Biện luận số nghiệm của pt bằng đồ thị

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ... thường là C đã được vẽ trong những phần trước Số giao điểm của d và C là số nghiệm của 1.. Phương pháp:Biện luận bằng đồ thị số nghiệm củ

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG ĐỒ THỊ

Khảo sát hàm số :

y = x3 - 3x + 1

GIẢI

Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số.

Miền xác định : D = R

y ’ = 3x 2 – 3 =0 x = 1 V x = - 1

Bảng biến thiên: x - 1 1

y’

- 1

CĐ

CT

y ’’ = 6x=0 x = 0

x y’’

0

0

Điểm đặc biệt : x = 2 y = 3

x = - 2 y = - 1 Điểm uốn I ( 0; 1 )



























-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

Đồ thị : ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

I

CT CĐ

0

CÂU HỎI 2

biện luận theo tham số m số

nghiệm của phương trình : x 3 - 3x + 1 – m = 0

GIẢI

x 3 - 3x + 1 = 0 (*)

x 3 - 3x + 1 = m (1)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :

3

: ùng phương với trục Ox

d y m c

ïí

ïỵ

Dựa vào đồ thị ( C), ta có :



Có nhận xét gì về phương trình (1)( C ) ( d )

– m – m = 0 – m

Số giao điểm của hai đồ thị bằng với

số nghiệm phương trình hoành độ

giao điểm của hai đồ thị đó

f(x)=x^3-3x+1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x) ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

d: y = m y = m

Dùng đồ thị ( C ) để



-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

Đồ thị : ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

I

CT

CĐ

0

d : y=m

f(x)=x^3-3x+1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

Đồ thị : ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

I

CT

CĐ

y = m< - 1

0

Số giao điểm của (C) và d là 1

Cho biết số giao điểm của (C) và d

Biện luận :

m <-1: (1) có một nghiệm

Số nghiệm của phương trình : x 3 – 3x + 1 – m = 0 (1) ?

x1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

I

CT

CĐ

y = m= - 1 0

Số giao điểm của (C) và d là 2

Cho biết số giao điểm của (C) và d

Biện luận :

m =-1: (1) có hai nghiệm

f(x)=x^3-3x+1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

Đồ thị : ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

I

CT

CĐ -1< y = m < 3

0

Số giao điểm của (C) và d là 3

Cho biết số giao điểm của (C) và d

Biện luận : -1 < m < 3: (1) có ba nghiệm

Số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x + 1 – m = 0 (1) ?

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

Đồ thị : ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

I

CT

0

Số giao điểm của (C) và d là 2

Cho biết số giao điểm của (C) và d

Biện luận :

m = 3 : (1) có hai nghiệm

x 2 =

x 1 =

f(x)=x^3-3x+1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

f(x)

Đồ thị : ( C ): y = x 3 - 3x + 1 - 3x + 1

I

CT

0

Số giao điểm của (C) và d là 1

Cho biết số giao điểm của (C) và d

Biện luận :

m > 3 : (1) có một nghiệm

x 1

>3

Số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x + 1 – m = 0 (1)?

m Số gđ (C) và

của (*)

3

-1

2 2

3

1 1

3

f(x)=x^3-3x+1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

Bảng biện luận:

ĐỒ THỊ

Biện luận :

m < - 1 : (1) có một nghiệm

m = -1 : (1) có hai nghiệm -1 < m < 3 : (1) có ba nghiệm

m = 3 : (1) có hai nghiệm

m > 3 : (1) có một nghiệm

Củng Cố

Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình f(x,m)=0 ( * )

 Chuyển vế phương trình (*) thành dạng f(x)=g(m).

 Vẽ (C) : y = f(x) và vẽ d : y = g(m) cùng phương với Ox trên cùng một hệ trục tọa độ

(thường là (C) đã được vẽ trong những phần trước)

Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của (1)

Phương pháp:Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình f(x,m)=0 ( * ) ?

2 4

1

y

x

+ +

=

+

CÂU HỎI 3

2) Định m để phương trình: x 2 – m x + 3 – m = 0

có ít nhất một nghiệm âm.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

f(x)=(x^2+x+4)/(x+1) f(x)=x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10-9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

( ) :

1

x x

C y

x

+ +

=

+ Đồ thị

0

x = - 1

I

CĐ

CT

Định m để phương trình:

x 2 – m x + 3 – m = 0 có ít nhất một nghiệm âm.

x 2 – m x + 3 – m = 0 ( 1 )

x 2 + 3 = m x + m

x 2 + x + 4 = mx + m + 1 + x

x 2 + x + 4 = m(x + 1) + (1 + x)

x 2 + x + 4 = (x + 1) (m + 1) ( 2 ) ( x = - 1 không là nghiệm của phương trình (2) )

1

x

+ +

= + +

( ) :

1

C y

x

+ +

=

+

(3) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m + 1 cùng phương với trục

VT (2) = 4 VP (2) = 0

- 1

¹











f(x)=(x^2+x+4)/(x+1) f(x)=x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10-9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

( ) :

1

x x

C y

x

+ +

=

+ Đồ thị

0

x = - 1

I

CĐ

CT

y=m+1> 4

x0

x0 =-3

y=m+1= - 5 y= m+1< - 5

y=m+1

x 2 – m x + 3 – m = 0 có ít nhất một nghiệm âm





3



m

4 1

5

m