Biện luận số nghiệm PT tham số bằng nhiều cách giải

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNHVÔ TỈ VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI.. Cách3 Phương pháp lượng giác.

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI

Hầu hết các bài toán biện luận nghiệm phương trình đều có thể giải được bằng phương pháp đạo

hàm( phương pháp tập giá trị của hàm), và nếu có thể ta đưa về xét sự tương giao của 2 đường cong( hình học giải tích), hoặc phương pháp lượng giác

Ví dụ1

Cho phương trình 1 x 8 x (1x)(8 x)m (*) Định các giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Giải

Cách1 Đặt u= , v= , u 0 , v 0 Ta có hệ 2 2

9(2) (3) 1

u v

m u v

u

ìïï

ïï

ïï + = íï

-ïï =

ïî

Xét hệ trục Ouv, vẽ đường tròn (2) và đồ

thị hàm (3) là một hypebol (*) có 2 nghiệm phân biệt khi (2) và (3) có 2 giao điểm phân biệt

Nhận xét: m 0 phương trình vô nghiệm

Khi m>0 (3) cắt Ou, Ov tại hoành độ m,

tung độ m Có một giá trị mo cho đồ thị (3) tiếp xúc đường tròn (2) tại I, ta tìm tọa độ I và mo I là giao điểm của đường thẳng y=x và đư ơng tròn (2) Vậy: uI= vI= 3/ , thế vào (3) tìm được mo= + Vậy để thỏa điều kiện đề thì 3 m + Cách2 Dùng phương pháp khảo sát hàm số Xét hàm y 1 x 8 x (1x)(8 x)

Tập xác định D=é-ë û1;8ù Đạo hàm y’= 8 1 2 7 2 1 8 x x x x x - - + -

-+ -y’=0 - =2x-7 Bình phương 2 vế cho phương trình hệ quả = -2x+14x-20 cuối cùng tìm được x= (thỏa phương trình xuất phát) Lập bảng biến thiên: x -1 8

y’ 0

y +

3 3

Vây để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm y trên đây cắt đường thẳng y=m tại 2 điểm phân biệt, vậy 3 m + 3 m +

Cách3 Phương pháp lượng giác

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

u

v

(3)

(2)

Điều kiện: -1 x 8  -  x-  Đặt x- = cos2 với 0  2   tức là 0    suy ra x+1=

+ cos2 và 8-x= - cos2 Vậy phương trình (*): cos + sin + 3cossin = Đặt u= cos + sin = sin(+ ) , vì  +  nên 1 u , và được phương trình: 3u +2u-3= Lập bảng:  0

+

u

1 1

y= 3u +2u-3 3+2 2 2

Theo bảng trên: để yhoar điều kiện đề thì: 2  < 3+2 Điều kiện này ta tìm được 1 ≠ 2 và dương thuộc 0; 2éêêë pùúúû Sử dụng công thức cos2 = 2 cos  - 1 Dẫn đến cos21 ≠ cos22 Tức là x1≠ x2; phương trình có 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 2 Định các giá trị của m để phương trình sau đây có 2 nghiệm phân biệt: x+ = m Giải Cách1 Phương pháp giao 2 đường cong Đặt u=x , v= ; v 0 Phương trình tương đương với hệ sau: 2 2 1, 0 (1) (2) u v v v m u ìï + = ³ ïí ï = -ïî Điều kiện đề thỏa khi các đường (1) và (2) có 2 điểm chung phân biệt Chú ý (1) là nửađường tròn cố định tâm O bán kính bằng 1, nằm phía trên Ou; (2) là đường thẳng thay đổi và luôn song song với đường thẳng v = -u, cắt Ov tại tung độ m Cho m thay đổi, nhận xét rằng (1) và (2) có 2 giao điểm phân biệt khi 0 1 m m£ < ; với m0 là tung độ giao điểm của 2 với Ov ( 2 là một vị trí của đường (2) tiếp xúc với đường (1) ) Dễ dàng tính được m0 = Vậy 1£ m£ 2 Cách2 Phương pháp khảo sát hàm số Xét hàm số: y x= + 1- x2 ( 1- £ £x 1) 2 2 1 ' 1 x x y x - -= - , -1<x<1 y’= 0  = x ( x ³ 0)  x= Bảng biến thiên: x -1 1 Để thỏa đề bài toán đồ thị hàm trên phải cắt y’ + 0 - đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt Vậy: y 1£ m< 2 -1 1

Cách3: Phương pháp lượng giác Đặt x=cos , 0 x p£ £ Ta đưa về phương trình cos+sin=m  sin(+ ) = Xét sự biến thiên của hàm y = sin(+ ): ta có y’= cos(+ ) ; y’= 0  x = Bảng biến thiên:  0 

cos(+ ) + 0

sin( + ) 1

-

u v

1

1 D (1)

(2)

Phương trình phải có 2 nghiệm 1 và 2 phân biệt; chỉ khi  <1  1 m< ( 1 ≠ 2 thuộc [0; ] suy ra x1 = cos1 ≠ x2 = cos2 : thỏa đề )