Caùch 1: Goïi x laø thôøi gian oâtoâ ñaõ ñi ñeán vò trí caùch ñeàu ngöôøi ñi xe ñaïp vaø ngöôøi ñi xe maùy.. (x tính baèng giôø vaø x > 0)..[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯƠNG TỐN
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN I/
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
-Kiến thức cần nắm vững : - phân tích đa thức thành nhân tử ta các phương pháp sau :
+ Đặt nhân tử chung + Dùng các hằng dẳng thức dáng nhớ + nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới
+ Trong một số trường hợp ta phải biết tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử để có thể áp dụng các phương pháp đã biết
1/ Một số bài toán áp dụng
Bài 1 : Phân tích các đa thức thành nhân tử :
4 2 2 4 3
a) x x y y
b) x 3x 4
3 2
3 2
c) x 3x 2 d) 2x x 4x 12
Giải
a)x4 +x2y2 +y4 = x4 + 2x2y2 +y4 – x2y2
= (x2 +y2 )2 - (xy)2
= (x2 +y2 +xy) (x2 +y2 –xy) b) x3 + 3x -4 = x3- 3x2 + 3x -1 + 3x2 -3
= (x-1)3 + 3( x2 – 1 )
=(x-1)3 + 3 ( x -1 )( x + 1)
= ( x-1) [ ( x -1 ) 2 + 3( x + 1)]
= ( x-1)( x2 + x + 4) c) x3 – 3x2 + 2 = x3 – 3x2 + 3x – 1 – 3x +3
= (x -1 )3 - 3( x -1)
= ( x -1) [( x -1)2 – 3]
= ( x -1) ( x2 -2x -2) d) 2x3 + x2 - 4x -12 = (x2 - 4x + 4 ) (2x3 -16)
= ( x-2 ) 2 + 2( x3 -8)
= ( x-2 ) 2 +2[ ( x-2 ) (x2 - 4x + 4 )]
=( x-2 )[ ( x-2 ) + 2(x2 - 4x + 4 )]
= ( x-2 )(2x2 +5x +6) Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử
2
3 2 2
2 2 2 2 2
a)25x (x y) x y
b)x x y x z xyz
1 c) (x y ) mx y
m
2 2 2 2 2
5 4 2 3 3
2 2 2 2 2
e)16x (z y ) z y g)12x y 24x y 12x y 1
h) (x y ) 2x y 2
giải
2 2
a) 25x (x y) (x y)
=(x y)(25x 1)
=(5x+1)(5x-1)(x y)
2 2
b) x (x y) xz(x y) =(x y)(x xz) =(x y)x x z
Trang 2
2
2 2 2 2 2
1 c) x y m x y
m 1 = x y mxy x y mxy
m e) 16x 1 z y
=(4x-1)(4x+1)(z-y)(z+y)
g) 12x y(x 2xy y ) =12x y(x y)
8
g)x x x 1 x (x 1) (x 1)
(x 1)(x 1)
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 h) x y 2x y 2
1 x y 2x y 2x y 2
1 x y 2
2/ Các bài luyện tập
Bài 1: : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a)x 2x x 2x 2x 1
b) x x 1 x x 2 12
c) x 1 x 3 x 5 x 7 15
d)x x 1 x 2 x 3 1
e) x 4x 8 3x x 4x 8 2x
f) x 6x 1 2x x 2 x 6x 1 x 1
Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
4 4 4
3 2
5 4
a)x 4y
b)x 324
c)15x x 2x
d)x x 1
7 5
5 4 5 7
5
e)a a 1 f)a ab b g)a 1 h)b b 1
II/ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
-Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
1 Một số bài toán áp dụng
Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức :
a) a b2 33 2 ví i a =12 , b = -36
a b
b) x3 3x2 6x ví i x = 98
x 4x
Giải
2 3
3 2
a b a 36
a b b 12
x x 6x x(x x 6) (x 3)(x 2) x 3 98 3 101 b)
x 4x x(x 4) (x 2)(x 2) x 2 98 2 100
Trang 3Bài 2: Rút gọn phân thức
a) y(2x x )22
x(2y y )
x xy
Giải.
a)
2
2
y(2x x )
x(2y y )
=xy(2 x) (2 x)xy(2 x) (2 x)
b)xy23 yx3
x xy
=xy(x2 y ) xy(x y)(x y)2 y(x y)
x(x y) x(x y)
2 Các bài toán luyện tập.
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau
a) (x a)2 22 x2
a 4x 4ax
2x 3xy y
c) 121xy z3 22 3
3
5y(x y) 7y (x y)
e) 20(x24 y )2 24
36(x y )
g)35(x2 y )(x y)22 32
77(x y) (x y)
Bµi 2: Rĩt gän c¸c ph©n thøc:
a) b) c)
a b c b c a c a b
x x y xy y a 3a 1
d) e) f)
x 2xy y a a 2a 1 a b
2 c2b c4 2 a2 c a 4 2 b2
4 3 2
3 2
Bµi 3: H·y chøng minh:
a) x x x x 1 b)
3y 2 3xy 2x 3y 2 a 4a a 4 a 1
c) d)
1 3x x 3x 1 x a 7a 14a 8 a 2
5 4 2 3
4 4
2 2
3 2
2
Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc:
x y z
a) A = Ví i x=1, y=2, z=4; x=5, y=4, z==10
xyz
b) B = Ví i a= 3, x=
x x 6x
c) C = Ví i x = 1995
x x 6
d)
2 2
2 2
Cho 4x y 5xy ví i 2x > y > 0, tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
xy
D =
4x y
Trang 4
Bài 5: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y:
a) b)
2x a x+y ay ax
x +a 1 a a x 1 2ax-2x-3y+3ay
c) d)
4ax+6x+9y+6ay x a 1 a a x 1
5 2
2
Bài 6: Chứng minh rằng vớ i b là số nguyên khác 1 thì phân thức:
b 5b 4
là số nguyên
b 1 2b
n 8 Bài 7: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên
n 8
2 5 4
2 3 5
3
2
Bài 8: Rút gọn phân thức:
x+a x b x c
x y z
a) b)
c) d)
15xy 1 4x
3
2
4 3
4 3 2
y 1
x 1 y 1
e) vớ i x < 0 f)
x x x 1 g) Cho P = Rút gọn P và chứng tỏ rừng
x x 2x x 1
P luôn luôn không âm vớ i mọi giá trị của x
2
n n 1
2 2
Bài 9:
a)Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
6y - y 5
M = y 1
5y y
a - b b)Biết b > a > 0 và 3a b 4ab Tính
a + b c)C
3 3 3
2 2 2
ho a + b + c = 5 Chứng minh rằng:
a + b + c - 3abc 5
a b c ab bc ac
2 2 2
2 4 4 4
3 2
mn +n n - m 1 Bài 10: Cho biểu thức A =
m n 2n m 2 a) Rút gọn A
b) Chứng minh rằng A d ơng Vớ i giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớ n nhất?
x - x c) Cho A =
3 2
- 10x - 8
x - 4x + 5x-20 Rút gọn A Vớ i x nào thì A có giá trị âm ?
Trang 5III/Gi ả i baứi toaựn baống caựch laọp phửụng trỡnh
1 KIEÁN THệÙC Cễ BAÛN
Toựm taột caực bửụực giaỷi baứi toaựn baống caựch laọp phửụng trỡnh
Bửụực 1: Laọp phửụng trỡnh:
- Choùn aồn soỏ vaứ ủaởt bieồu ủieàu kieọn thớch hụùp cho aồn soỏ
- Bieồu dieón caực ủaùi lửụùng chửa bieỏt theo aồn vaứ caực ủaùi lửụùng ủaừ bieỏt
- Laọp phửụng trỡnh bieồu thũ moỏi quan heọ giửừa caực ủaùi lửụùng
Bửụực 2: Giaỷi phửụng trỡnh:
Bửụực 3: (Traỷ lụứi) Kieồm tra xem trong caực nghieọm cuỷa phửụng trỡnh, nghieọm naứo thoaỷ maừn ủieàu kieọn cuỷa aồn, nghieọm naứo khoõng, roài keỏt luaọn
Chuự yự: Khi laứm baứi, ta khoõng caàn noựi roừ laứ ủang thửùc hieọn bửụực naứo
2 MOÄT SOÁ BAỉI TOAÙN AÙP DUẽNG.
Baứi 1 Moọt ngửụứi ủi xe ủaùp, moọt ngửụứi ủi xe maựy vaứ moọt oõtoõ cuứng ủi tửứ ủũa ủieồm A ủeồ ủeỏn ủũa ủũa
ủieồm B Hoù khụỷi haứnh tửứ A, theo thửự tửù noựi treõn luực 6 giụứ, 7 giụg vaứ 8 giụứ Vaọn toỏc trung bỡnh cuỷa hoù theo thửự tửù neõu treõn laứ 10 km/giụứ, 30 km/giụứ vaứ 40 km/giụứ Hoỷi ủeỏn maỏy giụứ thỡ oõtoõ caựch ủeàu ngửụứi ủi xe ủaùp vaứ ngửụứi ủi xe maựy
Giaỷi:
Caựch 1: Goùi x laứ thụứi gian oõtoõ ủaừ ủi ủeỏn vũ trớ caựch ủeàu ngửụứi ủi xe ủaùp vaứ ngửụứi ủi xe maựy (x tớnh baống giụứ vaứ x > 0) Treõn hỡnh caực chửừ C (chổ vũ trớ ngửụứi ủi xe ủaùp), chửừ D (chổ vũ trớ oõtoõ), chửừ E (chổ vũ trớ ngửụứi ủi xe maựy) thoaỷ maừn ủieàu kieọn ủaàu baứi
Ta coự baỷng toựm taột:
Theo đầu bài ta có ph ơng trình:
40x - 10(x + 2) = 30(x+1) - 40x
1 Giải ra tìm đ ợ c x = 1 giờ
4 1
Nh vậy, đến: 8 giờ + 1 giờ = 9 giờ 15 phút thì ôtô cách đề
4 1
10km x 1 giờ = 32,5km
4 Quã ng đ ờng ng ời đi xe đạp đã đi đ ợ c là:
1 10km x 1 giờ = 32,5km
4 Quã ng đ ờng ng ời đi xe máy đã đi đ ợ c là:
1 30km x 2 giờ = 67,5km
4 Quã ng đ ờng ng ời đi xe máy cách ôtô là:
67,5km - 50km = 17,5km
Quã ng đ ờng ng ời đi ôtô cách ng ời đi xe đạp là:
50km - 32,5km = 17,5kmz
Trang 6Nhaọn ủũnh keỏt quaỷ: Ta thaỏy caực keỏt quaỷ tỡm ủửụùc thoaỷ maừn yeõu caàu ủaàu baứi.
Traỷ lụứi: ẹeỏn 9 giụứ 15 phuựt, oõtoõ caựch ủeàu ngửụứi ủi xe ủaùp vaứ ngửụứi ủi xe maựy
Caựch 2: goùi x laứ thụứi gian ngửụứi ủi xe ủaùp ủaừ ủi heỏt ủeỏn vi trớ oõtoõ caựch ủeàu ngửụứi ủi xe maựy vaứ xe ủaùp (x tớnh baống giụứ vaứ x > 0)
Ta coự baỷng toựm taột sau:
Gụứi khụỷi haứnh
Thụứi gian ủaừ ủi ủeồ ủeỏn
vũ trớ nhử hỡnh veừ
Vaọn toỏc (km/h)
Quaừng ủửụứng ủaừ ủi ủeỏn vũ trớ nhử hỡnh veừ (km)
Xe oõtoõ 8 giụứ (x-2) giụứ 40 40(x-2)
Theo đầu bài, ta có ph ơng trình:
40(x - 2) - 10x = 30(x - 1) -40(x-2)
1 Giải ra, đ ợ c x = 3 giờ
4 1
Nh vậy, đến 6 giờ + 3 giờ = 9 giờ 15 phút thì ôtô cách đều ng ời đi xe đạp và ng ời đi xe máy
4
C CAÙC BAỉI TOAÙN LUYỆN TẬP
Baứi 1: Thuứng daàu thửự nhaỏt chửựa nhieàu daàu gaỏp ủoõi thuứng thửự hai Neỏu chuyeồn tửứ thuứng thửự nhaỏt
sang thuứng thửự hai 25 lớt thỡ lửụùng daàu hai thuứng baống nhau Tớnh lửụùng daàu trong moói thuứng luực ủaàu
Baứi 2: Hoùc sinh khoỏi 8 nhaởt ủửụùc 65 kg kim loaùi vuùn, trong ủoự ủoàng nhieàu hụn nhoõm 15 kg, keừm ớt
hụn toồng soỏ khoỏi lửụùng nhoõm vaứ ủoàng 1 kg Hoỷi khoỏi 8 ủaừ nhaởt ủửụùc bao nhieõu kg moói loaùi ?
Baứi 3: Moọt xớ nghieọp deọt thaỷm ủửụùc giao laứm moọt soỏ thaỷm xuaỏt khaồu trong 20 ngaứy Xớ nghieọp ủaừ
taờng naờng suaỏt 20% neõn sau 18 ngaứy khoõng nhửừng ủaừ laứm xong soỏ thaỷm ủửụùc giao maứ coứn laứm theõm ủửụùc 24 chieỏc nửừa Tớnh soỏ thaỷm xớ nghieọp ủaừ laứm trong 18 ngaứy
Baứi 4: Moọt lụựp hoùc tham gia troàng caõy ụỷ moọt laõm trửụứng trong thụứi gian ủaừ ủũnh vụựi naờng suaỏt 300
caõy trong moọt ngaứy Nhửng thửùc teỏ moói ngaứy ủaừ troàng theõm ủửụùc 100 caõy neõn ủaừ troàng theõm ủửụùc taỏt caỷ 600 caõy vaứ hoaứn thaứnh keỏ hoaùch trửụực 1 ngaứy Tớnh soỏ caõy dửù ủũnh troàng
Baứi 5: Moọt taứu chụỷ haứng khụỷi haứnh tửứ thaứnh phoỏ Hoà Chớ Minh vụựi vaọn toỏc 36 km/h Sau ủoự 2 giụứ
moọt taứu chụỷ khaựch cuừng ủi tửứ ủoự vụựi vaọn toỏc 48 km/h ủuoồi theo taứu haứng Hoỷi taứu khaựch ủi bao laõu thỡ gaởp taứu haứng?
Baứi 6: Ga Nam ẹũnh caựch ga Haứ Noọi 87km Moọt taứu hoaỷ tửứ Haứ Noọi ủi TP Hoà Chớ Minh, 2 giụứ sau
moọt taứu hoaỷ khaực tử Nam ẹũnh ủi TP Hoà Chớ Minh Sau 32
5giụứ tớnh tửứ khi taứu thửự nhaỏt khụỷi haứnh thỡ hai taứu gaởp nhau Tớnh vaọn toỏc moói taứu bieỏt raống ga Nam ẹũnh naốm treõn quaừng ủửụứng Haứ Noọi – TP Hoà Chớ Minh vaứ vaọn toỏc taứu thửự nhaỏt lụựn hụn vaọn toỏc taứu thửự hai laứ 5 km/h
Baứi 7: Moọt beồ coự dung tớch 5.000 lớt Hai voứi chaỷy vao beồ, voứi thửự nhaỏt nhaỏt mụỷ trửụực voứi thửự hai 1
1
2giụứ, nhửng naờng suaỏt cuỷa noự thaỏp hụn naờng suaỏt voứi thửự hai laứ 100 km/h Khi hai voứi cuứng khoaự thỡ voứi thửự nhaỏt ủaừ chaỷy ủửụùc 4 giụứ vaứ coứn thieỏu 120 lớt mụựi ủaày beồ Tớnh xem moói voứi, trong 1 giụứ, chaỷy ủửụùc bao nhieõu lớt nửụực
Trang 7IV Caực phửụng phaựp chửựng minh baỏt ủaỳng thửực
Ghi nhớ :
1.Đ ịnh nghĩa: a > b b - a > 0 (d ơng)
a b b - a 0 (không âm)
2.Tính chất:
* a < b b > a
* a < b và b> c a < c (tính chất bắt cầu)
* a < b a c b c
* a b,c d a c b d
* Nhân 2
vế bất đẳng thức cho một số d ơng thì bất đẳng thức không đổi chiều:
a < b, c > 0 ac bc
* Nhân 2 vế bất đẳng thức cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều:
a < b, c < 0 ac bc
* Nhân từng vế hai bất đẳ
n n
n n
n n
ng thức cù ng chiều và hai vế không âm:
0 a b, 0 c d 0 ac bd
* Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức
a > b > c a b vớ i mọi n
a > b a b vớ i n lẻ
a b a b vớ i n chẳn
* So sánh hai luỹ thừa cù ng cơ số
m
m n
m n
2
> n > 0 và a > 1 thì a a
m > n > 0 và 0 > a < 1 thì a a
*Lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức có cù ng dấu thì đổi chiều bất đẳng thức
1 1
a < b và ab > 0 thì
a b 3.Các bất đẳng thức cần nhớ :
* a 0 vớ i m
ọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
* a 0 vớ i mọi a, dấu băng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
* - a a a
* a b a b ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab 0
* a-b a b
Ph
Để chứng minh bất đẳng thức A B ta cần chỉ ra rằng
A –B 0
Lưu ý cỏc hằng thức :
2 2 2 2
a b a 2ab b 0
a b c a b c 2ab 2bc 2ac 0
Trang 82
2 2
4 4 3 3
Bài 1 :chứng minh rằng mọi x,y ta luôn có :
y
a/ x xy
4
b/x y 1 xy x y
c/ x y xy x y
2
2
2
2
giải :
2x y
y 4x 4xy y
y
x xy (đpcm)
4
Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2x = y
1 b/ Hiệu x y 1 xy x y 2x 2y 2 2xy 2x 2y
2 1
x 2xy y x 2x 1 y 2y 1
2
1 x y
2
2 2
x 1 y 1 0
x y 1 xy x y
Dấu bất đẳng thức xảy ra khi x=y=1
2 2
2 2
2
Hiệu x +y -(xy +x y) = (x -xy ) + (y -x y)
= x(x -y )-y(x -y )=(x-y)(x -y )
y y y = (x-y) (x +2x + +3 )
2 4 4
= (x-y) [(x+ ) + 3 ] 0 ( luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức đ
ã cho là đúng và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y Bài 2 : cho ba số d ơng a, b, c thoả 0 a b c
chứn minh rằng :
a b c b c a
a/
b c a a b c
c b b a
b/
a c a b
Giải
a b c b c a
a/Ta có hiệu ( )
b c a a b c
1 = (a c b a c b b c c a a b)
abc
1 = (a c b c) (b a a b) (c b c a)
abc
Trang 92 1
= (b a)( ca cb ab c )
abc
(b-a)(c-b)(c-a)
= 0 (0 a b c)
abc
2
b/ Hiệu
abc
abc
b c b (c a)
abc
vậy
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t ơng đ ơng vớ i
bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đ ợ c chứng minh đúng
.Chú ý hằng đẳng thức sau:
b c a 2b2c2 ab bc ca
Bài 1 : a/ Vớ i a, b, c >0 ch ng minh :
2
b/ chứng minh rằng:
(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) +10 1 vớ i mọi x.
c/ cho a c 0,b c chứng minh:
c(a-c) c(b c) ab
2 2 2
2 2 2
2
Giải
a/ Ta có bất đẳng thức cần chứng minh t ơng đ ơng vớ i:
a b c 2 bc ac ab (vì abc>0)
a b c 2bc 2ac 2ab 0
(a b c) 0
bất đẳng thức cuối cù ng luôn đúng nên ta có đpcm
b/ Ta có (x-1
)(x-3)(x-4)(x-6) +10 1
(x 7x 6)(x 7x 12) 9 0
Trang 102 2
(x 7x 9 3)(x 7x 9 3) 9 0
(x 7x 9) 9 9 0
bất đẳng thức cuối cù ng luôn đúng nên ta có đpcm