Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ I. Nhân đa thức 1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức 2. Khái niệm nhân đa thức với đa thức 3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x) P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu P(x) Q(x) Ví dụ: P(x) = (x+5)(ax 2 +bx+25) và Q(x)=x 3 +125 a) Viết đa thức P(x) dới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x b) với giá trị nào của a và b thì P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x. Giải a)P(x)=(x+5)(ax 2 +bx+25) = ax 3 + bx 2 + 25x + 5ax 2 + 5bx + 125 = ax 3 + (b+5a)x 2 + (25 + 5b)x + 125 b) P = Q với mọi x <=> ax 3 + (b+5a)x 2 + (25 + 5b)x + 125 = x 3 +125 với mọi x <=> 1 5 0 5 25 0 a b a b = + = + = <=> 1 5 a b = = Phơng pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: A = x 4 - 17x 3 + 17x 2 17x + 20 tại x = 16. Giải: Cách 1: A= x 3 (x 16) x 2 (x-16) +x(x-16) (x 16) + 4 = 4 ( vì x = 16 nên x 16 = 0) Cách 2: thay 16 = x vào A ta có: A = x 4 (x+1)x 3 + (x + 1)x 2 ( x + 1)x + x + 4 = x 4 x 4 x 3 + x 3 + x 2 x 2 - x + x + 4 = 4 Bài tập Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức hợp lí. Bài 1. Dạng 2: Tìm các hệ số của đồng nhất thất thức Page 9 Một số chuyên đề toán 8 II. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ 1. ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. ( a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. (a + b)(a b) = a 2 b 2 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) 5. (a b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) 6. a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 7. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) Nâng cao: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a n b n = (a b)(a n-1 + a n-2 b + .+ b n-1 ) a n + b n = (a + b)(a n-1 a n 2 b + a n-3 b 2 - .- ab n-2 + b n-1 ) ( với n lẻ) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca thì a = b = c Lời Giải a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca < = > 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 (a 2 - 2ab + b 2 ) + (a 2 - 2ac + c 2 ) + (b 2 - 2bc + c 2 ) = 0 (a b) 2 + (a c) 2 + (b c) 2 = 0 => a = b = c (đpcm) Ví dụ 2: cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Lời giải: Ta có: (a + b) 3 = (- c) 3 a 3 + 3ab(a + b) + b 3 = -c 3 a 3 - 3abc + b 3 + c 3 = 0 < = > a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (đpcm) Bài tập Bài 1. Chứng minh rằng (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 với x, y khác 0 thì a b = x y Bài 2. cho a 2 b 2 = 4c 2 . Chứng minh rằng: (5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b) 2 Bài 2. Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 với x, y, z khác 0 thì a b c = = x y z . Bài 3. Chứng minh rằng: a) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b)a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b +c)(a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc) Lời giải a) Ta có (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = a 3 + (b + c) 3 + 3a(b + c)(a + b + c) - a 3 b 3 c 3 = 3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a 2 + ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Ta có a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b) 3 + c 3 3ab(a + b) 3abc = (a + b + c) 3 3(a + b)c(a + b + c) 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc) Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Bài 4. Cho ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0; với x, y, z 0 Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Giải Từ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0 ta có: (a + b + c)(x + y + z) = 0 => a + b + c = 0 => a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Bài 5. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Thì a + b +c = 0 hoặc a = b =c. Giải Ta có: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (a + b + c)[(a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 ] = 0. = > a + b + c = 0 hoặc a = b =c Bài 6. Cho 1 1 1 1 + + = a b c a+ b+ c . Chứng minh rằng có ít nhất một cặp số đối nhau. Giải => a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a. Bài 7. Cho 1 1 1 1 + + = a b c a+ b+ c . Chứng minh rằng n n n n n n 1 1 1 1 + + = a b c a + b + c Với n lẻ. Bài 8. Cho a 3 + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 (hoặc 3 3 3 3 a b c a b c+ + = + + hoặc 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 + + = + + a b c a b c ữ ). Chứng minh rằng a n + b n + c n = (a + b + c) n vơid n lẻ. Bài 9. Cho x + y + z = a + b + c; x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 + c 2 ; x 3 + y 3 + z 3 = a 3 + b 3 + c 3 . Chứng minh rằng: x n + y n + z n = a n + b n + c n ; Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Vi dụ. Cho x + y = a và xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b. a) x 2 + y 2 b) x 3 + y 3 Lời giải a) x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = a 2 2b b) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy(x + y) = a 3 3ab Bài 1. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính a b c A = 1+ 1+ 1+ b c a ữ ữ ữ Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + 2x + 3 Lời giải: x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1) 2 + 2 2 dấu = xảy ra khi x = -2 Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = - 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 2 5x + 5 Lời giải: x 2 5x + 5 = - (x 2 + 5x 5) = -(x 2 + 2. 5 2 x + 25 4 - 25 4 - 5) = Dạng 4: Tìm x Ví dụ: Tìm x biết: x 2 3x 4 = 0 Lời giải: Page 9 Một số chuyên đề toán 8 x 2 2. 3 2 x + 9 4 - 9 4 - 4 = 0 (x - 3 2 ) 2 - 25 4 = 0 (x 4)(x + 1) = 0 => x = 4 hoặc x = -1; Chuyên đề 2. Phân tích đa thức thành nhân tử Phơng pháp: 1. Đặt nhân tử chung. Sử dụng phơng pháp này khi các hạng tử có nhân tử chung 2. Sử dụng hằng đẳng thức: Khi biểu thức có dạng trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ 3. Nhóm các hạng tử thích hợp làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức 4. Thêm bớt một hạng tử Ví dụ 1:Phân tích đa thức 4x 4 + 81 thành nhân tử Giải: 4x 4 + 81 = 4x 4 +36x 2 + 81 - 36x 2 = (2x 2 + 9) 2 (6x) 2 = (2x 2 + 9 6x)(2x 2 + 9 + 6x) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 64x 4 + y 4 Giải: 64x 4 + 16x 2 y 2 + y 4 - 16x 2 y 2 = (8x 2 + y) 2 (4xy) 2 = (8x 2 + y -4xy)(8x 2 + y +4xy) Ví dụ 3: Phân tích đa thức x 4 + x 2 + 1 thành nhân tử x 4 + x 2 + 1 = x 4 + x 3 + x 2 x 3 + 1 = x 2 (x 2 + x +1) (x 1)(x 2 + x + 1) =(x 2 + x + 1)(x 2 x + 1) Bài Tập Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài 1. a) x 4 + 5x 3 + 10x 4 Thêm bớt 2x 2 vào biểu thức x 4 + 2x 2 + 5x 3 + 10x - 4 - 2x 2 =x 2 (x 2 + 2) + 5x(x 2 + 2) 2(x 2 + 2) =(x 2 + 2)(x 2 + 5x 2) b) x 3 + y 3 + z 3 3xyz Thêm bớt 3xy(x + y) x 3 + y 3 + z 3 3xyz = x 3 + y 3 + 3xy(x + y)+ z 3 3xyz - 3xy(x + y) = (x + y) 3 + z 3 3xy( x + y + z) = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 + 2xy - xz - yz) 3xy(x + y + z) = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 - xy - xz yz) Page 9 Mét sè chuyªn ®Ò to¸n 8 Bµi 2. a) x 7 + x 2 + 1 Thªm bít x vµo biÓu thøc x 7 + x 2 + 1 = x 7 – x + x 2 + x + 1 = x(x 6 – 1) + (x 2 + x + 1) =x(x 3 +1)(x-1)(x 2 + x + 1) +( x 2 + x + 1) =(x 2 + x + 1)[x(x 3 +1)(x-1) + 1] b) x 8 + x + 1 Thªm bít x 2 vµo biÓu thøc x 8 + x + 1 = x 8 - x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 6 -1) + (x 2 + x + 1) =(x 2 + x + 1)[x 2 (x 3 +1)(x-1) + 1] Bµi 3. a) x 5 + x 4 + 1 Thªm bít x 3 vµo biÓu thøc x 5 + x 4 + 1 = x 5 + x 4 + x 3 – x 3 + 1 = x 3 (x 2 + x + 1) – (x -1)(x 2 + x + 1) =(x 2 + x + 1)(x 3 – x + 1) b) x 10 + x 5 + 1 Thªm bít x 2 + x vµo biÓu thøc x 10 + x 5 + 1 = x 10 – x + x 5 – x 2 + x 2 + x +1 =x(x 3 + 1)(x-1)(x 2 + x +1) + x 2 (x – 1)( x 2 + x +1) + ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x +1)[x(x 3 + 1)(x-1) + x 2 (x – 1) + 1] Bµi 4. chøng minh r»ng: x 200 + x 100 +1 M x 4 + x 2 + 1 Ta cã: x 200 + x 100 +1 = (x 200 – x 2 ) + (x 100 – x 4 ) + (x 4 +x 2 + 1) = x 2 ( x 198 -1) + x 4 (x 96 - 1) + (x 4 +x 2 + 1) = x 4 [(x 6 ) 33 - 1] + x 2 [(x 6 ) 16 - 1] + (x 4 +x 2 + 1) = x 4 (x 6 - 1)A(x) + x 2 (x 6 - 1)B(x) + (x 4 +x 2 + 1) = x 4 (x 2 – 1)(x 4 + x 2 + 1)A(x) + x 2 (x 2 – 1)(x 4 + x 2 + 1)B(x) + (x 4 +x 2 + 1) = (x 4 + x 2 + 1)[x 4 (x 2 – 1)A(x) + x 2 (x 2 – 1)B(x) + 1] M x 4 + x 2 + 1 ( ®pcm) Bµi 5.a) 4x 4 + 1 (Thªm bít 4x 2 ) b) x 4 + 324 (Thªm bít 81x 2 ) c) x 5 + x + 1 (Thªm bít x 2 ) d) x 8 + x 7 + 1 (Thªm bít x 2 + x) e) x 5 - x 4 – 1 (Thªm bít x 2 ) f) x 7 + x 5 + 1 (Thªm bít x 2 + x) g) x 8 + x 4 + 1 (Thªm bít x 2 ) g) x 3 + 3xy + y 3 – 1 (Thªm bít 3xy(x + y)) Bµi 6. Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö a) 1 + 2 + 3 + + n… b) 1 2 + 2 2 + 3 2 + +n… 2 c)1 3 + 2 3 + 3 3 + +n… 3 d) 1 4 + 2 4 + 3 4 + +n… 4 e) 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2n+1)… 2 e) 2 2 + 4 2 + 6 2 + + (2n)… 2 g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) h) 1.2.3 + 2.3.4 + . + n(n+1)(n+2)… Híng dÉn:b) 1 2 + 2 2 + 3 2 + +n… 2 Ta cã: (n + 1) 3 = n 3 + 3n 2 + 3n + 1 n 3 = (n-1) 3 + 3(n-1) 2 + 3(n-1) + 1 …………………………… …………………………… 2 3 = 1 3 + 3.1 2 + 3.1 + 1 Ta cã : (n + 1) 3 + n 3 + + 2… 3 =(n 3 + (n-1) 3 + + 1… 3 ) + 3(1 2 + 2 2 + 3 2 + +n… 2 ) +3(1 + 2 + 3 + + n) + n… 3(1 2 + 2 2 + 3 2 + +n… 2 ) = (n + 1) 3 –(1 +n) – 3. (n+1)n 2 =(n+1)(2n 2 + n):2 = n(n + 1)(2n + 1):2 1 2 + 2 2 + 3 2 + +n… 2 = n(n + 1)(2n + 1):6 Chó ý: C¸c ®a thøc d¹ng: x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 ®Òu chøa nh©n tö x 2 + x + 1 Page 9 Một số chuyên đề toán 8 x 2n + x n + 1 chứa nhân tử x 2 + x + 1 nếu n không chia hết cho 3 5. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Một số cách phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử Cách 1: tách hạng tử thứ 2: b = b 1 + b 2 sao cho b 1 b 2 = ac Cách 2: tách hạng tử thứ 1,3 làm xuất hiện hằng đẳng thức, hoặc nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 3x 2 8x + 4 Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 3x 2 8x + 4 = 3x 2 - 2x 6x + 4 = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất 3x 2 8x + 4 = 4x 2 8x + 4 x 2 = (2x 2) 2 x 2 = (x 2)( 3x 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x 2 4x 3 Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 4x 2 4x 3 = 4x 2 +2x 6x -3 = 2x(2x + 1) 3(2x + 1) = (2x + 1)( 2x 3) Cách 2: Tách hạng tử thứ ba:4x 2 4x 3 = 4x 2 4x + 1 4 = (2x -1) 2 - 2 2 = (2x + 1)( 2x 3) Trong tam thức bậc 2: cách phân tích tổng quát là sử dụng cách tách hạng tử thứ 3 làm xuất hiện hằng đẳng thức Phân tích đa thức bậc n thành nhân tử ( Phơng pháp dễ dàng áp dụng đối với đa thức có nghiệm nguyên hoặcphân số) F(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + + a n -Nếu x = a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) thì + f(x) có nhân tử chung là x a + a là ớc của a n Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử F(x) = x 3 x 2 4 Giải: Xét các ớc của -4 là 1, 2, 4, -1, -2, -4 thấy f(2) = 0 vậy x 2 là một nhân tử của f(x) x 3 x 2 4 = x 3 - 2x 2 + x 2 4 = x 2 ( x -2) + (x 2)(x + 2) = (x 2)(x 2 + x + 2) - Nếu p x = q là nghiệm của F(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + + a n thì f(x) có nhân tử chung là qx p( q là ơc của a 0 , p là ớc của a n ) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3x 3 - 7x 2 + 17x 5 Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Dùng phơng pháp nhẩm nghiệm thấy 1, -1, 5, -5 không phải là nghiệm của đa thức trên. xét 1 5 , 3 3 ta thấy 1 3 là nghiệm của đa thức do dó 3x 1 là một nhân tử chung: 3x 3 - 7x 2 + 17x 5 = (3x 3 x 2 ) (6x 2 2x) + (15x 5) = x 2 (3x 1) 2x(3x 1) + 5x(3x 1) = (3x 1)( x 2 2x + 5) Bài tập Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài 1 a) 6x 2 11x + 3 b) 2x 2 + 3x 27 c) 2x 2 5xy +- 3y 2 Bài 2 a) x 3 + 2x 3 d) x 3 9x 2 + 6x + 16 b) x 3 + 7x 6 e) x 3 x 2 x 2 c) x 3 + 5x 2 + 8x + 4 f) x 3 + x 2 x + 2 Bài 3 a) x 3 7x 6 b) 27x 3 27x 2 + 18x 4 c) 2x 3 - x 2 + 5x + 3 d) (x 2 3) 2 + 16 e) 6x 2 + 7xy + 2y 2 f) 9x 2 9xy 4y 2 g) x 2 y 2 + 10x - 6y + 16 h) x 3 y 3 + x 2 y 2 + 4 i) x 3 + 3x 2 y 9xy 2 + 5y 3 j) x 4 + x 3 + 6x 2 + 5x + 5 k)x 4 x 3 2x 2 +12x + 36 l)x 8 y 8 + x 4 y 4 + 1 m)3x 4 + 11x 3 7x 2 2x + 1 m) x 4 + y 4 + (x + y) 4 ( Thêm bớt 2x 2 y 2 ) 6. Phơng pháp đổi biến Một số dạng quen thuộc Dạng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x +d) + q có a + b = c + d Viết [x 2 + (a + b)x + ab][x 2 + (c +d)x + cd) + q = [x 2 + (a + b)x + ab][x 2 + (a +b)x + cd) + q đặt ( ) 2 ab+cd x + a + b x + 2 = y Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 Giải: (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) 23 = (x 2 + 7x + 10)(x 2 + 7x + 12) 24 Đặt y = x 2 + 7x + 11 ta có: (x 2 + 7x + 10)(x 2 + 7x + 12) 12 = (t 1)(t + 1) 24 = t 2 25 = (t 5)(t + 5) =(x 2 + 7x + 6)(x 2 + 7x + 16) Dạng 2: Đa thức bậc bốn có hệ số đối xứng F(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = x 2 (ax 2 + bx + c + b/x + a/x 2 ) =x 2 [a(x 2 +1/x 2 ) + b(x + 1/x) + c] = x 2 [a(x + 1/x) 2 + b(x + 1/x) +c -2a] đặt y = x + 1/x và phân tích a(x + 1/x) 2 + b(x + 1/x) +c -2a = ay 2 + by + c 2a Thành nhân tử. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử x 4 + 6x 3 + 7x 2 + 6x + 1 Giải: x 4 + 6x 3 + 7x 2 + 6x + 1 = x 2 (x 2 + 6x + 7 + 6/x + 1/x 2 ) = x 2 [(x +1/x) 2 + 6(x + 1/x) + 5] đặt y = x + 1/x ta có x 4 + 6x 2 + 7x 2 + 6x +1 = x 2 (y 2 + 6x + 5) = x 2 (y + 1)(y + 5) = x 2 (x + 1/x + 1)( x + 1/x + 5) = ( x 2 + x +1)(x 2 + 5x + 1) Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 2 2xy + y 2 + 3x 3y - 4 Giải: x 2 2xy + y 2 + 3x 3y 4 = (x y) 2 + 3(x y) 4 đặt t = x y ta có : (x y) 2 + 3(x y) 4 = t 2 + 3t 4 = (t 1)( t + 4) =(x y 1)(x y + 4) b) (12x 2 12xy + 3y 2 ) 10(2x 3y) + 8 =3(2x y) 2 10(2x y) + 8 Đặt t = 2x y ta có: 3(2x y) 2 10(2x y) + 8 =3t 2 10t + 8 =(3t 2 4t) (6t 8) = t(3t 4) 2(3t 4) =(3t 4)(t 2) = (6x 3y 4)(2x y 2 Bài 2: a) (a b) 3 + (b c) 3 + (c a) 3 Đặt x = a b; y = b c; z = c a Ta có: (a b) 3 + (b c) 3 + (c a) 3 = x 3 + y 3 + z 3 và x + y + z = 0 Vậy x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz c) B = (a + b 2c) 3 + (a + c 2b) 3 + (b + c 2a) 3 Đặt x = (a + b 2c) 3 ; y = (a + c 2b) 3 ; z =(b + c 2a) 3 ta có: x + y +z = 0 B = 3(a + b 2c)(a + c 2b)(b + c 2a) Bài 3. Chứng minh rằng: a)(x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Biến đổi vế trái: (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 = (x + y) 3 + z 3 + 3(x + y)z(x + y + z) x 3 y 3 z 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3xy(x + y) 3(x + y)z(x + y + z) x 3 y 3 z 3 =3(x + y)(xy + xz + yz + z 2 ) = 3(x + y)(x + z)(y + z) b)Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b + c) 3 + (a b - c) 3 + (b c a) 3 + (c a b) 3 Đặt x = a b c; y = b c a; z =c a b ta có : x + y + z = -(a + b + c) A = -(x + y + z ) 3 + x 3 + y 3 + z 3 áp dụng tơng tự phần a) A = -3(x + y)(y + z)(z + x) Bài 4. a) (x 2 2x)(x 2 2x 1) 6 b)(x 2 + 4x -3) 2 5x(x 2 + 4x -3) +6x 2 (đặt y = x 2 + 4x -3) c)(x 2 + x + 4) 2 + 8x(x 2 + x + 4) + 15x 2 d) x 4 6x 3 + 11x 2 6x + 1 Bài 5. 2(x 2 6x + 1) + 5(x 2 6x + 1)(x 2 + 1) + (x 2 + 1) 2 Bài 6. Chứng minh rằng: M = 4(x 2)(x 1)(x + 4)(x + 8) + 25x 2 Không âm. M = 4(x 2 + 2x 8)(x 2 + 7x 8) + 25x 2 = Đặt a = x 2 + 2x 8 ta có: M = 4a(a + 5x) + 25x 2 = (2a + 5x) 2 0 (đpcm) 7. Phơng pháp hệ số bất định(Phơng pháp đồng nhất hệ số) Đây là phơng pháp thờng đợc áp dụng cho một số đa thức đa đợc về đa thức bậc bốn có các hệ số nguyên Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử x 4 6x 3 + 12x 2 14x + 3 Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Lời Giải: Thấy 1, 3 không phải là nghiệm của đa thức. Đa thức trên phân tích đ ợc thành nhân tử có dạng (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) = x 4 + (a + c)x 2 + (ac + b + d)x 2 + (bc + da)x + bd Ta có: a + c = -6 ac + b + d=12 bc + ad= - 14 bd = 3 lấy b =1, d =3 =>c =-2, a = - 4 Vậy x 4 6x 3 + 12x 2 14x + 3 = (x 2 4x + 1)(x 2 2x + 3) Bài Tập Phân tích đa thức sau thành nhân tử theo phơng pháp đồng nhất hệ số: A = 3x 4 + 11x 3 7x 2 2x + 1 B = x 4 6x 3 + 11x 2 6x + 1 C = x 4 x 3 + 2x 2 11x 5 D = 4x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x + 1 8. Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp xét giá trị riêng là phơng pháp xét giá trị của biến làm cho giá trị của biểu thức bằng 0. Từ đó xác định các nhân tử chung bằng cách thay các giá trị bất kì vào đẳng thức đợc xác định hoặc dựa vào đó để tách, thêm bớt nhóm thích hợp. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 2 (y z) + y 2 (z x) + z 2 (x y) ta thấy với y = z hoặc x = y hoặc x = z thì x 2 (y z) + y 2 (z x) + z 2 (x y) = 0. vậy ta có y z, x y, z - x là nhân tử chung của biểu thức trên. x 2 (y z) + y 2 z y 2 x + z 2 x z 2 y = K.(x y)(y z)(z x) vì (x y)(y z)(z x) là đa thức bậc 3 nên K là hằng số thay x= 0, y = 1, z =2 vào đẳng thức trên ta đợc: -2 = K.2 => K = -1 Vậy x 2 (y z) + y 2 (z x) + z 2 (x y) = - (x y)(y z)(z x) =(x y)(y z)(x - z) Ví dụ 2: Xác định a, b sao cho x 4 + ax + b = x 2 1 C1: Thực hiện phép chia rồi cho số d = 0 C2: viết x 4 + ax + b = (x 2 1).q(x) Tại x = -1, x =1 ta có: 1 + a + b = 0 và 1 a + b = 0 => b = - 1, a = 0 Bài Tập Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. M = xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz Bài 2. M = a(b + c a) 2 +b(c + a b) 2 + c(a + b c) 2 + (a + b c)(b + c a)(c + a b) Page 9 Một số chuyên đề toán 8 (xét a = 0) Bài 3. (x + y + z)(xy + yz + zx) xyz (xét x = - y, ) Chuyên đề 3. Xác định đa thức Chuyên đề 3. Số chính Ph ơng I. Tính chất Số chính phơng Số chính phơng chia cho 3, 4 d 1 hoặc d 0 số chính phơng chia hết cho p 2k+1 thì chia hết cho p 2k+2 ( Với p là số nguyên tố) Giữa hai số chính phơng liên tiếp không tồn tại số chính phơng Chữ số tận cùng của số chính phơng không thể là 2,3,7,8 II. Phơng pháp chứng minh a) chứng minh một số là số chính phơng - biểu diễn một biểu thức đợc dới dạng bình phơng của một số - Hai số nguyên tố cùng nhau a và b có tích là số chính phơng thì a và b là những số chính phơng b) Chứng minh một số không là số chính phơng: - Chứng minh số đó nằm giữa hai số chính phơng liên tiếp. - Chứng minh sự phân tích có chứa luỹ thừa lẻ của một số nguyên tố - Xét số d của nó khi chia cho 3,4,5 - Chứng minh chữ số tận cùng của nó là 2,3,7,8 c) Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phơng. III. Một số bài toán Dạng 1. Chứng minh một biểu thức là số chính phơng. Bài 1. Cho A = 2 111 .1 888 .8 1 n n + + 1 2 3 1 2 3 là số chính phơng Lời giải: A = 2 111 .1 888 .8 1 111 .1.10 7.111 .1 1 n n n n n + = + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Đặt a = 111 .1 n 1 2 3 => 9a + 1 = 10 n A = a(9a + 1) - 7a + 1 = 9a 2 - 6a + 1 =(3a + 1) 2 ( đpcm) Dạng 2: Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phơng [...]... số tự nhiên n thuộc N*, d là ớc của 2n2 Chứng minh rằng n2 + d Không thể là số chính phơng Lời giải Cách 1: giả sử n2 + d =m2 < = >n2 + 2n 2 = m2 < = >kn2 + 2n 2 = km2 K Cách 2: ta có 2n2 + 2d Chuyên đề 4 Bất đẳng thức Chuyên đề 5 Giải ph ơng trình nghiệm nguyên Chuyên đề 6 Số nguyên tố Chuyên đề 7 Đồng d thức Hình Học Chuyên đề 1: Định lí talet - Tam giác đồng dạng Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Chuyên. . .Một số chuyên đề toán 8 Ví dụ: Tìm điều kiện để a(a + 3) là số chính phơng Lời giải: Để a(a + 3) là số chính phơng thì a(a + 3) = k2 a2 + 3a = k2 4a2 + 12a = 4k2 < = > (2a + 3)2 = 4k2 + 9 < = > (2a + 3 k)(2a + 3 + k) = 9 2a + 3 - 2k = 1 a = 1 2a + 3 + 2k = 9 k = 2 Dạng 3: Chứng minh một biểu thức không thể là một số 2a + 3 - k = 3 a = 0 2a + 3 + k =... Bất đẳng thức Chuyên đề 5 Giải ph ơng trình nghiệm nguyên Chuyên đề 6 Số nguyên tố Chuyên đề 7 Đồng d thức Hình Học Chuyên đề 1: Định lí talet - Tam giác đồng dạng Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Chuyên đề 2: Ph ơng pháp diện tích Page 9 . Page 9 Một số chuyên đề toán 8 (xét a = 0) Bài 3. (x + y + z)(xy + yz + zx) xyz (xét x = - y, ) Chuyên đề 3. Xác định đa thức Chuyên đề 3. Số chính. kiện để một biểu thức là số chính phơng Page 9 Một số chuyên đề toán 8 Ví dụ: Tìm điều kiện để a(a + 3) là số chính phơng Lời giải: Để a(a + 3) là số chính