chuyen de tinh don dieu, CUC TRỊ cua ham so(gv)

HÀM SỐĐiểm cực đại của f Giá trị cực đại cực đại của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu cực tiểu của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f Điểm cực trị

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

x y x

x y x



12

HÀM SỐ

Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)

I Cơ sở lý thuyết

1 Cho hàm số yf x( ) xác định và có đạo hàm trên D

* Hàm số đồng biến trên ( , )a b D khi f x'( ) 0,  x ( , )a b

* Hàm số nghịch biến trên ( , )a b D khi f x'( ) 0,  x ( , )a b

m  thì yêu cầu bài toán được thỏa

Cho hàm số y x m x 2(  ) mx6 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Cho hàm số y x 3 mx23x1 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Vậy: Với 1m3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số 1 3 1(sin cos ) 2 3 sin 2

Vậy: Với  6m 6 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y mx 3 (2m1)x2(m 2)x 2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

* m 1 y' 4 x 3 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

* m 1 y' 3 0   m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m21 0  m1

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y  x

2 2 '

+ m 0 y' 6 0   m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m 5 y'60x 6 m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m 0

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi ' 0,y   x 1

10

Vẽ bảng biến thiên ta có m(min ( ) ,0)g x g( 1) 3

Kết luận: Với m 3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số yx33x2mx 2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng

Vẽ bảng biến thiên ta có mmax ( ) 0(0,2)g x 

Vậy: m 0 thì điều kiện bài toán được thỏa

Vậy điều kiện (*) được thỏa khi 12

Tam thức g(x) có biệt thức  ' 2(m 2)2 Ta xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1:   0 m 2 y' 0,   x 1 hàm số đồng biến trên (0;)

Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán

+ Trường hợp 2:  0 m2

Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2

Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình

Mặt khác: (1) 2f  nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

b Điều kiện x 1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình

Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình sau 5x3132x1 4  x (1)

Mặt khác: f(3) = 0 nên t 3 x343 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình log5xlog (7 x2)

 f(t) là hàm nghịch biến trên R  phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R

Mặt khác: (1) 0f  nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình

Giải bất phương trình 2x33x26x16 2 3  4 x

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là 2 x 4

Bất phương trình được viết lại thành 2x33x26x16 4 x2 3 (2)

Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên

Điều kiện xác định của phương trình là x 2

Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình x 2

Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

So với điều kiện ta có x 0 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình log2 x 1 log3 x9 1

t t



 f(t) đồng biến trên (0;)

Mặt khác: (1) f x( 1) f(3 x) x1 3  x x2

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2x3

Phương trình trở thành : t2 t 182 0  14 t 13 kết hợp điều kiện (t  0)

ta được 0 t 13 (1) 7x 7 7x 6 13 (2); điều kiện 6;

7

x  

Xét hàm ( )f x  7x 7 7x 6

7 x hay6

x x

Điều kiện xác định của hệ phương trình 3 x y, 10

Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình

22

Bất phương trình được thỏa khi

1min ( ) (1)

Điều kiện của phương trình x 0 x1

Với điều kiện trên thì (*) x x(  1) 4 x x( 1) m (**)

c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

0

24

HÀM SỐ

Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm f có đạo hàm tại x Khi đó: nếu f đạt cực trị tại 0 x thì 0 f x  ' 0 0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a) Quy tắc 1

 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi '  x đi qua x thì f đạt cực đại tại 0 x ;0

 Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi '  x đi qua x thì f đạt cực tiểu tại 0 x 0

b) Quy tắc 2:

 

0 0

+∞

3-1

Ta thấy với mọi x 0, dấu của 'y chính là dấu của tam thức bậc hai x2 Nên ta có bảngx

biến thiên của hàm số như sau:

0 -1

-∞

đại tương ứng là y  11; hàm số đạt cực tiểutại x 0, giá trị cực tiểu tương ứng là y 0 0

c d

a b c d

Bài 3 Tìm p, q sao cho hàm số

đạt cực tiểu tại điểm x 2,  2 1

4

y   và đạt cực đại tại điểm x 2,  4 1

4

y  ; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1, y 1 5 và đạt cực đại tạiđiểm x 4, y 4 2 Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại x 2,

4

y   , đạt cực đại tại điểm x 2,  2 1

4

y  ; Error: Reference source not found Hàm

số đạt cực tiểu tại các điểm x2k , y k  2  2 3 và x  2k, y 2k  2 3.Hàm số đạt cực đại tại các điểm 5 2

 Hàm số có cực trị  hàm số có hai cực trị   C có cực trị   C có hai điểm

cực trị  'y có hai nghiệm phân biệt.

  0

2 1313

2 1313

m m

m m

t x x  x   là tam thức bậc hai có  ' m2 Do đó: y có cực đại cực tiểu  'y có

hai nghiệm phân biệt  t x có hai nghiệm phân biệt    ' 0 m 0 (1)Khi đó 'y có các nghiệm là: 1 m  tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

m m

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4 [ĐHB12] Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3mx23m3 có hai điểm cực trị A và B saocho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Vì t x x2 2x 2 có   ' 3 0 nên t x có hai nghiệm phân biệt, suy ra '  y có hai nghiệm

phân biệt Do đó  C có hai điểm cực trị Ta thấy các nghiệm của ' y là x1 1 3x2 1 3 'y đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại, '1 y đổi dấu từ âm sang

dương khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại.1

Thực hiện phép chia y cho t x ta được  

y x t x  x Suy ra:

Nhận xét Trong ví dụ trên thay vì chia y cho 'y , ta thực hiện phép chia y cho t x đơn giản 

hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp Sở dĩ có thể làm được như thế là vì 'y và t x 

dấu tiên tiếp khi x đi qua hai nghiệm này Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu

Thực hiện phép chia y cho t x ta có   ym x t x   2x m 2m Giả sử x là điểm cực trị0

nào đó của hàm số, ta có

y x  m x t x  x  m m x  m m (do t x  ). 0 0Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2

2

y x m m

Nhận xét Trong ví dụ này, ta có thể tính được tọa độ các điểm cực trị một cách dể dàng Do đó,

có thể áp dụng phương trình đường

C Bài tập

Bài 1 Cho y mx 33mx2 m1x1 Tìm m để các hàm số có cực trị và các điểm cực trị

đều âm

Bài 2 Cho y2x3mx2 12x13 C m

1) Chứng tỏ rằng với mọi m, C luôn có các điểm cực đại, cực tiểu Gọi m x , 1 x là hoành độ2

các điểm cực trị của C , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m Sx12x22 x11 x21

2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của C cách đều trục tung m

Bài 3 Cho y x33x23m21x 3m21 C m

1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

2) Tìm m để C có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2 5 m

Bài 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

1) yx33x2 2x1;

2) y2x3 x2 x5;

3) y x 32x210x 3 1

Bài 5 Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi

qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

A  , đạt được  3

2

m  ; 2 m 0 Bài 3 1 m  1 1

m  ; 2 m 1 Bài 4 Error: Reference source not found 2 1

2

2

m  , phương trình đường thẳng đi qua các

điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là 2 2 2 2 2 3 8 2 8 2

Trường hợp 1: ab 0 Khi đó t x vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất   x 0 

 

'

f x có nghiệm duy nhất x 0 và f x đổi dấu đúng một lần khi '  x đi qua 0  f

chỉ có một cực trị

Trường hợp 2: ab 0 Khi đó t x có hai nghiệm phân biệt khác   0  f x có ba' 

nghiệm và f x đổi dấu liên tiếp khi '  x đi qua ba nghiệm này  f ba cực trị.

'

y có 3 nghiệm phân biệt  t x có   2 nghiệm phân biệt khác 0 

02

m m





34

TRỊ CỦA HÀM SỐ

 m m  2 9 0  0 3

3

m m

y m x  mx  chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Giải Ta xét hai trường hợp sau đây:

âm sang dương khi x đi qua nghiệm này 

'

y có 3 nghiệm phân biệt  t x có   2 nghiệm phân biệt khác 0

 m  1 0  m  1

 *Khi đó, ta có

' 0

y  

011

OA BC  m 2 m1  m2 4m 4 0 ( ' 8) m  2 8 (thỏa mãn

 * )

Vậy m  2 8

Ví dụ 4 [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2m1x2 m2 có ba điểm cực trịtạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

' 0

y  

011

Bài 2 Cho hàm số y x 4 – 2mx22m m 4 (m là tham số) Tìm m để

1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông

2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng 2012

đơn vị diện tích

36

TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 3 [DHA04] Cho hàm số y x 4 2m x2 21 Tìm m để hàm số có cực đại và cực

tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của  C lập thành một tam giác vuông cân