NW359 360 DẠNG 08 TƯƠNG GIAO hàm số GV 2

DẠNG TOÁN 08: TƯƠNG GIAO HÀM SỐ... CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Giao điểm của đồ thị hàm số yf x với trục tung và trục hoành..  Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số...  Tìm m để hai

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 - Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

Phương pháp chung:

Cho 2 hàm số yf x y g x ,    có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x  g x 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

2 - Tương giao của đồ thị hàm bậc 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x m  ,  0

(phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng mf x 

+) Lập BBT cho hàm số yf x 

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x m  ,  0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x là 1 nghiệm của phương trình 0

+) Phân tích:

 

0 0

0

x x

g x







 (là g x   0

là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m )

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x   0

3 - Tương giao của hàm số phân thức

Phương pháp

Cho hàm số y ax b C

cx d





 và đường thẳng d y: px q Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

 ,  0

ax b

px q F x m

cx d



 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m)

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt   1 có 2 nghiệm phân biệt khác

d c



2 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)   1 có 2 nghiệm phân biệt

1, 2

x x và thỏa mãn : d x1 x2

c

DẠNG TOÁN 08: TƯƠNG GIAO HÀM SỐ

3 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C)   1

có 2 nghiệm phân biệt

1, 2

x x và thỏa mãn 1 2

d

x x

c

  

4 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C)   1 có 2 nghiệm phân biệt x x và 1, 2

thỏa mãn 1 2

d

c

  

5 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

+) Đoạn thẳng AB k

+) Tam giác ABC vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích S0

* Quy tắc:

+) Tìm điều kiện tồn tại A, B  (1) có 2 nghiệm phân biệt

+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)

+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ đó suy ra m

*) Chú ý: Công thức khoảng cách:

B

A x y B x y AB x  x  y  y

+)

 

;

,

Ax By C

M x y

d M







4 - Tương giao của hàm số bậc 4

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4bx2 c 0 (1)

1 Nhẩm nghiệm:

- Nhẩm nghiệm: Giả sử x x là một nghiệm của phương trình.0

- Khi đó ta phân tích:

 

0

0

0

g x









- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 g x   0

2 Ẩn phụ - tam thức bậc 2:

- Đặt t x 2,t0 Phương trình: at2bt c 0 (2)

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t t thỏa mãn: 1, 2

0 0

t t





 



- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t t thỏa mãn: 1, 2

0 0

t t

 





- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t t thỏa mãn: 1, 2 0 t 1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t t thỏa mãn: 1, 2 0 t 1t2

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Giao điểm của đồ thị hàm số yf x( ) với trục tung và trục hoành

 Giao điểm của đồ thị hàm số yf x( )và y g x ( )

 Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số

 Tìm m để hai đồ thị cắt nhau thỏa mãn điều kiện cho trước

 …

BÀI TẬP MẪU

bằng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Cho x  thay vào biểu thức hàm số tìm tung độ 0 y

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y2

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Đồ thị hàm số y x 4 3x2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng1

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

Câu 2 Đồ thị hàm số

1

y x

 



 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

Câu 3 Đồ thị hàm số

3

x y x





 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

Câu 4 Đồ thị hàm số y e 2 x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải Chọn A

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y e 0 1

Câu 5 Đồ thị hàm số ycosx cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A.2







Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

2

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

Câu 7 Đồ thị hàm số y x24 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y2

Câu 8 Đồ thị hàm số y sin2 x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4

Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y2

Câu 9 Đồ thị hàm số yx2 x 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

Câu 10 Đồ thị hàm số y x 4 x2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn x 0 y1

 Mức độ 2

Câu 1 Số giao điểm của đồ thị hàm số y2x4 3x2 với trục hoành là

Lời giải

Chọn C

Giao điểm của đồ thị hàm số y2x4  3x2 với trục hoành thỏa mãn

2

x  x   x x    x x

Câu 2 Số giao điểm của đồ thị hàm số

4

x

y x 

với trục hoành là

Lời giải:

Chọn B

4

0

x

x

2

2

1 3

x x

 

 



Vậy phương trình có 2 nghiệm nên đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm

Câu 3 Số giao điểm của đồ thị hàm số yx 2 x21

với trục hoành là

Lời giải Chọn A

x 2 x21  0 x2

Vậy có 1 giao điểm

Câu 4 Số giao điểm của đồ thị ( ) :C y x 3 3x22x và đường thẳng 1 y 1 là

Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x22x  1 1 x3 3x22x0

0 1 2

x x x









 

 Vậy có ba giao điểm A0;1 , B1;1 , C2;1 

Câu 5 Tìm giao điểm của đồ thị ( ) :C y x 42x2 3 và trục hoành?

A A0; 3 , 1;0  B  BA1;0 ,  B1;1 C A1;1 , 1;0 B  D A1;0 , 1;0 B 

Lời giải.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

1

3





x

x

Vậy có hai giao điểm: A1;0 , 1;0  B 

Câu 6 Hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C :

x y x





 và đường thẳng d y x:  2.

A

3

2

x x

1

2

x x

C

1 2;

2

x x

3

2

x x

Lời giải Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

x x x



 

Điều kiện:

1 2

x 

Khi đó (1)  2x 1 2x1 x2 2

2x x 3 0



3 2 1

x x













Câu 7 Cho hàm số y2x3 3x2 có đồ thị 1 ( )C và đường thẳng d : y x 1 Số giao điểm của ( )C

và d là

Lời giải.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm

   

1

1 17

4

1 17 4

x

x



 



















Vậy số giao điểm là 3

Câu 8 Giao điểm giữa đồ thị

( ) :

1

C y

x



 và đường thẳng  d :y x 1

là

A A  1;0

B A3;0

C A1;0

D A  3;0

Lời giải.

Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm

1

x

Vậy chọn 1; 0

Câu 9 Cho hàm số y x 4 4x2 2 có đồ thị ( )C và đồ thị ( )P : y 1 x2 Số giao điểm của ( )P và

đồ thị ( )C là

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

3 21

0 2

x



 Vậy số giao điểm là 2

Câu 10 Tọa độ giao điểm giữa đồ thị

( ) :

2

x

C y

x





 và đường thẳng d y x:   2 là

A A1; 3 , 3;1   B  B A1;3 , 3;1  B 

C A1; 3 , 3;1   B  D A1; 3 , 3;1   B 

Lời giải:

Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm

2

2

x x

x

  





      

Vậy chọn A1; 3 , 3;1   B 

 Mức độ 3

Câu 1 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN với M N, là giao điểm của đường thẳng d :

1

y x  và đồ thị hàm số ( )C :

1

x y x





 là

A I   1; 2 

B I  1; 2 

C.I1; 2 

D I1; 2  

Lời giải:

Chọn C

Lập phương trình hoành độ giao điểm 2 2 1 3 4 1; 2 

1

x

x

  





  

Vậy chọn I1; 2 

Câu 2 Đồ thị hàm số y x 3 3x2 cắt đường thẳng 1 y m tại ba điểm phân biệt thì tất cả các giá trị

tham số m thỏa mãn là

A m 1 B   3 m 1 C  3 m1 D m  3.

Lời giải Chọn C

Lập phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 1 m

Ta có: y' 3 x2 6x ; y' 0  x 0 x2.

Bảng biến thiên:

Do đó, đồ thị cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt khi 3 m 1

Vậy chọn 3 m 1

Câu 3 Đường thẳng y m không cắt đồ thị hàm số y2x44x22 thì tất cả các giá trị tham số

m là

Lời giải Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm: 2x44x2 2 m

Ta có: y'8x38x ; y' 0  x 0 x 1 x1.

Bảng biến thiên:

Do đó, đường thẳng y m không cắt đồ thị hàm số khi m  4

Vậy chọn m  4

Câu 4 Cho hàm số y(x 2)x2mx m 2 3

Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

A 2 m 1. B

1

m m

  







1

m m

  









Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm:    2 2 

x x mx m  

 2 2

2

3 0 (2)

x









Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  Phương trình 1 

có ba nghiệm phân biệt  Phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 2

0

4 2m m 3 0

 





2

2

m





1

m m

  







 Vậy chọn

1

m m

  







Câu 5 Tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4 2x2 m 3 0 có bốn nghiệm phân biệt là

A 2m3. B 2 m 3. C m 2. D m 2.

Lời giải:

Chọn A

x  x  m

Ta khảo sát hàm số  C :y x 4 2x2 ta tìm được 3 y CT 2,y CD  3

Yêu cầu bài toán  2m Vậy chọn 23 m 3

Câu 6 Tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4 2x2 m 3 0 có hai nghiệm phân biệt là

C m  hoặc3 m 2 D m 3 hoặc m 2

Lời giải:

Chọn C

Phương pháp tự luận:

Tương tự ta khảo sát hàm số  C :y x 4 2x2 ta tìm được 3 y CT 2,y CD  3

Yêu cầu bài toán  m 2 m Vậy chọn 3 m 2 m 3

Phương pháp trắc nghiệm:

+Với m 3, ta giải phương trình x4  2x2  0 x 0 x 2 x 2 loại B, D

+Với m 2, ta giải phương trình x4  2x2   1 0 x 1 x 1 loại A

Câu 7 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  C y: 2x33x22m cắt trục hoành tại1

ba điểm phân biệt là

A

C

1

2

m

D

1

2

m

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục Ox: 2x33x22m1 0 Ta khảo sát hàm số  C' :y2x3 3x2 và cũng chỉ là tìm 1 y CD,y Cụ thể CT y CD 1,y CT  Do đó yêu0 cầu bài toán

1

2

Vậy chọn

1 0

2

m

Phương pháp trắc nghiệm:

+ Với m 0, ta có phương trình

1

1

x

x













  loại B, D

+ Với m 0.1, ta có phương trình 2x33x2 0.8 0 có 3 nghiệm  loại A

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 4 m có nghiệm duy nhất0

lớn hơn 2 Biết rằng đồ thị của hàm số y x33x2 4 là hình bên

x y

Lời giải:

Chọn C

Ta có x3 3x2 4 m0 *   Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị hàm số ( )C :yx33x2 4 và đường thẳng d : y m Số giao điểm của ( )C và d là

số nghiệm của (*) Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán  m   Vậy chọn 4 m   4

Câu 9 Tất cả giá trị của thm số m để phương trình x3 3x m  1 0 có ba nghiệm phân biệt, trong

đó có hai nghiệm dương là

A 1 m1. B 1 m1. C 1 m3. D  1 m1.

.Lời giải:

Chọn D

Phương pháp tự luận:

Ta có đồ thị của hàm số y x 3 3x như hình bên.1

1

-1

Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là 1 m3. Với x 0 y1 nên yêu cầu bài toán   1 m Vậy chọn 11  m1.

Phương pháp trắc nghiệm: Xét m  , ta được phương trình 1

3

x

x





   



 không đủ hai nghiệm dương  loại A, B, C Vậy chọn 1 m1.

Câu 10 Cho hàm số y2x33x2 có đồ thị  1 C như hình vẽ Dùng đồ thị   C suy ra tất cả giá trị

tham số m để phương trình 2x3 3x22m  0 1 có ba nghiệm phân biệt là

A

1 0

2

m

 

Lời giải:

Chọn A

Phương trình  1  3 2

2x 3x 1 2m 1

     là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C

và d y: 2m1 (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox ).

Phương trình có ba nghiệm phân biệt   C cắt d tại ba điểm phân biệt  1 2  m  1 0

1 0

2

m

 

Vậy chọn

1 0

2

m

 

 Mức độ 4

Câu 1 Cho hàm số

1

x y x





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y2x 3 Đường thằng d cắt ( )C

tại hai điểmA và B Khoảng cách giữaA và B là

A

2 5

AB 

B

5 2

AB 

C

2 5 5

AB 

D

5 5 2

AB 

Lời giải

Chọn D

Phương pháp tự luận

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d

2

2 1 (2;1)

x x

x

   











Ta có

5

; 5 2

AB    

Suy ra

5 5 2

AB 

Vậy chọn

5 5 2

AB 

Phương pháp trắc nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm:

1

x

x



2

2

-1

O

Dùng lệnh CALC của máy tính, ta tìm được hai nghiệm của phương trình lần lượt là x  và2

1 2

x 

Suy ra A(2;1) và

1

; 4 2

B   

  Dùng máy tính thu được

5 5 2

AB 

Vậy chọn

5 5 2

AB 

Câu 2 Tất cả giá trị tham số m để đồ thị   C y x:  4 cắt đồ thị  P y: 3m4x2 m2 tại bốn điểm

phân biệt là

A  ; 4  5;0 0; 

4

B m  1;00; 

C.  4;0 0; 

5

D m\ 0  

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và  P là:

x  m x  m  x4 3m4x2m2 (1)0

 C cắt  P tại bốn điểm phân biệt  Phương trình  1 có bốn nghiệm phân biệt



0 0 0

P S

 









 

2

2

0

m m









 

4 4

5 0

4 3

m m

     











  

4 5 0

m m



 





 

Vậy chọn

4 5 0

m m



 





 

Câu 3 Cho hàm số y x 3 3x2 có đồ thị4  C Gọi d là đường thẳng qua I1; 2

với hệ số góc k Tập tất cả các giá trị của k để d cắt  C

tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là

Lời giải Chọn D

Phương trình d y k x:   1 2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d :

x  x  kx k   x3 3x2 kx k  2 0  1

( )

1

g x

x









     

d cắt  C tại ba điểm phân biệt  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x khác 1; 2 1

 

3

k k

g



  



Hơn nữa theo Viet ta có  

2 2

I

I





Vậy chọn k   , hay 3 3; 

C m:y x 3 3m1x22m24m1x 4m m 1

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

có hoành độ lớn hơn 1?

A.

1

1

1 2

m 

C.

1 2

m 

D m 1.

.Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và trục Ox :

x  m x  m  m x m m 

x 2 x2 3m 1x 2m2 2m 0

2 0

x

 



 



2 2 1

x

x m









  



Yêu cầu bài toán

1

1

1

2

m m











Vậy chọn

1

1

2 m

Câu 5 Cho hàm số

1

x y x





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y x m  Giá trị của tham số m để

d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB  10 là

A m 0 hoặc m 6. B m 0.

Lời giải:

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d

2

1

x x

x m





   





Khi đó d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A,B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt khác 1

2

2

( 1) 4( 1) 0

1 5 (*)



 Khi đó ta lại có

2

A x x m B x x m  AB x  x x  x  AB x  x  x  x

,

và

1 2

1 1

x x m

  





 

 Từ đây ta có

2

AB  x  x   x x  x x 

6

m

m





 (thỏa (*)) Vậy chọn m 0 m 6

Câu 6 Cho hàm số y x 3 3x2 m có đồ thị 1 ( )C Giá trị của tham số m để đồ thị ( )C cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

Lời giải:

Chọn C

Đồ thị ( )C cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình

x  x  m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng

Suy ra đường thẳng y m đi qua điểm uốn của đồ thị y x 3 3x2 (do đồ thị 1 ( )C nhận điểm uốn làm tâm đối xứng) Mà điểm uốn của y x 3 3x2 là 1 I(1; 3) Suy ra m  Vậy3

chọn m  3

Câu 7 Cho hàm số y x 4 2m1x22m có đồ thị ( )C Tất cả các giá trị của tham số m để đường

thẳng d : y 2 cắt đồ thị ( )C tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 là

A

3 2

m 

B

11

2

m

C

3 2

m m









  

3

11 1

2

m m









  



Lời giải:

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và đường thẳng d :

2

2

1

2 2 (1)

x



Đường thẳng d cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3

3

1

2

m m

m

m







 

 Vậy chọn

3 2 11 1

2

m m









  

Câu 8 Cho hàm số: y x 32mx23(m1)x có đồ thị 2 ( )C Đường thẳng d y: x2 cắt đồ thị

( )C tại ba điểm phân biệt A0; 2 ,   B và C Với M(3;1), giá trị của tham số m để tam giác MBC có diện tích bằng 2 7 là