NW359 360 DẠNG 25 PP tọa độ OXYZ GV

Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ điểm trong hệ trục tọa độ trong không gian... Trung điểm của đoạn có tọa độ là A.. Tìm toạ độ trọn

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Hệ trục tọa độ Oxyz:

 Hệ trục gồm ba trục Ox Oy Oz, , đôi một vuông góc nhau

 Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị ir (1;0;0)

 Trục Oy: trục tung, có vectơ đơn vị rj(0;1;0).

 Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1).

r

 Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ.

2 Tọa độ vectơ:

 Vectơ u xi y j zk   �u( ; ; )x y z

Cho ar ( ; ; ),a a a1 2 3 br ( ; ; )b b b1 2 3

 a br�r(a1�b a1; 2�b a2; 3�b3)

 ar cùng phương br

( )

a kb k R

�r r �

3

, ( , , 0)

a kb

a

a a

b b b

a kb



�

� 

�

 kar(ka ka ka1; 2; 3)



a b



�

 � � 

� 

�

r

 a b a br.r  1 1 a b2 2a b3 3

 ar  a12 a22 a22



2

ar  ar a a a

 arbr�a br.r0� a b1 1a b2 2a b3 3 0



cos( , )

a b a b a b

a b

a b a a a b b b

r r r

r

r r

3 Tọa độ điểm:

 M x y z( ; ; )�OM  ( ; ; )x y z

uuuur

Cho ( ;A x y z A A; ), ( ;A B x y z B B; ), ( ;B C x y z , ta có: C C; )C

 uuurAB(x B x y A; B y z A; Bz A)

 AB (x B x A)2(y By A)2(z Bz A)2

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 2 ; 2 ; 2 .

x x y y z z

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 3 ; 3 ; 3 .

x x x y y y z z z

4 Chiếu điểm trên trục tọa độ

 Điểm ( ; ; ) (Chie� u va� o Ox) 1 ( ;0;0)

DẠNG TOÁN 25: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ OXYZ

Trang 2

 Điểm ( ; ; ) (Chie� u va� o Oy) 2 (0; ;0)

 Điểm ( ; ; ) (Chie� u va� o Oz) 3 (0;0; )

M x y z �� M z

5 Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ

 Điểm ( ; ; ) (Chie� u va� o Oxy, ) 1 ( ; ;0)

 Điểm ( ; ; ) (Chie� u va� o Oyz, ) 2 (0; ; )

M x y z ��M y z

 Điểm ( ; ; ) (Chie� u va� o Oxz, ) 3 ( ;0; )

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Xác định tọa độ điểm

 Xác định tọa độ vector

 Tìm độ dài vector

 Tìm độ dài đoạn thẳng

 Tổng hợp

 …

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA 2020-2021) Trong không gian Oxyz,cho hai điểm A(1;1; 2) và B(3;1;0) Trung điểm

của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A (4; 2; 2) B (2;1;1) C (2;0; 2) . D (1;0; 1) .

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ điểm trong hệ trục tọa độ trong không gian.

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Áp dụng công thức

B2: Thế số vào, suy ra kết quả

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

Trung điểm I của AB có tọa độ là

x = + = y = + = z = + =

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A3;5;12 trên trục Ox có tọa độ là

A 0;5;12

B 0;5;0

C 3;0;0

D 0;0;12

Lời giải

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của điểm A3;5;12 trên trục Ox có tọa độ là 3;0;0

Câu 2 Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M7; 7;1  trên mặt phẳng Oxy

có tọa độ là

A 7;0;1. B 7; 7;0  . C 0; 7;1 . D 0;0;1 .

Trang 3

Hình chiếu của điểm M7; 7;1  trên mặt phẳng Oxy

là điểm M �7; 7;0 .

Câu 3 Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của M5 11 2; ; 

trên mặt phẳng Oyz

là

A 5;0;0

B 5 11 0; ;  . C 5 0 2; ; . D 0 11 2; ; .

Lời giải Chọn D

Hình chiếu vuông góc của M5 11 2; ;  trên mặt phẳng Oyz

là 0 11 2; ; 

Câu 4 Trong không gian , cho hai điểm A1; 7; 2  và B3; 1; 4  Trung điểm của đoạn có

tọa độ là

A 1;3;1

B 4; 8;6  . C 2; 4;3 . D  2; 4;3.

Lời giải

Gọi là trung điểm của đoạn Ta có

 

1 3 2

4

2 4

3

I

x x x

y y y

z z z

�

  



�

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1; 2  và B2; 2;9

Vectơ uuurAB

có tọa độ là

A   1; 1; 11 B 3;1;7

C 1;1;11

D 3;3; 7 

Lời giải Chọn C

 

2 1; 2 1;9 2 

AB    

uuur

hay uuurAB1;1;11 .

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A2;2;10

Tính độ dài đoạn thẳng OA

Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ar  7ri 2rj3kr Tọa độ của vectơ ar

là

A 7; 2; 3 . B 2; 3; 7  . C 2; 7; 3  . D 3; 2; 7 .

Lời giải Chọn A

ar  ri rj kr�ar  

Câu 8 Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;3 ,  B 1;2;5 , C 3;6;1 Tìm

toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

A G1;2;3

B G3;6;9

C G1;2;3. D G1; 2;1

Toạ độ trong tâm G của tam giác ABC bằng

Trang 4

 

1 1 3

1

2 2 6

2 1; 2;3

3 5 1

3

G

x x x x

y y y

z z z z

�

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ ur 5;0;1 và vr2;1;0 Tính tích vô

hướng u vr r

A u vr r. 12. B u vr r 10. C .u vr r0. D u vr r  10.

Ta có u vr r. 5.2 0.1 1.0 10   .

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OMuuuur  2kr 9rj Tìm toạ độ điểm M.

A M2;9;0. B M9;0; 2 . C M9; 2;0 . D M0;9; 2 .

Ta có: OMuuuur  2kr 9rj nên M0;9; 2 .

 Mức độ 2

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A8; 4;0 , B1;1;3, C3,1,0 Tìm

tọa độ các điểm D trên trục hoành sao cho AD BC .

A D5;0;0,D11;0;0 B D11;0;0

, D5;0;0

C D11;0;0 , D5;0;0

D D11;0;0

, D5;0;0

Gọi D x ;0;0�Ox

8 16 5

5

x



�

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1;0;3

, B2;3; 4 , C3;1;5 Tìm

tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

A. D 4; 2;12. B. D4; 2;12 . C. D4; 2;12  . D. D4; 2; 12  .

Gọi D x y z ; ; 

Để ABCD là hình bình hành

4

9

x

z

 

�

� 

�

uuur uuur

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với A1; 3;3 ; B2; 4;5 , C a ; 2; b

nhận điểm G1; ;6c 

làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng a b c  bằng

Trang 5

A 7 B. 13 C. 13 D. 7

1 2 1

3 4 2

10 3

3

3 5 6

3

a

c b

 

�

�



�

  

�   �  �

� 

�

Vậy a b c  7

Câu 4 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A3;9; 2 , B2; 3;5 

Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA2MB, tọa độ điểm M là

A.

7 8

;5;

3 3

� �. B. 4;5; 9  . C. ��32; 5; 172 ��. D. 1; 5;12 .

Gọi M x ; y;z Vì M thuộc đoạn AB nên:

7

8

3

x

� 

   

  � �     � � 

�     �

�

uuur uuur

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M2;3; 1 , N1;1;1 và P1;m1;8 Tìm

m để tam giác MNP vuông tại N.

 3; 2;2 ; 2; 2;7

MN   NP m

Tam giác MNP vuông tại N � MN NPuuuuruuur 0� 6 2m  2 14 0�m 2 4�m6.

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm M3;5; 7  Tìm tọa độ của điểm đối xứng

với điểm qua trục

A M' 3; 5; 7   . B M' 3;5;7 

C M' 3;5; 7   . D M' 3;5;7 .

Lời giải

Chọn D

Gọi là hình chiếu của trên

Ta có H0;5;0

là trung điểm của nên M' 3;5;7 

Câu 7 Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của M7 2 3; ;  qua mặt phẳng Oyz là

A 0 2 3; ; 

B   7 2 3; ; . C 7 2 3; ; . D 7 2 3; ; .

Lời giải

Trang 6

Chọn C

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oyz �H0 2 3; ; 

Gọi M ' là điểm đối xứng với M7 2 3; ;  qua mặt phẳng Oyz

H

� là trung điểm của MM '�M '7 2 3; ; .

Câu 8 Trong không gian Oxyz , cho điểm A7; 3;5  Tìm tọa độ A� là điểm đối xứng với A qua

trục Oy

A A�7;3;5

B A�7; 3; 5  . C A� 7; 3;5. D A�  7; 3; 5.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A7; 3;5  lên Oy Suy ra H0; 3;0 

Khi đó H là trung điểm đoạn AA�

�

   

�

�    

�

�    

� �A�  7; 3; 5

Câu 9 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 0; 2 ;B 2;1;3 ; C 7; 2; 4 G là trọng

tâm ABC Tìm tọa độ điểm M sao cho tứ giác ABGM là hình bình hành

A M5;0;2

B M1;0; 4. C M5;0; 2  . D M2;1;3

G là trọng tâm ABC�G2;1;3

Gọi M x y z ; ; 

 3;1;1 ; 2 ;1 ;3 

AB  MG x y z

Do tứ giác ABGM là hình bình hành�uuur uuuurAB MG

�  ��  �

�  �

Câu 10 Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của B11 5 3; ;  qua trục Oz là

A 11 5 0; ; . B 11 5 3; ; . C 11 5 3; ;  . D 0 0 3; ; .

Gọi H là hình chiếu của B lên trục Oz�H0 0 3; ; 

Gọi B� là điểm đối xứng với B11 5 3; ;  qua trục Oz.

H

� là trung điểm của BB��B'11 5 3; ; 

 Mức độ 3

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M 1; 3;2 , MNuuuur7;3; 5  , MPuuur4; 2;1 

, MQuuuur  1;3;10 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện MNPQ là:

Trang 7

7

; 2;3 2

G ��  ��

� �. B. G12; 8;12 . C. G �72;2; 3

�

7

;2;3 2

� �.

Ta có M1; 3;2 , MNuuuur7;3; 5  �N8;0; 3  .

1; 3;2

M  , MPuuur4; 2;1  �P5; 5;3  .

1; 3;2

M  , MQuuuur  1;3;10 �Q 0;0;12 .

Toạ độ trọng tâm tứ diện MNPQ là

7

; 2;3 2

G ��  ��

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có

9

; 1;2 4

, B(0;2; 2)

,

(4; 1;2)

C - Gọi D a b c( ; ; )

là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC Giá trị

của a b- + bằng3c

Ta có

15 4

AB=

, BC= 5 Gọi D x y z( ; ; )

, theo tính chất phân giác ta có

3 4

DA BA

DC=BC =

Suy ra 3 ( )*

4

uuur uuur

=-

Ta có

9

; 1 ;2 4

=��- - - - ��

và uuurDC (4 a; 1 b; 2 c)

Do đó

( )

4

3

4

2 3

4

a

c

�

-�

�

-�

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ABC biết A2; 1;3 , B4;0;1

, C10;5;3 .

 0; ;0 0

H x y z

là chân đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB Khi đó x0  bằng:y0 z0

Trang 8

Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương là uuurAB2;1; 2 

Nên phương trình đường thẳng

2 2

3 2

 

�

�   

�

�  

� t��. Gọi H2 2 ; 1 t  t;3 2 t�AB

Khi đó: CHuuur2 12;t t 6; 2t.

Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB nên

CHuuur uuurAB�CH ABuuur uuur � t  t   t  �t 2.

 2; 3;7

H  

� � x0   y0 z0 2

Câu 4 Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1; 2

, B1;3; 9  Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho ABM vuông tại A

A M0;11;0

C M0; 1;0 . D M0;1;0

Ta có: M�Oy �M0; ;0a 

1;1 ; 2

MA a

uuur

, BAuuur2; 2;11 .

ABM

 vuông tại A �MA BAuuur uuur 0�2 2 1   a 2.11 0

11

a 

Câu 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A1;3; 2 , B2; 5; 4 ,

0; 1;1

C  G là trọng tâm của tam giác ABC Tọa độ điểm I là điểm đối xứng với G qua đường thẳng AB là

A.

201 93 95

101 101 101

201 93 95

101 101 101

C.

201 93 95

101 101 101

201 93 95

; ;

101 101 101

Ta có:

1 2 0

1 3

3 5 1

1 1; 1;1 3

2 4 1

1 3

G

x

z

 

�

 

�

  

�

Ta có: uuurAB1; 8;6  .

Phương trình cạnh

1

2 6

 

�

�  

�

�   

Trang 9

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh G xuống AB �H1t;3 8 ; 2 6 t   t�AB

.

0 8 4 8 6 6 3 0

101

GHuuuruuurAB�GH ABuuur uuur �t  t  t  �t

151 97 98

101 101 101

201 93 95

101 101 101

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1;2 , 3; 4;1 B  và G2; 1;3  là trọng tâm của

tam giác ABC Tứ giác ABCD là hình bình hành Điểm D a b c ; ; , khi đó a b  bằng:2c

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có

3

G

x x x x

y y y

z z z z

 

� 

�

 

� 

�

Gọi D x y z ; ; 

5;3; 1 , 5 ; 8 ;6 

AB  DC   x y z

Tứ giác ABCD là hình bình hành

�   �

uuur uuuur

a b  c

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;2; 1 , B5;4;3

M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho 2

AM

BM 

Tìm tọa độ của điểm M � là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy

A 7;6;0

13 10

; ;0

3 3

5 2

; ;0

3 3

�  �

� �. D 13;11;0

M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho 2

AM

BM 

nên B là trung điểm AM

Trang 10

 

3 5

2

7 1

3 2

M

M M

M M M

x

x y

z z



� 

�



�



� 

�

Điểm M � là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy�M �7;6;0

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8), D( 5; 4;0)  Biết

đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CBuuur uuur

bằng:

Ta có trung điểm BD là I( 1; 2;4)  , BD  và điểm A thuộc mặt phẳng 12 (Oxy) nên

( ; ;0)

A a b

ABCD là hình vuông �

2

AB AD

�

( 3) 8 ( 5) ( 4) ( 1) ( 2) 4 36

�       

�

� �

4 2 ( 1) (6 2 ) 20

 

�

� �

�

1 2

a b



�

� �

� hoặc

17 5 14 5

a b

� 

�

� 

� 

�

� A(1; 2; 0) hoặc

17 14

; ;0

5 5

A�  �

� �(loại) Với A(1;2;0) C( 3; 6;8)  .

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;3 ,  B 2;1;1  Điểm M, biết rằng

M có hoành độ dương thuộc trục Ox và MA MBuuur uuur 6

Tìm tọa độ D là trung điểm của AM

A

1 3 0; ;

2 2

1 1 3

; ;

2 2 2

D ��  ��

C

1 3 0; ;

2 2

D ��   ��

1 1 3

; ;

2 2 2

� �.

Do

2 ;1;3

;0;0

2 ;1;1

M Ox M t

�   

�

 

�

uuur uuur

MA MB   t MA MB   t   

�uuur uuur �uuur uuur

4 16

2

t t

t



�



Vậy M(2;0;0)

Trang 11

D là trung điểm của

1 3 0; ;

2 2

� ��

Câu 10 Cho 3 điểm A0;1; 2 ;  B 3;0;0 và điểm C thuộc trụcOz Biết ABC là tam giác cân tại

C Tìm tọa độ điểm D sao cho ABDC là hình bình hành.

A. D3;1;1. B. D3; 1;1 . C. D 3; 1;1. D. D3;1; 1 .

0;0; 

C Oz� �C c , uuurAC0; 1; c2, BCuuur  3;0;c .

ABC

 cân tại C AC BC  2  2

1 c 2  9c c 1

Vậy toạ độ C là C0;0; 1 .

ABDC là hình bình hành

uuur uuur

3; 1;1

 Mức độ 4

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm A1; 2;3

, B3;4; 4

, C2;6;6

và

là trực tâm tam giác Tọa độ hình chiếu của I lên trục Oy là

A 0;4;0

B 0; 4;0 . C 0; 2;0 . D 0;2;0

 1; 2; 2

BC  

uuur

, uuurAC1; 4;3, uurAI  a 1;b2;c3, BIuura3;b4;c4 . Mặt phẳng ABC:2x5y  6 10 0.

Ta có:

27

16

5

a

� 

�

uur uuur uur uuur

27 16

;4;

� ��

Hình chiếu của I lên trục Oy là I�0; 4;0

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;2; 1 , B2; 1;3 , C4;7;5 Điểm

D chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC Tọa độ D� là điểm đối xứng với D qua mặt phẳng Oxy

là

A.

2 11 1

; ;

3 3 3

2 11

; ; 1

3 3

�  �

2 11

; ;1

3 3

11

; 2;1 3

Lời giải

Oxyz

( ; ; )

Trang 12

Chọn C

Ta có: BAuuur   1; 3;4� uuurBA  26;BCuuur  6;8;2 � BCuuur 2 26

Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC

Suy ra :

DA BA

DC  BC

2

DC  DA

�uuur uuur

2 11

; ;1

3 3

D � �

� ��

Hình chiếu của

2 11

; ;1

3 3

D �� ��

� � lên mặt phẳng Oxy

là

2 11

; ;0

3 3

H �� ��

Ta có

2 11

; ;0

3 3

H �� ��

� � là trung điểm của DD�

2 11

; ; 1

3 3

D ��  �

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A0;2; 2 , B2; 2; 4  Giả sử I a b c ; ; 

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Tính T a22b23c2.

Ta có OAuuur0; 2; 2 , OBuuur2;2; 4  OAB

có phương trình: x y z  0

I�OAB �a b c  0.

AI  a b c

uur

, uurBIa2;b2;c4, OIuura b c; ; .

Ta có hệ

AI BI

AI OI



�

� 

�

2

�

� �

�

4 2

a c

b c

 

�

� �   

�

Ta có hệ

4 2 0

a c

b c

a b c

 

�

�   

�

�   

�

4 2

a c

b c

 

�

� �   

�

2 0 2

a b c



�

� 

� �

�  

Vậy I2;0; 2  2 2 2

T a  b  c  

�

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A0;0; 1 , B1;1;0, C1;0;1

Điểm M thỏa mãn điều kiện 3MA22MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tọa độ M � là hình chiếu của M lên

Oxz

là:

A.

3

;0; 1 4

M ��  ��

3

;0;2 4

M �� ��

C.

3 3

; ;0

4 2

M �� ��

3

;0; 1 4

M ��  ��

Giả sử

2

1

; ; 1

AM x y z

�

uuuur uuuur uuuur

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,16 MB