Gián án Mot so PP giai phuong trinh nghiem nguyen. Giang (2010 - 2011)

Lý do chọn đề tài: -“ Dạy học toán là hoạt động toán học , do đó học sinh cần biết quá trình sáng tạo các khái niệm , định lý , biết vận dụng kiến thức có niền tin vào khả năng toán học

Mục lục Trang

Phần I: Mở đầu: 02

1 Lý do chọn đề tài 02

2 Mục đích nghiên cứu 02

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 03

4 Phạm vi và đối tợng nghiên cứu 03

5 Phơng pháp nghiên cu 03

Phần II: Nội dung 03

Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 03

Chơng II: Các biện pháp ( giải pháp) s phạm cần thực hiện 04

Biện pháp 1: 04

Biện pháp 2: 04

Chơng III: Thực nghiệm s phạm 15

1 Mục đích thực nghiệm 15

2 Nội dung thực nghiệm 15

3 Kết quả thực nghiệm 28

Phần III: Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

Phần I: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

-“ Dạy học toán là hoạt động toán học , do đó học sinh cần biết quá trình sáng tạo các khái niệm , định lý , biết vận dụng kiến thức có niền tin vào khả năng toán học của mình”

- Đặc trng của toán học là trìu tợng hóa cao độ , có tính Lôgic chặt chẽ , vì vậy trong trong dạy học , ngoài suy diễn lôgic phải chú trọng nguyên tắc trực quan và trìu tợng , giữa trực quan trìu tợng , giữa suy luận có căn cứ

- Để chuẩn bị bài giảng , giáo viên phải cần chuẩn bị kỹ hệ thống bài tập và câu hỏi nhằm gieo tình huống , hớng dẫn từng bớc giải quyêt vấn đề phù hợp từng loại đối

tợng học sịnh , dự kiến những khó khăn trở ngại , những cái bẫy mà học sinh phải vợt qua.

(Trích đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng THCS - Viện khoa học giáo dục Chủ biên : Trần Kiều Trang – trang 30)

Qua nghiên cứu , tìm hiểu thực tiễn , điều tra và qua thực tiễn giảng dạy môn

toán ở trờng THCS Mỹ Thuận , đặc biệt là các giờ bôì dỡng học sinh giỏi , tôi nhậnthấy :

- Số học sinh thực học tốt môn toán ( Nắm vng kiến thức, có kỹ năng , kỹ sảo, có phơng pháp tự học , tự bồi dỡng ) chiếm tỉ lệ thấp

- Trong thực tế khi thi HSG học sinh gặp phải bài toán nghiệm nguyên gần

nh bỏ trắng , lúng túng không biết soay sở ra sao Điều đó thực rẽ hiểu vì bài toán

đợc đa vào dới dạng bài tập , lí thuyết cơ bản chỉ đợc nhắc qua một phần rất nhỏ song cơ bản lại áp dụng số học nhiều

- Học giải toán nói chung và phơng trình nghiệm nguyên nói riêng là một t duy sáng tạo về Toán , là một vấn đề triù tợng hóa và khá khó với học sinh trong quá trình học toán ở trờng THCS

- Vấn đề thừa nhận rằng : Nêú nh các em nắm chắc các dạng của phơng trìnhnghiệm nguyên và phơng pháp giải thì việc giải dạng toán này sẽ dễ dàng hơn và ngày càng hăng say học tập hơn

2 Mục đích nhiên cứu:

- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học ở bậc THCS

- Đáp ứng nguyện vọng của HS trong việc nâng cao kiến thức cũng nh bổ sung kiếnthức ngoài SGK cho HS

- Trang bị cho HS kiến thức vững vàng, có ý thức tự học và tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tập

- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng đợc tri thức vào cuộc sống

- Qua nghiên cứu đề tài để bản thân và đồng nghiệp có thêm t liệu về dạy toán nói chung và dạy dạngtoán nghiệm nguyên nói riêng Học sinh phát huy đợc tính độc lập sáng tạo có thể tự tìm tòi sáng tạo đúc rút kinh nghiệm , tìm tòi khám phá kiến thức mới cho mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Vai trò bài tập và việc dạy học giải bài tập

- Một số phơng pháp giải : “ Giải các bài toán về phơng trình nghiệm nguyên ”

- Nghiên cứu bài soạn , bài dạy của đồng nghiệp

- Nghiên cứu bài làm của học sinh trớc và sau khi giảng

4 Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:

1 Đối tợng: 10 học sinh khá giỏi khối 8

2 Phạm vi : “ Giải các bài toán về phơng trình nghiệm nguyên ”

5 Phơng pháp nghiên cứu :

- Phơng pháp ngiên cứu tự tìm ra kiến thức

- Phơng pháp đối thoại : học sinh – học sinh; giáo viên – học sinh; giáo viên – giáo viên

- Phơng pháp tổng kết rút kinh nghiệm

- Phơng pháp thực nghiệm

Phần II: Nội dung Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn:

- Việc giải bài tập đợc coi là là phơng tiện mục đích của việc dạy học toán, nó có tầm quan trọng rất lớn và từ lâu đã là vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học toán.

- Giải bài tập là hình thức tốt nhất nhằm củng cố đào sâu kiến thức, hệ thống hóaluyện tập kỹ năng, kỹ sảo và phát huy tốt nhất năng lực nhận thức của học sinh.Mục đích đó là phát triển ở học sinh bản lĩnh Toán học , mỗi bài toán dạy cho họcsinh kỹ năng hớng về những tình huống có vấn đề khác nhau Dạy cho học sinhgiải toán không phải là củng cố những bài có sẵn mà học sinh chỉ nghe thụ động vàghi, mà dạy cho học sinh nên sử dụng bài tập với dụng ý nào đó nhằm hình thànhchi thức hay củng cố chi thức Rèn luyện thao tác t duy hay để kiểm tra trình độgiáo dục đợc ngôn ngữ toán học Dạy giải toán là phải tổ chức những hoạt động củahọc sinh để các em tích cực chủ động tìm tòi lời giải Kết quả của hoạt động dạyhọc toán là đợc xác định ở hệ thống bài giải mà học sinh có đợc qua quá trình thunhận kiến thức Vì vậy bài tập phải đợc đa từ dễ đến khó, để phát huy tính tích cực,

đào sâu suy nghĩ kích thích tìm tòi sáng tọa tăng mức độ khó tìm ra học sinh năngkhiếu, đồng thời gieo vào lòng niềm đam mê hăng say học toán

Vì vậy giáo viên phải đa ra hệ thống bài tập ở các dạng khác nhau, đặc biệt họcsinh học song phải biết mình nắm đợc kiến thức nào, từ đó các em vận dụng kiếnthức đã học vào việc giải bài tập khác và tự bản thân hoc sinh sẽ phát triển khảnăng nhận thức Trong quá tình dạy học phải tuân chỉ việc lấy ngời học làm trungtâm

- Kế thừa kiến thức toán học từ lớp 8 trở xuống, đặc biệt là về giải phơng trình, kiếnthức nâng cao ở một số sách tham khảo

- Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Phân tích dạng toán, tìm tòiphơng pháp giải dạng toán trên

- Giúp học sinh khám phá những tri thức mới, có năng lực sáng tạo trong học toán

Chơng II: Các biện pháp (Giải pháp) s phạm nâng cao chất lợng:

1 Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm:

- Tìm hiểu sự ham mê học Toán của học sinh khối 8

- Kiểm tra kiến thức và kĩ năng giải phơng trình của học sinh trong đội tuyển đãchọn

Kết luận : phơng trình có hai nghiệm nguyên : a=2 và a=3.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

Giả sử D= a.m0+ b.n0 ta nhận thấy mọi số nguyên có dạng a.m+ b.n ( m,n Z)

đều chia hết cho D

Thật vậy giả sử ngợc lại số C = a.m + b.n mà C= D.q+ r với 0< r< D

Mặt khác a d a m d. 0 và b d b n d. 0 do đó a.m0 + b.n0 = Dd  D d (** Từ (*) và (**)

Điều kiện đủ : nếu d c /   c d m (m  Z)

Vì d=(a,b) theo ĐK cần ta có : d=a.s+b.t => c= m.d= as.m+bt.m=a.(sm)+ b.(st)

đặt x0 = s.m ; y0= t.m thì ax0+ b.y0=w.f tức là phơng trình ax0  by0  c có nghiệm nguyên







Chú ý : 1 các nghiệm riêng x0 ; y0 có thể tìm đợc nhờ thuật toán Ơclit

2.Có thể phát biểu quá trình xây dựng công thức nghiệm của phơng trình

ax by c nh sau

a) Nếu (x0; y0 ) là một nghiệm nguyên của phơng trình axby  với 1(a;b)=1 thì (c x0; c.y0) là nghiệm của phơng trình axby c

b) Nếu (x0; y0 ) là một nghiệm nguyên của phơng trình axby c

với (a;b)=1 thì mọi nghiệm nguyên của nó đợc xác định bởi hệ thức

0

0

x= x -b.t y=y +a.t

Nghiệm nguyên nhỏ nhất khi u = 0 => x =11 và y =3

3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên:

1 Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:

Đa (3) về một trong hai dạng sau:

a) Có một hệ số của ẩn bằng 1, giả sử a1 = 1 Khi đó:

x1 = - a2x2 – a3x3 - – anxn, x2 , x3, , xn Z

Nghiệm nguyên của (3) là: (- a2x2 – a3x3 - – anxn, x2 , x3, , xn ), x2 , x3, , xn

Z

b) Có hai hệ số nguyên tố cùng nhau, giả sử ( a1,a2) = 1

(3)  a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - – anxn Tìm nghiệm nguyên x1, x2 theo x3, , xn

đều chia hết cho 7

Đặt z = 3u + v, ta có PT 11x – 7z = -2 có nghiệm nguyên tổng quát là :

5 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên:

1 Giải các hệ PT sau trên tập số nguyên:

Rõ ràng x = y =0 là nghiệm của (1)

Nếu x0, y0  0 và (x0, y0) là nghịêm của (1) Gọi d = (x0, y0) suy ra :

3  x 3 và y  3 ( xét các d khi chia x, y cho 3).

Đặt x = 3u, y = 3v, (u, v Z) Khi đó ta có :

19 (3u)2 + 28( 3v)2 = 19u2 28v2 = 81

Tơng tự, ta đặt u = 3u1, v = 3v1 ( u1, v1 Z) và 19u1 + 28v1 = 9, vô lí

Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên

3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên :

1) Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:

a) x2 – 2y2 = 5

b) 7x2 + 13y2 = 1820

2) Với giá trị nào của x thì biểu thức sau là số nguyên: B = 5 152

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho x3 – 344 x – 7

4) CMR x2 – y2 = k có nghiệm nguyên  k 2(mod 4)

5) CMR tổng bình phơng của ba số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có d là

7, từ đó suy ra phơng trình 4x2 + 25y2 + 144z2 = 2007 không có nghiệm nguyên

b) Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của PT sau :

x y x y

b) Ta có thể giả sử x  y

Ta có p( x + y) = xy  xy – px – py + p2 = p2  ( x – p)(y – p) = p2

x y x y

3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên :

1) Tìm nghiệm nguyên dơng của PT x2 + x + 499 = y2 ;

2) Tìm nghiệm nguyên của PT x2 – 3y2 + 2xy – 2x – 10y + 4 = 0 ;

3) Tìm nghiệm nguyên của PT x + xy + y = 4 ;

4) Tìm số có hai chữ số mà số ấy là bội của tích hai chữ số của chính nó ;

b) Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 5( x + y+ z + t) + 10 = 2 xyzt (2).

Ta có các nghiệm (35 ; 3 ; 1 ; 1), (9 ; 5 ; 1 ; 1) và các hoán vị của chúng

ii) Với z = 2, z = 3 phơng trình không có nghiệm nguyên

3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên :

1) Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình:

a) 5( x + y + z) = 4xyz – 24; b) x + y + z + t = xyzt; c) x + y +z + 1 = xyz.2) Tìm 12 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

3) Một tam giác có số đo độ dài của các đờng cao là các số nguyên dơng và dờng tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính bằng 1 CMR tam giác đó là tam giác đều

VII Dạng ph ơng trình vô định x 2 +y 2 =Z 2

1 Cơ sở lý thuyết :

Phơng trình vô định 2 2 2

x y z có vô số nghiệm xác định bởi công thức x= u.v ;

2 2 2 2

;

y  z  với u,v thuộc Z ; u,v là các số lẻ ;(u;v)=1 ;u >v

Chẳng hạn +) u=3 ; v=1 ta có nghiệm x=3; y=4; z =5

+) u=5 ; v=3 ta có nghiệm x=15 ; y=8; z=17Ngoài cách xác định trên đây pt mà có nghiệm nguyên của nó có phơng pháp xác

định nghiệm sự tồn tại chỉ có một số ít có phơng pháp tổng quát

Việc xác định nghiệm nguyên của các pt thờng dựa vào tính chất của tập hợp số tựnhiên chẳng hạn A.B =1 <=> A=B=1 hoặc A=B = -1 ; phối hợp các phơng pháp nh phân tích ra thừa số , tính chia hết , xét số d,

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: x2 +y2-6x+4y+13 = 0 (1)

3 Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên:

1) Giải phơng trình trên miền số nguyên: xy = x + y.

2) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau: x2 – 4xy + 5y2 = 169

3)Tìm nghiệm nguyên của bất phơng trình: x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – 3

Chơng III: Thực nghiệm s phạm

1 Mục đích thực nghiệm:

- Kiểm tra hiệu quả đề tài nghiên cứu

- Tìm ra những thiếu sót, tìm ra những khuyết điểm cũng nh biện pháp khắc phục

để hoàn thiện đề tài ngày một chất lợng hơn

2 Nội dung thực nghiệm:

- Giáo viên: Máy chiếu, phiếu học tập

- Học sinh: Ôn tập các kiến thức đã học về phơng trình và các kiến thức liên quan

III Tiến trình bài dạy:

d) Hoạt động 1: Phơng trình một ẩn với hệ số nguyên.

GV:- Nêu dạng tổng quát

của PT một ẩn với hệ số

nguyên ( Máy chiếu)

HS :- Theo dõi, ghi nhớ

GV: - Giới thiệu hệ quả 1

và hệ quả 2 (Máy chiếu)

HS: - Theo dõi ghi nhớ

3 Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

sau: a2- 5a + 6 = 0 (1’)

Giải :

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

sau: x2 + 4x + 3 = 0 (1’’)

Giải:

Đặt P(x)= x2 + 4x + 3Tìm tập ớc của 3 : Ư(3)= { 1; 3}

Nghiệm nguyên nếu có của phơng trình (2) phải thuộc vào tập hợp Ư(3)

Bằng phép thử ta có : P(1) =8 ; P(-1) = 0 ; P(3) =24 ; P(-3) = 0Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm là x=-1

HS : Theo dõi, ghi nhớ

II Phơng trình bậc nhất hai ẩn số :

ax + by = c (a, b, c Z) (2).

1 Cơ sở lý thuyết:

a)Định lý 1:

Cho a, b là hai số nguyên dơng ; gọi d=(a;b) khi

đó tồn tại các số nguyên m và n sao cho d = a.m + b.n

Khi đó a = d.a1 ; b = d.b1 ; (a1;b1) =1 và c = d.c1

và ta có:

(1) <=> ax1  by1  c1 (2) Giả sử x0; y0 là một nghiệm của phơng trình

1 0 1 0

( ) ( ) 0 ( ) ( )

Do đó a1u=- a1b1t => u=- b1tNgợc lại nếu u= -b1t ; v=a1t (với t Z ) thì cặp v,u,t là nghiệm của pt a1u=-b1v

vì x-x0 =u và y-y0=v nên x= x0-b1.t và y=y0 +a1.t Vậy công thức tổng quát của phơng trình

ax by c

Có dạng 0 1

0 1

x= x -b t y=y +a t

b) Nếu (x0; y0 ) là một nghiệm nguyên của phơngtrình axby c

với (a;b)=1 thì mọi nghiệm nguyên của nó đợc

xác định bởi hệ thức 0

0

x= x -b.t y=y +a.t



 (t Z) => 1

3 3

t

y t  Lại đặt

1 3

t



=u với (u Z) => t=3.u-1

sinh làm bài (nếu cần).

+ Biểu diễn x theo y

b) Ví dụ 4 : Tìm các nghiệm nguyên dơng nhỏ

nhất (x;y) của phơng trình:17x- 29y= 100

Giải:

Vì (17;29) =1 nên PT có nghiệm nguyên => x= 100 29 2 5



 với (u Z) => t=5.u +1 từ đó tính x; y theo u

Đa (3) về một trong hai dạng sau:

a) Có một hệ số của ẩn bằng 1, giả sử a1 = 1 Khi

đó:

x1 = - a2x2 – a3x3 - – anxn, x2 , x3, , xn ZNghiệm nguyên của (3) là: (- a2x2 – a3x3 - –

anxn, x2 , x3, , xn ), x2 , x3, , xn Z

b) Có hai hệ số nguyên tố cùng nhau, giả sử ( a1,a2) = 1

(3)  a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - – anxn Tìm nghiệm nguyên x1, x2 theo x3, , xn

4 Các ví dụ:

a)Ví dụ 5: Giải phơng trình trên tập số nguyên:

6x + 15y + 10z = 3 (3’)

Giải:

nghiệm tổng quát của PT

15y + 4z = 3 – 6u, rồi KL

Nghiệm tổng quát của (3) là

( - 1 ; 4) là nghiệm riêng của PT 15y + 4z = 1 nên-3 + 6u ; 13 – 24u) là nghiệm riêng của PT 15y + 4z = 3 – 6u Do đó nghiệm tổng quát là :

b) Ví dụ 6 :Tìm tất cả các số nguyên x và y sao

cho cả hai số 3x – y + 1 và 2x + 3y – 1 đều chia hết cho 7

Đặt z = 3u + v, ta có PT 11x – 7z = -2 có nghiệm nguyên tổng quát là :

Thử lại với x  mod 7) và y (mod 7) thì 3x –

y + 1 và 2x + 3y – 1 đều chia hết cho 7

- HS có ý thức chủ động, tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị:

GV: Máy chiếu, phiếu học tập

HS : Ôn tập các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phép chia hết và phép chia có d

III Tiến trình bài dạy :

1.Tổ chức :

2.Kiểm tra :

? Nêu khái niệm đồng d ? Cho ví dụ

? Nêu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em biết?

Hoạt động 1: Sử dụng phép chia hết và phép chia có d.

Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.

3( 3x – 2) = 16 +

43  ( 3x – 2)(3y – 2) = 52

đã cho là ( 1 ; 18), ( 18 ; 1), ( 2 ; 5), ( 5 ; 2)

b) Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của PT sau :

a) x + y = xy ; (4)

x y x y

(2p ; 2p), ( 0 ; 0), (p + 1 ; p2 + p), (p2 + p ; p + 1), (p – p2 ; p – 1), (p -1 ; p – p2)

+ Tìm điều kiện của x (Chia cả

hai vế cho xyz)

+ Từ ĐK trên và (6) tìm y và z

1 Phơng pháp :

Để tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình

đối sứng ta giả sử 1  x y z rồi chặn trên một ẩn

2 Các ví dụ : a) Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của PT

+ KÕt luËn vÒ nghiÖm cña (7).

HS : Tr×nh bµy bµi gi¶i víi

5(x + y + z) = 2xyz

2 2

123

z

xy yz xz xyz z z

z z

th-1 ; phối hợp các phơng pháp nh phân tích rathừa số , tính chia hết , xét số d,

2.Ví dụ : a)Ví dụ1: Tìm các số nguyên x; y thoả mãn :

(x+1)(y-4) =3 (8)

Giải :

Vì x; y Z => x+1 ; y- 4  Z

Mặt khác 3 = 3 1= (-1) (-3) do đó Phơng trình (8) <=>

Vậy phơng trình có các nghiệm là:

1 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

a) Sử dụng phép chia hết và phép chia có d:

1) Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho x3 – 344 x – 7

4) CMR x2 – y2 = k có nghiệm nguyên  k 2(mod 4)

5) CMR tổng bình phơng của ba số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có d là

7, từ đó suy ra phơng trình 4x2 + 25y2 + 144z2 = 2007 không có nghiệm nguyên