NW359 360 DẠNG 04 cực TRỊ của hàm số GV

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm y x , đạt cực trị tại x0 nhưng không có đạo hàm tại đó.. DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA

Trang 1

Định lí 1 (Điều kiện cần ) Nếuhàm số f x 

đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số f có đạo hàm tại điểm

0

x , thì f x' 0 0

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm

y x , đạt cực trị tại x0 nhưng không có đạo hàm tại đó.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M x y 0; CT

Nếu đạo hàm của hàm số y f x  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M x y 0; C�

DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 2

Chú ý: Không cần xét có hay không đạo hàm tại x0.

Từ đây, ta có phương pháp cực trị của hàm số

 Tính đạo hàm y , tìm những điểm tại đó ' y'0 hoặc '

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

 Hàm số có cực trị � có cực đại � có cực tiểu � có cả cực đại và cực tiểu � có hai cực trị �phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt �   0

 Hàm số không có cực trị � phương trình y' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép �  �0.

Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cựctrị như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y ax 3bx2 cx d cho y�3ax22bx c được thương là

y y q x r x

 d y r x   mx n

Trang 3

Giả sử M x y 1; 1, N x y 2; 2 trong đó x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình y' 0 nên

là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

4 Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

.2

 B C, đối xứng nhau qua trục Oy , điểm A nằm trên trục Oy Do đó tam giác ABC cân tại A

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về cực trị của hàm số

 Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức

 Tìm cực trị khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số

 Bài toán cực trị chứa tham số

 Cực trị của hàm chứa dấu GTTĐ

 Cực trị của hàm hợp

 …

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021)Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A x 3. B. x1. C x2. D. x  2

Trang 4

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm cực trị khi biết bảng biến thiên của hàm số

2 HƯỚNG GIẢI:

+) Nếu f x'    �0, x a x; 0và f x'    �0, x x b0;  thì hàm số f x 

đạt cực tiểu tại điểm x0.+) Nếu f x'    �0, x a x; 0và f x'    �0, x x b0;  thì hàm số f x 

đạt cực đại tại điểm x0

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên � và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Vì f x 

xác định tại x và 0 f x� 

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0

Câu 2 Hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 1; 1 . B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1  .

C Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1;3. D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là  1;1 .

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1  và điểm cực đại là 1;3.

 

Trang 5

Khi đó số điểm cực trị của hàm số y f x  là

Lời giải Chọn A

Do hàm số xác định trên � và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x ; 1 x ; 2 x nên hàm số3

 

y f x có ba điểm cực trị.

Câu 4 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên.

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y f x  là

A 1; 4  B x0 C  1; 4 D 0; 3 

Câu 5 Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đạo hàm là     2 

f x� x x x Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Cực tiểu của hàm số bằng 12 B Cực tiểu của hàm số bằng 2

C Cực đại của hàm số bằng 12 D Cực đại của hàm số bằng 2

Trang 6

TXĐ: D �\ 0  .

2

162

x

� 

; y�0� x2.Bảng biến thiên của hàm số

2 16

y x

x

Vậy cực tiểu của hàm số bằng 12

Câu 8 Gọi x là điểm cực đại, 1 x là điểm cực tiểu của hàm số 2 y x   Tính 3 3x 2 x12x2.

x x



�

� � � .Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, điểm cực đại là x1  và điểm cực đại là 1 x2  nên 1 x12x2  1

Câu 9 Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A y x 4 B y   x3 x C

2

x y x





 . D y x 2 .

Lời giải Chọn C

Hàm số

2

x y x





Tập xác định: D   �; 2 �  2; �.

Các hàm số khác dễ dàng chứng minh được y�có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm Riêng

hàm số cuối y� không xác định tại 2 nhưng hàm số xác định trên � và y� đổi dấu qua 2

do đó có hàm số có điểm cực trị x  2

Trang 7

Câu 10 Hàm số y f x  có đạo hàm f x�   x 1 x2  x2019, x �� Hàm số y f x 

có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A 1009 B 2019 C 2020 D. 1010

Ta có:

12

1 2 2019 0

2019

x x

đổi dấu khi x qua 1, 3, 4 nên hàm số y f x  có 3 điểm cực trị.

Câu 3 Cho hàm số y f x  xác định trên � và có đồ thị hàm số y f x�  là đường cong ở

Trang 8

hình bên Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Dựa vào đồ thị y f x�  ta thấy phương trình f x�  0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f x� 

chỉ đổi dấu 3 lần

Vậy hàm số y f x  có 3 điểm cực trị.

Câu 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên �, đồ thị của đạo hàm f x� 

như hình vẽ sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f đạt cực tiểu tại x 0 B. f đạt cực tiểu tại x  2

C. f đạt cực đại tại x  2 D.Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại

Trang 9

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  2

Câu 5 Biết rằng đồ thị hàm số y x 3 3x2 có dạng như hình vẽ:

Nên ta lấy phần đối xứng của đồ thị hàm số y x 3 3x2 khi x  3

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị hình bên Hàm số y f x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 10

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị nằm trên phải trục Oy qua Oy ta được đồ thị hàm y f x 

Vậy hàm số y f x 

Suy ra đường thẳng AB có phương trình 8x y  4 0.

Thay N1;12 vào phương trình AB ta có 8.1 12 4 0.   Vậy N thuộc AB

Câu 8 Số điểm cực trị của hàm số y x  2x2 là1

Trang 11

� phương trình   có 2 nghiệm phân biệt x�0 �m0.

 Mức độ 3

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên �có đạo hàm f x� 

liên tục trên �và có bảng xét dấunhư hình vẽ bên

Trang 12

Hỏi hàm số y f x 22 x

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số y f x  là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x� 

như sau

Số điểm cực trị của hàm số g x   f x 2 x

Ta có    2   2 

g x  f x  x  f x  x

Số điểm cực trị của hàm số f x 

bằng hai lần sốđiểm cực trị dương của hàm số f x 

2

1 51

Trang 13

2 2

có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi g x� 

đổi dấu 5 lầnHay phương trình  1

00

5 0

h p

m m

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

Câu 4 Cho hàm số y f x  xác định trên tập số thực � và có đạo hàm

Trang 14

A 6 B. 4 C 5 D. 7

A. 2019 B 2020 C. 2018 D 2021

Trường hợp 1: m0 � y 1 nên hàm số không có cực trị.

0



� m (loại).

Trường hợp 2: m� �0 m2 0

Trang 15

Do ��m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề

Câu 7 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x�  x x2 1 x22mx5

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị?

00

g

g g

m

m b

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 32x2m3 x m có hai điểm

cực trị và điểm M9; 5  nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

A m  10 B m 10 C m 2 D m 3

Ta có y�3x24x m 3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y�0 có hai nghiệm phân biệt � � 0 13 *

m (thỏa mãn điều kiện  * ).

Câu 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 42mx21 có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Trang 16

A m1. B m 1. C 3

19

m 

19

m

m 

� ( vì m0)

Vậy với m 1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Câu 10 Cho hàm số y x 42mx22m2m4 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C

thỏa mãn ABCD là hình thoi với D0; 3  Số m thuộc khoảng nào sau đây?

A

9

;25

��

11;

Gọi I trung điểm của BC �I0;m43m2

Vì A D Oy, � , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi � I là trung điểm của AD

2

0 2

Trang 17

Câu 1 Cho hàm số y f x , hàm số y f x�  có đồ thị như hình bên Hàm số

25sin 1 (5sin 1)

Ta có: ( ) 5cos 5sin 1 5cos 5sin 1

Trang 18

x x

( 1;0)0

Trang 19

có đúng 5 điểm cực trịlà

Trang 20

có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT  2

có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

Trang 22

h x  f x g x  

.Bảng biến thiên của hàm số y h x   là:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y k x    f x g x  là:

Do đó, hàm số y k x   cũng có ba điểm cực trị.m

Vì số điểm cực trị hàm số y k x m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y k x   m

và số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình  k x  m 0, mà hàm số y k x  m

cũng có ba điểm cực trị nên hàm số y f x  g x  m có đúng năm điểm cực trị khi

phương trình  k x  m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y k x   , phương trình  k x  m 0 có đúng hai nghiệmđơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi

74

m�

và m�5;5 nên m�  4; 3; 2 .

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 8 m2x5m24x41

đạt cực tiểu tại x0

Ta có y x 8 m2x5m24x4 1 � y�8x7 5m2x44m24x3

.0

g x  x  m x m 

có g x�  32x35m2 .

Trang 23

Ta thấy g x�  0 có một nghiệm nên g x  0 có tối đa hai nghiệm

+ TH1: Nếu g x  0 có nghiệm x 0 �m2 hoặc m 2

Với m thì 2 x là nghiệm bội 4 của 0 g x 

Khi đó x là nghiệm bội 7 của 0 y� và y�

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x nên 0 x là điểm cực tiểu của hàm số Vậy02

Dựa vào BBT x không là điểm cực tiểu của hàm số Vậy 0 m  không thỏa ycbt.2

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 6 Cho hàm sốy f x  liên tục và xác định trên �và có đồ thị như hình vẽ Số giá trị nguyên của

Trang 24

có đúng 1 nghiệm đơn

2 2 35 0 không có nghiệm phân biệt

Suy ra cĩ 6 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Câu 7 Cho hàm số f x  cĩ đạo hàm trên � thỏa mãn f x h   f x h   �h2

với mọi x��,0

A 100 B 50 C 108 D 58

đổi dấu từ âm sang dương khiqua x0 nên thỏa mãn yêu cầu.

+ Nếu m 5 thì g x�  2019x201834x33x332019x198534

đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 nên thỏa mãn yêu cầu.

Trang 25

Vậy S     5; 4; 3;3;4;5 Do đó tổng bình phương các phần tử của S bằng 100.

Câu 8 Cho hàm số f x  x22m x m  5 m3m21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m thuộc đoạn 20; 20 để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

Yêu cầu bài toán� f x'  có đúng một điểm qua đó đổi dấu  *

Nhận xét: 2x2m0� x m (thỏa mãn x m� 5) Do đó x m là một điểm cực trị củahàm số

Do đó:  * �  2 vô nghiệm và y' không đổi dấu khi đi qua x m 5

Vậy có 23 số nguyên m thỏa mãn

Câu 9 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên � và f  0 0; f  4 4 Biết hàm y f x� 

có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số    2

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,93 MB