Gián án Biện luận số nghiệm bằng pt

NỘI DUNGBIỆN LUẬN SỐ ĐIỂM CHUNG CỦA CÁC ĐỒ THỊ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH I.. Hoành độ giao điểm của C và C’ là nghiệm của phương trình: fx = gx 1.. Phương trình fx = gx được gọi là phương trình

II NỘI DUNG

BIỆN LUẬN SỐ ĐIỂM CHUNG CỦA CÁC ĐỒ THỊ BẰNG PHƯƠNG

TRÌNH

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C’)

1 Toạ độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:









g(x) y

f(x) y

2 Hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1)

Phương trình f(x) = g(x) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)

Do đó số điểm chung của (C) và (C’) là số nghiệm của phương trình (1)

Ta có: a pt (1) vô nghiệm  (C) và (C’) không có điểm chung

b pt (1) có n - nghiệm  (C) và (C’) có n - điểm chung

c pt (1) có nghiệm kép x0 (C) và (C’) có chung tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0)

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để biện luận số điểm chung của (C) và (C’) ta thực hiện:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C)và (C’)

- Biện luận số nghiệm của pthđgđ

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài1: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ (C)

b Tìm tất cả các đường thẳng qua điểm M(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài2: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 4x2 + 4x, có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số

b Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ lại cắt (C) tại một điểm A Tính hoành độ của A

c Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) với đường thẳng y = kx

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = (4 – x)(x – 1)2

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Gọi I là giao điểm của (C) với trục Oy, d là đường thẳng qua I có hệ số góc

m Định m để d cắt (C) tại

ba điểmphân biệt

Bài 4: Cho hàm số y = - x4 + 2mx2-2m + 1 có đồ thị là (Cm)

b Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 5.

c Xác định m sao cho (Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

m x

m 1)x (m









có đồ thị (Hm)

a Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đồ thị (Hm) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định

b Khảo sát và vẽ đồ thị (H2) khi m = 2

c CMR: với mọi b đường thẳng : y = x +b luôn cắt (H2) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt

Bài 6: Cho hàm số y = x213xx 3







, có đồ thị (C)

a Tìm trên (C) các điểm cách đều các trục toạ độ

b Biện luận theo m vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d:y = 3x + m Khi

d tiếp xúc với (C) Hãy xác định các tiếp điểm

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C') Số điểm chung của (C) và (C') là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) Do đó nhiều khi muốn biện luận số nghiệm của phương trình F(x; m) = 0 theo tham số m ta thường biến đổi phương trình F(x; m) = 0  f(x) = g(x; m)

Trong đó: - y = f(x) là một hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị đồ thị (C)

- y = g(x;m) thường là phương trình của đường thẳng

Lúc đó dựa vào đồ thị (C) và vị trí của đường thẳng y = g(x; m) với (C) để kết luận số nghiện của p.trình

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Đường thẳngcùng phương với đường thẳng cho trước

Chú ý các vị trí mà là tiếp tuyến với đồ thị của y = f(x).

1 Cho hàm số y = x3 -3x + 1, có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dựa vào đồ thị (C) biện theo m số nghiệâm của phương trình:

-x3 + +3x + m = 0

2 Cho hàm số y = x3 -3x + 2, có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (C') của hàm số y = x 3  3x  2

c Dựa vào đồ thị (C') Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x 3 3x 2



 -mm21

= 0

3 Cho hàm số y = x2x x1 2







, có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (C') của hàm số y = x2x x12

c Dựa vào đồ thị (C') biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

m log 1

x

2 x

x

2

2









4 Cho hàm số y = 2x3x1 , (C)

a Khảo sát và vẽ đồ (C) của hàm số

b Lập phương trình t tuyến với (C) Biết t tuyến song song với phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ

c Dựa vào đồ thị (C) biêïn luận theo k số nghiệm của phương trình:

2x3x1= -x + k

5 Cho hàm số y = xx11, (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình t tuyến với đồ thị (C) của hàm số Biết t.tuyến vuông góc với ĐThẳng d: x -2y+1= 0

c Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2x2-(m+1)x+1+m = 0

6 Cho hàm số y = x3 - 2x2 + x

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dựa và đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của pt: x3 - 2x2 + x - m = 0 và xét dấu các nghiệm đó

7 Cho hàm số y = x2 xx1, (C)

a Khảo sát hàm số

b Xác định m sao cho phươn trình: t 4 m1t 33t 2  m1t10 có nghiệm

8 a Khảo sát hàm số: y x2 x3x1 3







b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 2 1 log3mx log3m 1 2









9 Cho hàm số: y  x 3  6x 2  9x

a Khảo sát hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 6x 2 9 x m 0









10 Khảo sát hàm số:y x 4 5x 2 4







 Từ đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 2 2

11 Cho hàm số: y x 3 3x





a Khảo sát hàm số Gọi đồ thị là (C)

b CMR khi m thay đổi đường thẳng Δ : mx  y  m  2  0luôn cắt (C) tại một điểm cố định

c

2 Đường thẳng  qua một điểm cố định (quay quanh một điểm cố định).

Trường hợp này cần chú ý các giá trị của hệ số góc của  khi là tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x).

1 Cho hàm số y = xx21

 , có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Bằng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x +1 + x1 1 = mx - m + 2

2 Cho hàm số y = x4 3, có đồ thị (H)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số Biết tiếp tuyến qua điểmA(1; 0)

c Dựa vào đồ thị (H) của hàm số biện luận theo k số nghiệm của phương trình: (x-1)(x-3)k = 4

3 a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = (x - 2)3

b Gọi d là đường thẳng qua điểm A (2; 2) và có hệ số góc k Tìm k để d là tiếp tuyến với (C)

c Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:

x3- 6x2 + (12 - k)x - 10 + 2k = 0

4 a Khảo sát hàm số y = x3+ 3x2+ 1 Đồ thị (C)

b Xác định k để đường thẳng y = kx là tiếp tuyến với (C)

c Biện luận theo k số nghiệm phương trình x3+ 3x2 - kx + 1 = 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số y= 31 x3 – x + m có đồ thị là (Cm)

1 Khảo sát và vẽ (C) khi m = 32

2 Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y = xx2 2x





có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Đường thẳng d qua điểm B(0; b) song song với tiếp tuyến của (C) tại

O(0; 0) Xác định m để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N Chứng minh trung điểm I của đoạn MN nằm trên một đường thẳng cố định khi b thay đổi

Bài 3: Cho hàm số y = x2x2x2 9







có đồ thị là (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = m(x –5) +10 cắt (C) tại hai điểm phân biệt nhận điểm A(5; 10) làm trung điểm

Bài 4: Cho hàm số y = 2x2mx(6 2m)x







1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

2 Khảo sát hàm số khi m = 1 Gọi đồ thị là (C)

3 Chứng minh tại mọi điểm của đồ thị (C) tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác códiện tích không đổi

Bài 5: Cho hàm số y = x4 - (m2 + 10)x2 + 9

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2 Chứng minh rằng với mọi m0, đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3; 3)

Bài 6: Cho hàm số y = x3 - 23 mx2 + 21 m3 với m là tham số

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1

2 Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

3 Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B,

C sao cho AB =BC

Bài 7: Cho hàm số y = 2x2 x(a a1)x 3







1 Khảo sát và vẽ (C) với m = 2

2 Xác định a để tiệm cận xiên của (C) tiếp xúc với Parabol: y = x2 + 5

3 Tìm quỹ tích giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C) khi

a thay đổi

Bài 8: Cho hàm số y = x2 x2x1 2







, có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dùng đồ thị (C) giải thích tại sao phương trình : x2 x2x1 2







= m(x+1) với m > 1 có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng không đổi

3 Chứng minh có hai tiếp tuyến của (C) qua điểm A(1; 0) và hai tiếp tuyến vuông góc

Bài 9: Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đ qua điểm A-1; -2)

3 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình: x3 – 3x2 – a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiêïm lớn hơn 1

Bài 10: Cho hàm số y = x3 – (2m + 1)x2+ (6m – 5)x – 3, có đồ thị (Cm)

1 Chứng minh rằng đồ thị (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m

2 Xác định m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành

3 Khảo và vẽ (C2) với m = 2

4 Biện luận theo a số nghiệm phương trình: (|x| - 3)(|x| - 1)2 = 3a