+ Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.. + Tính vectơ AB ⇒ Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB.. 2 Bài toán viết phương trình đường thẳng... 3 Bài toán tìm hình chiếu của một đi
Trang 1CÁC DẠNG BÀI TẬP HÌNH Oxyz
Biên so ạn: Huỳnh Văn Lượng
Download t ại website: www.huynhvanluong.com Hotphone: 01234.444.305-0933.444.305-0918.859.305
0963.105.305-0929.105.305 -0996.113.305 –(0276).6513.305
-
I Các dạng toán về mặt cầu:
1) Bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu
- Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: 2 2 2 2
) ( ) ( ) (x−a + y−b + z−c =R
- Phương trình mặt cầu dạng:x2 +y2 +z2 − 2ax− 2by− 2cz+d = 0
có tâm I(a; b; c) và bán kính R = a2 +b2 +c2−d
(với a2 +b2 +c2 −d> 0)
2) Bài toán Viết phương trình mặt cầu
- Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
⇒ R = IM1 = (x a)2 (y b)2 (z c)2
- Phương trình mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(xA xB
2
+
;yA yB 2
+
;zA zB 2
+
) + Bán kính R = IA
- Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + = 0
⇒ = ( ( )α )= + + +
2 2 2
R d I
- Phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
Giả sử (S) có dạng:x2+ y2 +z2 − 2ax− 2by− 2cz+d = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số a; b; c; d
3) Bài toán xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của (S)
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
Bước 3: So sánh và kết luận
+ d(I,(P)) > R ⇒ mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung
+ d(I,(P)) = R ⇒ (P) và (S) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm M (M là hình chiếu của I lên (P))
+ d(I,(P)) < R ⇒ (P) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r= R2−d2
và tâm H của là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
II Các dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng:
1) Bài toán viết phương trình mặt phẳng
Tìm điểm m ặt phẳng đi qua M x y x( 0 ; ; 0 0) và vect ơ pháp tuyến n A B C( ; ; ), r ồi áp dụng công
th ứcA x x( − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0)= 0
- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C (ha mp(ABC))
+ Tính AB = ? ; AC = ?
+ VTPT của (ABC) là n = [AB, AC]
=> Viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n
Trang 2
- Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’:
+ Nếu d//d’ thì VTPT n = [u , AB] d
với A∈ d; B ∈ d’ (A và B lần lượt là điểm đi qua của d và d’) + Nếu d cắt d’ thì n = [u , u ] d d '
- Mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d thì VTPT n = [u , AB] d
với B là điểm đi qua của d
- Mặt phẳng (α) đi qua A và song song(β) thì VTPT nα= nβ
- Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d thì VTPT nα= u d
- Mặt phẳng (α) có hai vectơ chỉ phương a, b
thì nα= [a, b]
- Mặt phẳng (α) đi qua điểm A chứa đường thẳng d thì nα= [u , AB] d
(với B là điểm đi qua của d)
- Mặt phẳng (α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời song song đường thẳng d thì thì nα= [u , AB] d
- Mặt phẳng (α) vuông góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q) thì VTPT nα= [n , n ] P Q
- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
+ Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB
+ Tính vectơ AB
⇒ Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB
- Mặt phẳng (α) song song đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (β) thì nα= [n , u ]β d
- Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và ⊥(β)
+ Tìm điểm M trên đường thẳng d
+ VTPT của (α) là nα= [u , n ] d β
- Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/)
+ Tìm điểm M trên đường thẳng d
+ VTPT của (α) là n P = [u , u ] d d/
=> Viết phương trình mặt phẳng qua M và có VTPT n P = [u , u ] d d/
- Mặt phẳng (α) // Ax+By + Cz +D = 0 và tiếp xúc (S)
+ Dạng: Ax+By+ Cz + D'=0,
+ d(I,(α)) = R tìm D’
- Mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mp Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời bằng 0)
- Mặt phẳng tiếp diện (α) của (S) tại M0 nhận IM0→ làm VTPT
2) Bài toán viết phương trình đường thẳng
Tìm điểm đường th ẳng đi qua M x y x( 0 ; ; 0 0) và VTCP u=(a b c; ; ), r ồi áp dụng công thức :
PT tham s ố:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
(t∈R )
PT chính t ắc:
c
z z b
y y a
x
=
−
=
−
( a.b.c ≠ ) 0
- Đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP AB
- Đường thẳng ∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP u D
- Đường thẳng ∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là nα
Trang 3
- Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì
+ VCTP của ∆ là u = [n , n ]α β
+ Cho một ẩn = 0 giải hệ 2 ẩn còn lại tìm điểm M?
=> ∆ đi qua M có VTCP là u = [n , n ]α β
u = [n , n ]α β
- Cách viết phương trình đường cao AH của ∆ABC
+ Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC]
= ?
+ Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u = [BC, n]
= ? => Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u = [BC, n]
3) Bài toán tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng
a) Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm M trên một mặt phẳng (α)
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (α)
- Gọi H là hình chiếu của M trên (α) ⇒H =d∩ (α)
b) Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm M trên 1 đường thẳng d
Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với d
- Gọi H là hình chiếu của M trên d ⇒H =d∩ (α)
Cách 2:
- Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số
- Gọi I là một điểm bất kì thuộc d ⇒ tọa độ điểm I theo tham số t
- I là hình chiếu của M trên d ⇔ MI ⊥d ⇔MI.u d =0⇒ t⇒ Tọa độ I
4) Bài toán tìm tọa độ điểm A / đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
- Tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng hoặc mp
- H là trung điểm của AA’ nên tọa độ điểm A/ thỏa:
x 2xH x /
A
y 2yH y /
A
z 2zH z /
A
5) Bài toán xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
* Đường thẳng d đi qua M và có VTCP u0 , d’ đi qua M0' và có VTCP u', ta có:
0 0
Mode 6 : det(u, u ', M M )=0
+ Lập tỉ số:
'
0 0
'
0 0
'
0 0 '
0 0
u // '
M M u
M M
u '
cheo ' Mode 6 : det(u, u ', M M ) 0 cat ' Mode 6 : det(u, u ', M M ) 0
∆ ∆ ⇔ ≠
=
∆ ≡ ∆ ⇔ =
≠
+ d d⊥ ' ⇔a a b b c b ' ' ' 0 + + =
6) Bài toán xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai m ặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + = và 0 ( )α' : 'A x B y C z D+ ' + ' + ' 0= , ta có:
A B C D
A B C D
Trang 4o ( ) ( )α / / α' ⇔ = = ≠
A B C D
A B C D
o ( )α c ắt ( )α'
B ≠ C hoặc
A ≠C (t ức là ngoài 2 t/h trên)
o ( ) ( )α ⊥ α' ⇔AA BB CC' + ' + ' 0 =
7) Bài toán xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
* Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
+ 1 giao điểm: d cắt (P)
+ 0 giao điểm (phương trình vô nghiệm dạng 0t=C với C≠0): d // (P)
+ Vô số giao điểm: (phương trình vô nghiệm dạng 0t=0): d ⊂ (P)
* Đường th ẳng d qua M và có VTCP u=(a b c; ; ), m ặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n A B C( ; ; ),
+ d ⊥( )P ⇔ a = b = c
A B C .
+ d //( )P ⇔a A b B c C + + =0 (M (P))∉
+ d ⊂( )P ⇔a A b B c C + + =0 (M (P))∈
8) Bài toán khoảng cách
- Cho ( )α :Ax By Cz D+ + + = 0 ⇒ ( ( )α )= + + +
2 2 2
d M
A B C
- Cho ( )α :Ax By Cz D+ + + = , 0 ( )β :Ax By Cz D+ + + ' 0=
⇒ ( ( )α β )= −
2 2 2
'
d
A B C
- Đường thẳng d đi qua M và có VTCP u0 , d’ đi qua M0' và có VTCP u', ta có:
MM ,u d(M, ∆)=
u
, u, u' M M' o o
d(∆, ∆') =
u, u'
9) Bài toán góc
- Góc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0
⇒ n n1 2
cos =
n n1 2 ϕ
= 1 2A B B1 2 C C1 2
A1 B1 C A1 2 B2 C2
((mp(Q),mp(P))
- Góc giữa đường thẳng (D):
x x0 at
y y0 bt
z z0 ct
và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0
⇒ SinΨ = n uP D
nP uD
=
2 2 2 2 2 2
Α + + + + + + với ϕ = ((D), mp(P))
- Góc giữa hai đường thẳng (D1) :
1 1 1
x x0 a t
y y0 b t
z z0 c t
Và (D2):
/ /
0 2 / /
0 2 / /
0 2
z z c t
⇒ cos = u u1 2
u u1 2 ϕ
= a a1 2 b b1 2 c c1 2
a1 b1 c a1 2 b2 c2
với ((D ), (D ))
ϕ =