết đến và chưanhận thức được Cuộc sống luôn đặt ra nhiệm vụ đòi hỏi con người phải thấu hiểunhững điều chưa biết đó một cách sâu sắc, phải nắm được bản chất và những quyluật tác động của chúng Quá trình nhận thức của con người khi đó được gọi là tưduy

Theo tâm lý học, tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao (bộnão con người) Thế giới vật chất được tư duy phản ánh dưới dạng các hình ảnh lý

tưởng: “Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ

có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết đến” [2]

Ở một góc nhìn khác: “Tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [5, tr.25] là khái niệm mà tác giả X.L.Rubinstein

đã đưa ra

Từ điển triết học định nghĩa: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận” [21]

Theo cách hiểu đơn giản nhất, tư duy là một quá trình mà ở đó diễn ra cáchoạt động của trí tuệ mà con người sử dụng để xử lý thông tin, giải quyết vấn đề,đưa ra quyết định và tạo ra nhiều ý tưởng mới Con người sử dụng kỹ năng tư duykhi cố gắng phán đoán, tổ chức thông tin, kết nối, đặt câu hỏi, lập kế hoạch hoặcquyết định phải làm gì

Tóm lại, có thể hiểu tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộctính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật,hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết Tư duy là môtquá trình tâm lý thuộc bậc thang nhận thức lý tính, cao hơn hẳn so với cảm giác,tri giác Cơ sở sinh lý của tư duy là hoạt động của vỏ đại não Hoạt động tư duyđồng nghĩa với hoạt động trí tuệ Mục tiêu của tư duy là tìm ra các triết lý, lý luận,

phương pháp luận, giải pháp trong các tình huống hoạt động của con người.

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính, so với cảm giác, tri giácthì tư duy có những đặc điểm mới về chất Đó là những đặc điểm cơ bản sau:+ Tính có vấn đề của tư duy: Chỉ khi gặp những tình huống có vấn đề thì tưduy mới nảy sinh Hoàn cảnh có vấn đề kích thích quá trình tư duy Vì thế để kíchthích được tư duy thì cá nhân phải nhận thức được đầy đủ hoàn cảnh có vấn đề

và chuyển chúng thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân Tức là cá nhân cần phải xácđịnh được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề là gì, cái gì đã biết, cái gì chưa biết

và cần phải tìm kiếm cái gì để giải quyết vấn đề

+ Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy con người không nhận thức thế giới mộtcách trực tiếp mà có khả năng phản ánh hiện thực khách quan một cách gián tiếp.Tính gián tiếp đó được thể hiện ở việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy,dùng ngôn ngữ làm phương tiện để phản ánh thế giới Nhờ có ngôn ngữ mà conngười sử dụng các kết quả của quá trình nhận thức của nhân loại và kinh nghiệmcủa bản thân vào quá trình tư duy để phát hiện ra bản chất của sự vật hiện tượng

và quy luật giữa chúng

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy: Không giống với nhận thức cảmtính, tư duy không phản ánh sự vật, hiện tượng một cách cụ thể và riêng lẻ mà

có khả năng đi sâu vào những sự vật, hiện tượng nhằm vạch ra những thuộc tínhchung, những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng

Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, dấuhiệu cụ thể, cá biệt hay gạt bỏ những yếu tố không cần thiết chỉ giữ lại cho mìnhnhững thuộc tính, bản chất chung, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa các

sự vật, hiện tượng Trên cơ sở đó, các sự vật hiện tượng riêng lẻ, nhưng có nhữngthuộc tính bản chất chung được khái quát thành một nhóm, một loại, một phạmtrù Nói cách khác, tư duy vừa mang tính trừu tượng, vừa mang tính khái quát.Tính trừu tượng của tư duy không chỉ giúp con người giải quyết những nhiệm

vụ hiện tại mà còn có thể giải quyết được những nhiệm vụ trong tương lai Nhờtính khái quát nên trong quá trình tư duy con người có thể sắp xếp các sự vật, hiệntượng thành từng nhóm, từng loại, từng phạm trù, để có những quy tắc, phương

pháp giải quyết những tình huống tương tự.

+ Tư duy có mối liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Trong cuộc sống hàng ngàycon người cần có một công cụ để giao tiếp Đó là điều kiện để ngôn ngữ ra đời.Ngôn ngữ được con người sử dụng như một phương tiện để tư duy Nhờ cóngôn ngữ mà quá trình tư duy của con người mới diễn ra được Vì thế tư duy củacon người không thể tồn tại nếu không có ngôn ngữ, ngược lại nếu không dựa vào

tư duy thì ngôn ngữ cũng không thể có được Ngôn ngữ ra đời đánh dấu bước nhảyvọt trong sự phát triển của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ.Ngôn ngữ trở thành phương tiện giao tiếp, đóng vai trò quan trọng trong giao tiếpgiữa con người với con người

+ Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy và nhận thứccảm tính có mối quan hệ biện chứng với nhau Đây là mối quan hệ hai chiều

Tư duy được bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, ở đó quá trình nhận thức làmxuất hiện tình huống có vấn đề là ngọn nguồn kích thích để nảy sinh tư duy Quátrình tư duy được diễn ra trên cơ sở những tài liệu phong phú do nhận thức cảmtính đem lại, sản phẩm của tư duy được kiểm tra bằng những hình thức trực quantrong thực tiễn

Ngược lại, tư duy và sản phẩm của tư duy có ảnh hưởng mạnh mẽ đến nhậnthức cảm tính, làm cho năng lực cảm giác nhạy bén hơn Do đó quá trình nhậnthức diễn ra nhanh và chính xác hơn Đồng thời khắc phục những sai lầm của nhậnthức cảm tính

1.1.3 Các giai đoạn của tư duy

Theo tài liệu [20], K.K.Platonov đã xây dựng sơ đồ các giai đoạn của quátrình tư duy như sau

Sơ đồ 1.1 Các giai đoạn của tư duy

Sản phẩm của quá trình tư duy là ý nghĩ, nó được biểu hiện ở khả năng xâydựng những khái niệm chung gắn với sự trình bày của những quy luật tương ứngcủa con người Như vậy có thể nói, cho dù các vấn đề tư duy có nảy sinh từ trong

lý luận hay trong thực tiễn thì quá trình tư duy cũng đều diễn ra theo các giai đoạntrên

1.1.4 Các thao tác tư duy

Các tài liệu [2], [4], [7], [11], [14], [19] đều có điểm chung cho rằng các giaiđoạn của tư duy chỉ mới phản ánh được cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nộidung bên trong của mỗi giai đoạn tư duy lại là một quá trình được diễn ra dựa trên

cơ sở những thao tác tư duy Như vậy, có thể nói các thao tác trí tuệ chính là cácquy luật bên trong của tư duy và tư duy được diễn ra thông qua các thao tác sau.+) Phân tích - Tổng hợp

Phân tích là quá trình chia đối tượng ra thành các bộ phận, các thành phầnkhác nhau để đi sâu vào các chi tiết cụ thể, những đặc điểm của đối tượng

Tổng hợp là quá trình hợp nhất, kết hợp những bộ phận, những thành phầnkhác nhau đã được tách rời của đối tượng nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể để

từ đó nhận thức đối tượng một cách bao quát và toàn diện hơn

Có thể nói, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động cơ bản của quá trình tưduy và là hai mặt đối lập nhau Bởi phân tích là cơ sở để tổng hợp, còn tổng hợplại giúp định ra phương hướng cho việc phân tích kế tiếp Như vậy trong quá trìnhdạy học môn Toán, giáo viên cần chú trọng đến việc hướng dẫn học sinh phân tíchbài toán để tìm ra lời giải

+) So sánh – Tương tự

So sánh là quá trình dùng trí óc nhằm xác định sự giống nhau và khác nhaugiữa các sự vật hiện tượng So sánh có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích – tổnghợp Nhờ phân tích – tổng hợp mới tìm ra những thuộc tính giống nhau và khácnhau của các sự vật hiện tượng

Tương tự là thao tác tư duy mà ở đó từ những đối tượng giống nhau ở một sốdấu hiện có thể suy ra được chúng cũng giống nhau ở những dấu hiện khác.+) Khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa

Theo G.Polya: “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, trong tập hợp đó bao gồm

cả tập hợp ban đầu” [15, tr.21]

Như vậy, có thể nói rằng khái quát hóa là thao tác tư duy đi từ cái riêng đếncái chung, từ cái đặc biệt đến cái tổng quát, hay từ cái tổng quát nhỏ đến cái tổngquát lớn hơn

Đặc biệt hóa là thao tác tư duy nhằm chuyển từ cả một lớp đối tượng sangmột đối tượng của lớp đó

Trừu tượng hóa là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tínhkhông cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố đặc trưng, cầnthiết cho tư duy

1.2 Các vấn đề về tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo Từ điển Tiếng việt định nghĩa: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần, có cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái

đã có” [24, tr.1089].

Trong cuốn “Sổ tay Tâm lý học”, tác giả Trần Hiệp và Đỗ Long cho rằng:

“Sáng tạo là hoạt động tạo lập phát hiện những giá trị vật chất và tinh thần Sáng tạo đòi hỏi cá nhân phải phát huy năng lực, phải có động cơ, tri thức, kỹ năng và với điều kiện như vậy mới tạo nên sản phẩm mới, độc đáo, sâu sắc” [6, tr.34].Trong toán học, G.Polya quan niệm rằng [16]: Một tư duy gọi là có hiệu quảnếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Tư duy có thể coi làsáng tạo nếu tư duy đó tạo ra được những tư liệu, phương tiện, cách thức để giảicác bài toán sau này Số lượng các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện,cách thức này càng lớn, có nhiều dạng khác nhau thì khi đó mức độ sáng tạo của

tư duy càng cao Ông cũng nêu ra khả năng: Việc tìm phương hướng tuy khônggiải được bài toán này nhưng lại gợi ra những suy nghĩ có hiệu quả để giải bài toánkhác

Trong tài liệu [18], tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”

Từ các khái niệm về tư duy sáng tạo, ta nhận thấy mặc dù sáng tạo được giảithích ở các góc độ khác nhau nhưng các tác giả đều thống nhất cho rằng: tư duysáng tạo là một thuộc tính, một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người, hoạt độngsáng tạo diễn ra ở mọi lúc, mọi nơi, trong mọi lĩnh vực; bản chất của sáng tạo làcon người tìm ra được cái mới, cái độc đáo và có giá trị xã hội Điểm chung nàyđều được các tác giả nhấn mạnh nhưng lại được nhìn nhận dưới những góc độ khácnhau Có những tác giả chỉ quan tâm đến cái mới của sản phẩm do hoạt động tạo

ra, có những tác giả lại chỉ quan tâm đến cách thức, đến quy trình tạo ra cái mớicủa sản phẩm Tuy nhiên cái mới của sản phẩm cũng có nhiều mức độ khác nhau,

có cái mới đối với cả xã hội, có cái mới chỉ đối với bản thân người tạo ra nó Mộtđiểm chung khác là các tác giả đều nhấn mạnh đến ý nghĩa xã hội của sản phẩmsáng tạo

Trong luận văn này, tác giả quan niệm: Tư duy sáng tạo là một dạng tư duyđộc lập, có khuynh hướng phát hiện và giải thích bản chất sự vật theo hướng mới,

hoặc tạo ra ý tưởng mới, cách giải quyết mới, độc đáo mà không cần theo nhữngđiều đã có.

1.2.2 Các đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo

Khi nghiên cứu về tư duy sáng tạo, nhà tâm lý học người Mỹ Guilford J.P.cho rằng: tính mềm dẻo (flexibility), tính nhuẫn nhuyễn (fluency), tính độc đáo(originality), tính hoàn thiện (elaboration) và tính nhạy cảm vấn đề (problem‘ssensibility) là những đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo ông, tư duy sáng tạo vềbản chất là tìm kiếm và thể hiện những phương pháp logic trong tình huống có vấn

đề, tìm kiếm những phương pháp khác nhau và mới của việc giải quyết vấn đề,giải quyết nhiệm vụ Do đó, sáng tạo là một thuộc tính của tư duy, là một phẩmchất của quá trình tư duy

Trong đề tài này, tác giả thống nhất với quan điểm của các nhà nghiên cứutâm lý học sáng tạo kinh điển như Guilford J.P., Torrance P.E., cho rằng tư duysáng tạo được đặc trưng bởi các yếu tố chính như tính mềm dẻo (flexibility), tínhnhuẫn nhuyễn (fluency), tính độc đáo (originality), tính hoàn thiện (elaboration)

và tính nhạy cảm vấn đề (problem‘s sensibility)

a Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo sáng tạo là năng lực dễ dàng chuyển đổi nhanh chóng trật tựcủa hệ thống tri thức, chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.Tính mềm dẻo còn thể hiện ở năng lực xây dựng phương pháp tư duy theo lối mới,định nghĩa lại sự vật hiện tượng, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới

Có thể thấy rằng tính mềm dẻo của tư duy có những đặc trưng sau:

+ Biết vận dụng, phối hợp linh hoạt các thao tác tư duy, các phương pháp suyluận

+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ giảipháp này sang giải pháp khác

+ Suy nghĩ không rập khuôn, không máy móc, không bị kìm hãm bởi nhữngkinh nghiệm, phương pháp, cách thức suy nghĩ đã có từ trước

+ Khả năng nhận ra vấn đề mới trong điểu kiện quen thuộc, nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng đã biết

b Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo là năng lực từ sự tổ hợp, kết hợp giữacác yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, sự vật một cách nhanh chóng,đưa ra giả thuyết về ý tưởng mới Ý tưởng đưa ra có chất lượng càng tốt thì sự sángtạo được đánh giá càng cao.

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở các đặc trưng sau:

+ Khả năng nhìn nhận và xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.+ Khả năng tạo ra nhiều ý tưởng, tìm được nhiều giải pháp cho một vấn đề

Từ những đặc trưng của tính nhuần nhuyễn mà chủ thể có thể chọn được giảipháp tối ưu để giải quyết vấn đề

c Tính độc đáo (Originality)

Tính độc đáo của tư duy sáng tạo là năng lực tư duy độc lập trong quá trìnhgiải quyết vấn đề, nó giúp chủ thể nhìn nhận các sự vật, hiện tượng theo các cáchkhác, mới lạ so với những cách trước, từ đó đưa ra phương thức giải quyết lạ hoặcduy nhất

Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:

+ Khả năng tìm những liên tưởng và những kết hợp mới, những giải pháp mới

lạ và duy nhất so với những giải pháp hiện có

+ Khả năng tìm ra những mối liên hệ giữa các sự vật hiện tượng tưởng nhưkhông có quan hệ với nhau

d Tính hoàn thiện (Elaboration)

Tính hoàn thiện của tư duy sáng tạo là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữacác ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.Tính hoàn thiện làm cho tư duy trở thành một quá trình Nghĩa là những ýtưởng sáng tạo phải được thoát ra và biến thành sản phẩm có thể quan sát được

e Tính nhạy cảm vấn đề (Problem‘s sensibility)

Tính nhạy cảm vấn đề là khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề, phát hiệnnhững mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic của vấn đề Do đó có nhu cầu cấu trúclại hợp lý, hài hòa, tạo ra cái mới

Tóm lại, các đặc trưng của tư duy sáng tạo không tách rời nhau mà chúng cóquan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau Khả năng chuyển từ hoạtđộng trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc

tìm ra nhiều giải pháp trên những góc độ và tính huống khác nhau (tính nhuầnnhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm đượcphương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Tất cả những đặc trưng cơ bản này lại có mốiquan hệ chặt chẽ với các đặc trưng khác như tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấnđề, Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnhcao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.

1.2.3 Dạy tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong cuốn “Rèn luyện tư duy trong dạy học Toán”, tác giả Trần Thúc Trình

đã viết: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà người học chưa từng biết ” Ông cũng khẳng định thêm: "Lời giải một bài toán cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối" [23] Do đó trong quá trình dạy học cho học sinh, giáo viên cầntạo điều kiện để học sinh tự tìm hiểu và phát hiện vấn đề, giáo viên chỉ đóng vaitrò là người hướng dẫn, thúc đẩy động cơ và tạo sự quan tâm của học sinh đối vớivấn đề nhằm kích thích tư duy của học sinh

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần thường xuyên tổ chức các hoạt độnghọc tập mang tính hợp tác, làm việc theo nhóm để học sinh có sự tương tác tư duy,

có cơ hội được cùng nhau thảo luận và cùng nhau chia sẻ kết quả công việc Các

ý kiến của mỗi cá nhân trong nhóm giúp học sinh có thể nhìn nhận vấn đề dướinhiều góc độ khác nhau, từ đó cùng nhau tìm ra bản chất vấn đề và cùng nhau giảiquyết Học hợp tác cũng có thể giúp học sinh tìm ra được nhiều ý tưởng hay đểgiải quyết vấn đề một cách hiệu quả nhất

Như vậy, học hợp tác trong lớp học là một trong những cách thức quan trọngthúc đẩy sự thành công của học sinh, giúp học sinh có tư duy sắc bén hơn Ngoài

ra, giáo viên có thể trau dồi tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua nhiều cáchkhác như:

+ Chuẩn bị tài liệu, giáo cụ bổ trợ trong quá trình dạy học nhằm kích thích tưduy sáng tạo như tranh, ảnh, chứa đựng nhiều ẩn ý

+ Giới thiệu cho học sinh những cuốn sách, những video hình ảnh, phimtruyện về rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

+ Cho học sinh diễn lại những sự kiện lịch sử hoặc đặt học sinh vào tìnhhuống mà những nhân vật chính ở hai phía đối lập nhau.

+ Cho học sinh trả lời những câu hỏi có nhiều phương án trả lời

+ Cho học sinh đọc và phân tích những bài báo, các tài liệu tham khảo haynhững vấn đề trong cuộc sống gần gũi với các em để tìm ra ví dụ về những tưtưởng đối lập

Muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trước hết người giáo viêncần phải thể hiện được điều đó ở chính bản thân mình, cụ thể là người giáo viêncần:

+ Tạo cơ hội cho học sinh được tiếp cận với nhiều quan điểm của nhiều trườngphái khác nhau trong môi trường tích cực

+ Cởi mở, khuyến khích học sinh nói lên những suy nghĩ cá nhân của mìnhchứ không phải chỉ là lặp lại những gì giáo viên đã nói

+ Thay đổi quan điểm khi có bằng chứng xác thực được đưa ra, sẵn sàng chấpnhận khuyết điểm của học sinh, để học sinh được thỏa sức sáng tạo

+ Tìm kiếm được nhiều giải pháp hay, giàu tưởng tượng và hiệu quả

Như vậy, việc dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiếnhành ở tất cả các môn học Đặc biệt trong đó, người giáo viên phải luôn là mộttấm gương sáng tạo đối với học sinh

1.3 Tiềm năng của dạy học chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong chương trình Số học, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất là mộtnội dung kiến thức quan trọng và xuyên suốt vì nó có liên quan đến những kiếnthức khác như quan hệ chia hết, số nguyên tố, hợp số, số chính phương, đồng dư,phương trình nghiệm nguyên, Đây là nội dung chứa đựng tiềm năng to lớn trongviệc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh bởi những lí do sau.Thứ nhất, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất là nội dung kiến thứcxuyên suốt chương trình toán học cấp THCS, có hệ thống bài tập đa dạng từ cácbài tập cơ bản tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất đến những bài tập phốikết hợp vận dụng các kiến thức liên quan, hay bài tập cần sử dụng phương pháp

ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất để tìm lời giải Bên cạnh những bàitập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác, tạo điều kiện để học sinhđược tiếp cận với những kiến thức mới như đồng dư, định lý Thặng dư Trung Hoa,phương trình nghiệm nguyên, trên cơ sở những kiến thức cơ bản.

Thứ hai, các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất có nhiều bài tập với nhiều cách giải khác nhau nhờ sử dụng các tính chất vềquan hệ chia hết, số nguyên tố, số chính phương, đồng dư, nên nếu khai thácsâu bài toán sẽ dễ dàng tạo ra bài toán mới Qua đó giúp rèn luyện tính mềm dẻo

và tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo

Thứ ba, các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất thường hay xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic nên việc

mở rộng kiến thức là điều rất cần thiết Điển hình có thể kể đến là kiến thức vềtổng các ước số và số các ước số của một số xuất phát từ sự phân tích chính tắccủa một số nguyên dương Điều này tạo điều kiện cho học sinh được tiếp cận vớinhững kiến thức nâng cao trên nền tảng những kiến thức cơ bản đã có

Như vậy, có thể thấy tiềm năng của dạy học chuyên đề các dạng toán liênquan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất trong việc phát triển tư duysáng tạo cho học sinh là rất lớn

1.4 Thực trạng dạy và học các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất

và bội chung nhỏ nhất trong chương trình toán THCS

1.4.1 Thực trạng dạy của giáo viên

Từ những kinh nghiệm của bản thân cùng với những chia sẻ của một số giáoviên, tôi nhận thấy thực trạng việc dạy học các dạng toán liên quan đến ước chunglớn nhất và bội chung nhỏ nhất ở trường THCS như sau

+ Do khối lượng kiến thức cần truyền đạt nhiều, số lượng tiết học trên lớp ít,thời gian trên lớp cho mỗi tiết học không đáp ứng được yêu cầu vừa truyền tải kiếnthức vừa luyện tập, khai thác kiến thức Do đó việc mở rộng, ứng dụng các kiếnthức đã học một cách sáng tạo chưa thực sự được triệt để, sâu sắc

+ Trong chương trình sách giáo khoa toán THCS, các dạng toán về ước chunglớn nhất và bội chung nhỏ nhất chỉ xuất hiện ở mức độ cơ bản như bài toán chứngminh tính chia hết, tìm ước và bội, tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

của các số cho trước bằng cách áp dụng quy tắc sách giáo khoa đưa ra, trong khicác bài toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất là một chủ

đề toán khó thường hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Do đó học sinh

và giáo viên cũng ít tập trung đi sâu vào các dạng toán này Điều này dẫn đến họcsinh chỉ giải các bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất theo lối mòn

mà không có sự sáng tạo, liên kết hay vận dụng kiến thức, kích thích sự ham mêtìm tòi khám phá của học sinh

+ Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên chỉ đưa ra kiến thứcchung về khái niệm, định lý, cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhấtcủa các số rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng côngthức để giải mà không có sự hướng dẫn, phân tích cho học sinh Điều này khiếnhọc sinh phải cố gắng tiếp thu, vận dụng các dạng toán sẵn có một cách máy móc

mà không hiểu rõ bản chất của bài toán, không phân biệt được cần sử dụng kiếnthức nào để giải bài toán

1.4.2 Thực trạng học của học sinh

Từ những kinh nghiệm của bản thân và những chia sẻ của học sinh, tôi thấythực trạng của việc học các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bộichung nhỏ nhất của học sinh ở trường THCS như sau

+ Học sinh thường áp dụng công thức một cách máy móc khi giải bài tập,làm theo các dạng toán có sẵn trước đó

+ Đa số học sinh khi tìm ra được một lời giải cho bài toán đã cảm thấy thỏamãn ngay mà không tìm xem bài toán có còn cách giải nào khác không

+ Học sinh không có thói quen khai thác bài toán để tìm ra bài toán mới vớicách giải quyết mới

+ Học sinh ít có cơ hội được khám phá, làm chủ kiến thức, ít được vận dụngkiến thức đã học vào thực tế

Như vậy, từ thực trạng việc dạy và học các dạng toán liên quan đến ước chunglớn nhất và bội chung nhỏ nhất, đòi hỏi giáo viên phải tìm ra các biện pháp thíchhợp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, để đáp ứng được yêu cầu ngày càngcao của xã hội hiện nay về nguồn nhân lực

1.5 Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chuyên đề “Các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất”

Phát triển các thao tác tư duy cơ bản được xem là sự phát triển về lượng, lànội dung của hoạt động tư duy, các thao tác tư duy cơ bản nếu không được thựchiện thì sẽ không có quá trình tư duy diễn ra Rèn luyện việc sử dụng linh hoạt cácthao tác tư duy là một nội dung quan trọng và có tính quyết định đến sự phát triểncác yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh

Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở việc rèn luyện các thao tác tư duy thì chưa đủ

để có sự sáng tạo Sự sáng tạo chỉ có được khi có sự phát triển về chất trong chínhcác thao tác tư duy đó Như vậy, chỉ khi nào mọi quá trình tư duy đạt đến độ mềmdẻo, nhuần nhuyễn, độc đáo, hoàn thiện và nhạy cảm thì khi đó nó mới thể thiệnđược đặc trưng của tính sáng tạo

Muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì cần chú trọng phát triển cácyếu tố của tư duy sáng tạo, nghĩa là cần phải có các cách thức, kỹ thuật cụ thể đểtác động trực tiếp vào tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoànthiện, tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo Như vậy, việc phát triển các thao tác tưduy cơ bản và phát triển các yếu tố của tư duy sáng tạo nêu trên có mối quan hệbiện chứng hỗ trợ cho nhau

Qua những phân tích trên, để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thôngqua dạy học chuyên đề các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bộichung nhỏ nhất ta có thể thực hiện theo một số phương hướng cụ thể như sau.+ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện cho họcsinh các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa,khái quát hóa, đặc biệt hóa

+ Xây dựng hệ thống các kiến thức cơ bản như quan hệ chia hết, số nguyên

tố, hợp số, số chính phương, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, đồng dư,phương trình nghiệm nguyên, và bài tập liên quan đến ước chung lớn nhất, bộichung nhỏ nhất phù hợp với từng đối tượng học sinh

+ Hướng dẫn học sinh phân tích vấn đề, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc

độ, dự đoán bài toán đã cho là dạng toán tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ

nhất hay là dạng toán cần sử dụng các kiến thức liên quan đến ước chung lớn nhất

và bội chung nhỏ nhất, từ đó rèn luyện cho học sinh biết diễn đạt bài toán, lời giảibằng nhiều cách khác nhau

+ Sử dụng hệ thống câu hỏi gợi mở, gợi sự liên tưởng đến các kiến thức vềtính chia hết, các kiến thức liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất để diễn đạt lại những nội dung trừu tượng, nhằm kích thích trí tưởng tượngsáng tạo cho học sinh

+ Rèn luyện cho học sinh khả năng biết cách di chuyển, phối kết hợp các thaotác tư duy, các phương pháp suy luận trong việc vận dụng kiến thức định hướngcách giải, xây dựng quy trình giải cho mỗi bài toán

+ Với những bài toán khó, rèn luyện cho học sinh kỹ năng biết tách vấn đề,đối tượng thành những đối tượng, vấn đề nhỏ hơn để từng bước giải quyết

+ Rèn cho học sinh không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duynhất; luôn khuyến khích, kích thích học sinh vận dụng các kiến thức về tính chiahết, đồng dư, nghiệm nguyên của phương trình, để tìm ra nhiều cách giải khácnhau giúp học sinh rèn luyện tính linh hoạt khi chuyển từ phương pháp giải nàysang phương pháp giải khác

+ Tạo cho học sinh thói quen khi một bài toán được giải bằng một cách giảidài dòng, ta sẽ nghĩ ngay đến việc có thể sẽ có một cách giải khác ngắn gọn vàđộc đáo hơn

+ Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng kiến thức về ước chung lớn nhất

và bội chung nhỏ nhất vào giải quyết những vấn đề trong thực tiễn

Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã nêu được một số quan điểm của các nhà khoahọc về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, góp phần làm sáng tỏ một số yếu tố đặctrưng của tư duy sáng tạo, nêu ra thực trạng dạy và học các dạng toán liên quanđến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất trong chương trình toán THCS hiệnnay Đồng thời, luận văn cũng đã làm sáng tỏ được sự cần thiết và tiềm năng củachuyên đề các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhấttrong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đưa ra được phương hướng pháttriển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chuyên đề này

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS

THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ “CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT”

2.1 Các kiến thức cơ bản liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

2.1.1 Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên

Trước hết, trong phần này nhắc lại các kiến thức cơ bản liên quan đến cáctính chất của số nguyên cần thiết để dạy và học chuyên đề ước chung lớn nhất vàbội chung nhỏ nhất của các số nguyên

Định nghĩa 2.1 (xem [10],[28]) Vớia, blà hai số nguyên, ta nói số nguyênachia hết cho số nguyên b (hay số nguyên a là bội của số nguyên b, hay số nguyên b

chia hết số nguyêna, hay số nguyênb là ước của số nguyêna) nếu tồn tại một sốnguyênq sao choa = bq Khi đó ta kí hiệua b

Ngược lại, nếu số nguyên a không chia hết cho số nguyên b thì ta kí hiệu là

Tính chất 2.3 (Thuật toán chia, xem [10]) Với a, b là hai số nguyên bất kì và

b > 0 Khi đó luôn tồn tại duy nhất cặp số nguyênq vàr sao cho

a = bq + r, (0 ≤ r < b)

Khi đó, ta gọiq là thương của phép chia và r là dư của phép chia Do đó, số nguyênachia hết cho số nguyênbkhi và chỉ khi phép chia có dư bằng 0

2.1.2 Số nguyên tố Hợp số Số chính phương

Định nghĩa 2.2 (xem [10],[12]) Số nguyên dương lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1

và chính nó được gọi là số nguyên tố.

Định nghĩa 2.3 (xem [10],[12]) Số nguyên dương khác 1 và có nhiều hơn hai ước

được gọi là hợp số.

Tính chất 2.4 (xem [10],[12]) Mỗi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có ước nguyên

tố

Định lý 2.1 (Định lý Euclid, xem [9]) Có vô số số nguyên tố.

Chứng minh.Giả sửP = {p1, p2, , pn}là tập hữu hạn các số nguyên tố, trong

đópi là các số nguyên tố(i = 1, n) vàpn là số nguyên tố lớn nhất

Ta xét p = p1p2 pn + 1 Do p1p2 pn pi (i = 1, n) và bất kì pi nàocũng không là ước của1 nênp không chia hết cho bất kì pi nào Vìpkhông chiahết cho bất kì số nguyên tố nào nhỏ hơn do đóplà số nguyên tố, mà p > pn (mâuthuẫn vớipn là số nguyên tố lớn nhất)

Định lý 2.2 (xem [10]) Nếu a là một hợp số thì a có ít nhất một ước nguyên tốkhông lớn hơn√

a

1 < m ≤ n < a Ta phải cóm ≤ √

a Vìmcó ước nguyên tố và ước ước nguyên

tố này cũng là ước củaa, nên ước nguyên tố của akhông lớn hơn√

3, ta lại tiếp tục gạch đi trong dãy số còn lại những số chia hết cho 3 Ta được sốđầu tiên chưa bị gạch lớn hơn 3 và không chia hết cho 3 là số 5, đó là số nguyên

tố Lặp lại quá trình trên, ta tiếp tục gạch khỏi dãy số những số chia hết cho mọi

số nguyên tố không lớn hơn√

a Khi đó những số còn lại của dãy trong bảng lànhững số nguyên tố không lớn hơna

Quá trình trên đây gọi là sàng Eratosthenes.

Sàng Eratosthenes tưởng như là một cách tiếp cận rất đơn giản giúp ta tìm tất

cả các số nguyên tố không vượt quá một số tự nhiên cho trước, tuy nhiên trên thực

tế lại rất ít được sử dụng để kiểm tra một số đã cho có là số nguyên tố hay không.Nguyên nhân là do phương pháp này tương đối phức tạp, vì số lần thực hiện phépchia cần làm trong quá trình kiểm tra là rất lớn

Tính chất 2.5 (xem [10],[12]) Vớialà số nguyên dương vàplà số nguyên tố thì

có thể xảy ra các khả năng hoặcavàpnguyên tố cùng nhau hoặcplà ước củaa

Tính chất 2.6 (xem [12]) Giả sửa1a2 an là tích của nsố nguyên dương vàp

là số nguyên tố Nếua1a2 an pthì tồn tại ít nhất mộtai p(i = 1, n)

Định lý 2.3 (Định lý cơ bản của số học, xem [9]) Mỗi số nguyên dươngnlớn hơn

1 đều có thể biểu diễn được dưới dạng tích của hữu hạn những thừa số nguyên tố,

và sự biểu diễn đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số nguyên tố.Khi đóncó dạng sau

Nhận xét 2.1 (xem [10],[12]) Hai số nguyên tố được gọi là cặp số nguyên tố sinh

đôi nếu chúng đồng thời là hai số lẻ liên tiếp

Ví dụ 2.1 Các cặp số (3; 5), (5; 7), (11; 13) là các cặp số nguyên tố sinh đôi Định nghĩa 2.4 (xem [12]) Số chính phương là số bằng bình phương của một số

(ii) Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố, ta được cácthừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.

(iii) Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0; 1

Số chính phương chia cho 4 có số dư là 0; 1

Số chính phương chia cho 5 có số dư là 0; 1; 4

Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc chia 8 có số dư là 1

(iv) Không có số chính phương nào ở giữa hai số chính phương liên tiếp.(v) Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một tronghai số nguyên đó là số 0

2.1.3 Ước chung lớn nhất

Định nghĩa 2.5 (xem [12]) Choncác số nguyêna1, a2, , an Nếu có số nguyên

bsao chob |ai với mọii = 1, n thìbđược gọi là một ước chung của các ai

Mỗi ước chung của bộ sốa1, a2, , an kí hiệu là (a1, a2, , an)

Định nghĩa 2.6 (xem [12]) Cho n các số nguyên a1, a2, , an Số nguyên d

được gọi là ước chung lớn nhất của a1, a2, , an nếu d là ước chung của các số

ai (i = 1, n) vàd là giá trị lớn nhất

Ước chung lớn nhất của bộ sốa1, a2, , an kí hiệu là gcd(a1, a2, , an).Nếu gcd(a1, a2, , an) = 1, thì các số nguyên a1, a2, , an được gọi là

nguyên tố cùng nhau

Nếu gcd(ai, aj) = 1với mọi1 ≤ i < j ≤ nthì các số nguyêna1, a2, , an

được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau.

Ta nhắc lại các tính chất cơ bản của ước chung lớn nhất

Tính chất 2.8 (xem [10],[12]) Choncác số nguyêna1, a2, , an Khi đó, ta có(i) gcd (0, a1, a2, , an) =gcd (a1, a2, an)

(vii) Cho a, b, c là các số nguyên Nếu gcd(a, b) = 1 và a chia hết bc thì a

chia hếtc

(viii) Cho a, b, c là các số nguyên và d = gcd (a, b) Khi đó phương trình

ax + by = ccó nghiệm nguyên khi và chỉ khicchia hết cho d

Từ (v), ta trình bày một phương pháp thường hay được sử dụng để tìm ướcchung lớn nhất của hai số nguyên dương Thuật toán này được gọi là thuật toánEuclid - một trong những thuật toán quan trọng nhất về tính chia hết và cổ nhấtcủa toán học (được biết đến cách đây khoảng 2000 năm)

Thuật toán Euclid (xem [17]) Giả sử r0 = a, r1 = b với a, b là các số nguyêndương vàa ≥ b Áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta có

r0 = r1q1 + r2

r1 = r2q2 + r3

b1, b2, , bn Tập tất cả các bội chung củab1, b2, , bn kí hiệu là[b1, b2, , bn]

Định nghĩa 2.8 (xem [12],[25]) Cho n các số nguyên b1, b2, , bn Số nguyên

m được gọi là bội chung nhỏ nhất của b1, b2, , bn nếu m là bội chung của các

số bi (i = 1, n) và m có giá trị nhỏ nhất Tập tất cả các bội chung nhỏ nhất của

b1, b2, , bnkí hiệu là lcm (b1, b2, , bn)

Ta nhắc lại các tính chất cơ bản của bội chung nhỏ nhất

Tính chất 2.9 (xem [12],[25]) Choncác số nguyênb1, b2, , bn Khi đó ta có

(i) Nếu trongb1, b2, , bn có ít nhất một số bằng 0thì

[b1, b2, , bn] = 0và lcm(b1, b2, , bn) = 0

(ii) Do b1, b2, , bn có một bội chung là b1b2 bn nên [b1, b2, , bn] làmột tập khác rỗng

(iii) lcm (mb1, mb2, , mbn) = m.lcm(b1, b2, , bn)

(iv) Choavà blà các số nguyên khác 0 Khi đó ta có

lcm(a, b).gcd(a, b) = |a| |b|

(v) Với b1, b2, , bn đồng thời khác 0 Khi đó ta có

Hệ quả 2.1 (xem [12],[25]) Cho b là bội chung của n số nguyên b1, b2, , bn

từng đôi một nguyên tố cùng nhau Khi đób là bội của tíchb1b2 bn

2.1.5 Đồng dư

Định nghĩa 2.9 (xem [8]) Cho a và b là hai số nguyên dương Ta nói a và b

đồng dư với nhau theo modun m (với m là số nguyên dương) và kí hiệu a ≡ b(mod m)nếu và chỉ nếu(a − b) m

Tính chất 2.10 (xem [8]) Các tính chất cơ bản của đồng dư thức.

(i) Nếu a ≡ b (mod m)và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d (mod m)

vàac ≡ bd (mod m)

(ii) Nếuplà số nguyên tố vàab ≡ 0 (mod p)thìa ≡ 0 (mod p)hayb ≡ 0(mod p)

Định lý 2.4 (Định lý Thặng dư Trung Hoa, xem [12],[17]) Cho n số nguyên dương

m1, m2, , mn đôi một nguyên tố cùng nhau và n số nguyên a1, a2, , an tùy

Miy ≡ 1 (mod mi)

luôn có nghiệm duy nhất

y ≡ Ni (mod mi)

Đặt x0 = M1N1a1 + M2N2a2 + + MnNnan

Ta cóx0 ≡ MiNiai ≡ ai (mod mi),∀ i = 1, n Vậyx0 là nghiệm đúng của

hệ đã cho Nếuxvàx0 đều nghiệm đúng hệ đã cho thì ta cóx−x0 ≡ 0 (mod mi),

∀ i = 1, n Do đó

x − x0 ≡ 0 (mod m),

hayx ≡ x0 (mod m) Vậy hệ (2.2) có duy nhất nghiệm

2.2 Một số dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

2.2.1 Các bài toán về ước chung lớn nhất

Ta xét một số bài toán tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước và bàitoán liên quan đến ước chung lớn nhất

Bài toán 2.1 Tìm ước chung lớn nhất của 56 và 98.

Phân tích Đây là bài toán đơn giản, học sinh dễ dàng giải được bằng cách làm

thông thường như sau

Lời giải.Ta có 56 = 23.7và 98 = 2.72.

Các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất là 2 và 7

gcd (56; 98) = 2.7 = 14

Vậy ước chung lớn nhất của 56 và 98 là 14

Bài toán 2.2 Tìm ước chung lớn nhất của 14; 42 và 126.

Phân tích Do cả 42 và 126 đều chia hết cho 14 nên có thể áp dụng thuật toán

Euclid để tìm lời giải cho bài toán

Lời giải.Ta có gcd(14; 42; 126) = gcd (14; 0; 0) = 14

Vậy ước chung lớn nhất của 14; 42 và 126 là 14

Bài toán 2.3 Cho hai số tự nhiêna = 987654321 và b = 123456789 Tìm ướcchung lớn nhất củaavà b

Phân tích Để tìm ước chung lớn nhất của hai số a và b theo cách làm thôngthường là không dễ Nhận thấy rằng a và b tuy là hai số khác nhau nhưng lại cótổng các chữ số bằng nhau (cùng bằng 45) Tổng này chia hết cho 9 nên a và b

cùng chia hết cho 9

Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa avà blà a = 8b + 9 Khi đó học sinh

có thể sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất củaavà b

Lời giải.Nhận thấy rằngavà btuy là hai số khác nhau nhưng lại có tổng các chữ

số bằng nhau Tổng này chia hết cho 9 nênavàbcùng chia hết cho 9

Ta có a = 8b + 9

Áp dụng thuật toán Euclid có gcd (a, b) = gcd(b, 9) = 9 (vìb 9)

Vậy gcd(a, b) = 9

Bài toán 2.4 Một số có ba chữ số có tổng các chữ số của nó bằng 7 Chứng minh

rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vịgiống nhau

Phân tích Cần biểu diễn số có ba chữ số trong hệ thập phân Số đó chia hết cho

7 khi và chỉ khi hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 0

Lời giải.Gọi số có ba chữ số làabc (a, b, c ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b, c ≤ 9)

Ta viết abc = 100a + 10b + c = 98a + 7b + 2(a + b + c) + (b − c) =98a + 7b + 14 + (b − c)

Do đó abc 7 ⇔ (b − c) 7 Mà 0 ≤ b − c < 7 nên b − c = 0hay b = c.Vậy ta có điều cần chứng minh.

Nhận xét 2.2 Nếu bài toán2.2và bài toán2.3sử dụng cách làm thông thường đểtìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số như ở bài toán 2.1 thì sẽ mất nhiềuthời gian và cho lời giải không hay Việc linh hoạt sử dụng các tính chất về quan

hệ chia hết, thuật toán Euclid giúp đưa ra lời giải một cách nhanh chóng và hayhơn cho mỗi bài toán

2.2.2 Các bài toán về bội chung nhỏ nhất

Ta xét tiếp một số bài toán tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước vàbài toán liên quan đến bội chung nhỏ nhất

Bài toán 2.5 Tìm bội chung nhỏ nhất của60và128

Phân tích Tương tự như bài toán2.1, ta viết các số dưới dạng chính tắc rồi đi tìmbội chung nhỏ nhất của các số đó

Lời giải.Ta có 60 = 22.3.5và128 = 27

Chọn thừa số chung và riêng là 2, 3 và 5

Với thừa số 2, lấy số mũ lớn nhất là 7

Với thừa số 3 và 5 lấy số mũ lớn nhất là 1

Do đó lcm (60; 128) = 27.3.5 = 1920

Vậy bội chung nhỏ nhất của 60 và 128 là 1920

Bài toán 2.6 Tìm bội chung nhỏ nhất của 100 và 250.

Phân tích Để tìm lời giải ta áp dụng tính nhẩm bội chung nhỏ nhất của hai hay

nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với1; 2; 3; cho đến khi được kếtquả là một số chia hết cho các số còn lại

Lời giải.Do250.2 = 500và500 100nên lcm (100; 250) = 500

Cũng có thể sử dụng mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất để giải bài toán Theo thuật toán Euclid có gcd(100; 250) = gcd(100; 50) =

gcd(50; 0) = 50

Vậy lcm(100; 250) = (100.250) : 50 = 500

Bài toán 2.7 Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 17 và 21.

Phân tích Do 17 và 21 là hai số nguyên tố cùng nhau nên dễ dàng tìm được ước

chung lớn nhất của chúng bằng1và bội chung nhỏ nhất chính bằng tích của chúng

Lời giải.Ta có 17.21 = 357

Vậy gcd(17; 21) = 1và lcm(17; 21) = 357

Nhận xét 2.3 Không mất nhiều thời gian để thực hiện theo cách làm thông thường

như bài toán2.5, bài toán2.6và 2.7cho ta cách giải nhanh và độc đáo Việc nhận

ra các mối quan hệ chia hết, các số nguyên tố cùng nhau giúp học sinh tìm đượcước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng một cách nhanh chóng

Bài toán 2.8 Tìm một số có ba chữ số, biết rằng khi bớt số đó đi 8 đơn vị thì được

một số chia hết cho 7, nếu bớt số đó đi 9 đơn vị thì được một số chia hết cho 8,nếu bớt số đó đi 10 đơn vị thì được một số chia hết cho 9

Phân tích Để tìm số tự nhiênx cần đưa bài toán về tìm bội chung nhỏ nhất củacác số thỏa mãn điều kiện đã cho ban đầu

Lời giải. Gọi x là số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta có 100 ≤ x < 1000.Theo đề bài ta có

Nhận xét 2.4 Ta thấy nếu chỉ sử dụng cách làm thông thường để tìm ước chung

lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của các số cho trước đôi khi không phải là cáchhay Vận dụng linh hoạt các kiến thức về quan hệ chia hết, thuật toán Euclid, các

số nguyên tố cùng nhau hay mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chungnhỏ nhất giúp học sinh đưa ra được những cách giải độc đáo và sáng tạo hơn

2.2.3 Một số dạng toán liên quan

Trong phần này, ta xét một số bài toán liên quan đến số nguyên tố, đồng dư

và phương trình Diophantine

Dạng 1 Các bài toán liên quan đến số nguyên tố

Trước tiên, ta xét các bài toán nhận biết một số là số nguyên tố hay hợp số

Phân tích Để giải những bài toán này, ta chỉ cần chỉ ra các số đã cho có thỏa mãn

các dấu hiệu nhận biết số nguyên tố và hợp số hay không

Bài toán 2.9 Trong các số 15; 41; 123; 345; 1155 số nào là số nguyên tố ? số nào

là hợp số ?

Lời giải.Các số 15; 123; 345 là hợp số vì chúng lớn hơn 3 và chia hết cho 3

Số 1155 là hợp số vì số này lớn hơn 1 và chia hết cho 11

Số 41 là số nguyên tố vì số này lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó

Bài toán 2.10 Xét xem mỗi tổng hoặc hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số ?

a) 5.6.7 − 10.11; c)1.2.3.4 − 1;

b) 5313 + 164322; d)13.15.17 + 21.23.27

Lời giải.a)5.6.7 − 10.11có ít nhất ba ước là 1; 2 và 5 nên hiệu này là hợp số.b) Tổng5313 + 164322 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 Tổng nàylại lớn hơn 5 nên là hợp số

c) Ta có 1.2.3.4 − 1 = 23 là một số nguyên tố, vì 23 chỉ có hai ước là 1 vàchính nó

d) Nhận thấy mỗi số hạng của tổng đều là số lẻ nên tổng là số chẵn Khi đótổng13.15.17 + 21.23.27chia hết cho 2 và lớn hơn 2 nên là hợp số

Ta xét đến bài toán áp dụng kiến thức để tìm số nguyên tố, chứng minh biểuthức có là số nguyên tố hay không

Bài toán 2.11 Tìm số nguyên tốa sao choa4 + 2cũng là số nguyên tố

Phân tích Đề bài cho cảa và a4 + 2 đều là số nguyên tố, nên chỉ cần xét a = 2

hoặc a = 3 Khi đó dựa vào tính chấta = 3t ± 1 (t ∈Z+) thìa4 chia cho 3 dư 1

Suy raa4 + 2 = 3u + 1 + 2 = 3(u + 1) 3và a4 + 2 > 3.

Nên a4 + 2là hợp số

Vậy a4 + 2là số nguyên tố khia = 3

Bài toán 2.12 Choavà8a2+ 1là các số nguyên tố Chứng tỏ rằng8a2− 1cũng

là số nguyên tố

Phân tích Dựa vào đề bài choa,8a2 + 1,8a2 − 1đều là các số nguyên tố nên ta

đi kiểm tra phép chia của số nguyên tốacho3để đưa ra kết luận

Lời giải.Vớia = 2thì8a2+ 1 = 8.22+ 1 = 33không phải là số nguyên tố (loại).Vớia > 2ta xét hai khả năng sau

+) Nếua > 3thì doalà số nguyên tố nêna 6 3 Khi đóa = 3t ± 1(t ∈N∗)

⇒ 8a2+ 1 = 8(3t ± 1)2+ 1 = 8(3t)2± 16(3t) + 9 = 3(24t2± 16t + 3) 3

Mà8a2 + 1 > 3nên suy ra8a2 + 1là hợp số (vô lí vì trái với giả thiết).+) Nếu a = 3t(t ∈N∗) Doa là số nguyên tố nêna = 3

Với a = 3 thì 8a2 + 1 = 8.32 + 1 = 73 là số nguyên tố và 8a2 − 1 =8.32 − 1 = 71 cũng là số nguyên tố

Bài toán 2.13 Choa, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãna2 + b2 = c2+ d2.Chứng minh rằng3a + 5b + 7c + 9d + 40là hợp số

Phân tích Để chứng minhM là hợp số cần làm xuất hiện một biểu thức có mốiliên hệ với M, trong đó biểu thức mới được xây dựng dựa trên tính chất chẵn lẻcủa tổng các tích đôi một các số nguyên dương liên tiếp

Dạng 2 Các bài toán liên quan đến đồng dư

Trong phần này, ta chỉ xét một số ứng dụng thường gặp của định lý Thặng dưTrung Hoa trong giải các bài toán Số học

Bài toán 2.14 Cho a và b là hai số nguyên dương lớn hơn 1 và nguyên tố cùngnhau Chứng minh rằng tồn tại số nguyênk sao cho(ab − 1)nk + 1 là hợp số vớimọi số nguyên dươngn

Phân tích Ta chứng minh sự tồn tại của một mệnh đề trong bài toán trên thật dễ

dàng nhờ sử dụng định lý Thặng dư Trung Hoa Để giải được bài toán cần chỉ ra

(ab − 1)nk + 1chia hết choahoặc chia hết chob, ta sẽ thấy được sự xuất hiện của

hệ (2.3) khi phân tích tính chẵn lẻ củan

Lời giải.Doavàblà hai số nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Thặng dư TrungHoa, tồn tại số nguyênk thỏa mãn hệ phương trình đồng dư

Khi đó hệ trên luôn có nghiệm

+) Nếunchẵn thì(ab − 1)n ≡ 1 (mod b), nên(ab − 1)nk ≡ −1 (mod b).Suy ra(ab − 1)nk + 1 b

+) Nếu nlẻ thì (ab − 1)n ≡ −1 (mod a), nên(ab − 1)nk ≡ −1 (mod a).Suy ra(ab − 1)nk + 1 a

Vậy luôn tồn tại số nguyên k sao cho (ab − 1)nk + 1 là hợp số với mọi sốnguyên dươngn

Bài toán 2.15 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho khi số đó chia cho 7 dư 1,

chia cho 17 dư 2, chia cho 37 dư 3, chia cho 47 dư 4, chia cho 13 dư 5

Phân tích Nhận thấy các số chia 7; 17; 37; 47; 13 là các số đôi một nguyên tố

cùng nhau và các số dư là các số nguyên tùy ý Khi đó để giải bài toán ta đưa

về giải hệ phương trình đồng dư tuyến tính bằng cách sử dụng định lý Thặng dưTrung Hoa

Nhờ sử dụng định lý Thặng dư Trung Hoa mà việc tìm nghiệm của hệ phươngtrình đồng dư sẽ trở nên đơn giản hơn so với việc giải hệ phương trình đồng dưthông thường