Một số chuyên đề toán - Luyện thi

Giải phương trình sau.Ta thấy rằng phương trình trên đã xuất hiện fˆu fˆvnhư vậy công việc còn lại chỉ là đi xét hàm "đăc trưng" cho hai vế của phương trình và chứng minh cho hàm đó đồ

THÂN VĂN CƯƠNG

Gv THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang

——————————-t v

c———————————-CÁC CHUYÊN ĐỀ

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

————-BẮC GIANG, THÁNG 09 NĂM 2012————–

GD-05

Mục lục

Mục lục 3

1 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 5

1.1.1 Phương trình - Hệ phương trình có dạng fˆu fˆv 7

1.1.2 Về hệ hoán vị vòng quanh 11

1.1.3 Về phương trình, hệ phương trình dạng A2 B2 0 14

1.1.4 Về phương trình, hệ có số ẩn nhiều hơn số phương trình 15

1.1.5 Về phương trình, hệ phương trình sử dụng đồng biến, nghịch biến 15

1.1.6 Về một số phương pháp tính tích phân 16

1.1.7 Giải hệ bằng phương pháp đánh giá 17

1.1.8 Một số hệ phương trình chọn lọc 18

1.1.9 Phương trình, bất phương trình, hệ có tham số 22

2 LƯỢNG GIÁC - Biên soạn: Th.s Thân Văn Cương 27 2.1 Một số dạng phương trình thường gặp 27

2.2 Các bài toán phương trình Lượng giác trong đề thi 31

3 HÌNH HỌC - Biên soạn: Th.s Thân Văn Cương 34 3.1 Các bài toán về đường tròn 34

3.2 Các bài toán về điểm và đường thẳng 38

3.3 Các bài toán về phương pháp tọa độ hóa 45

3.3.1 Tọa độ hóa hình hộp 45

3.3.2 Tọa độ hóa hình chóp 49

3.4 Một số bài toán về hình cầu 50

3.5 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 52

4 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC 56 4.1 Các phép toán trên số phức 56

4.2 Tính in và áp dụng 58

5 HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 59 5.1 Câu hỏi phụ hay về hàm số 59

5.2 Câu hỏi phụ về khoảng cách 61

6 QUAN HỆ SONG SONG - Thân Văn Cương - THPT NSL 65 6.1 Vấn đề cơ bản của hình học không gian 65

6.1.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 66

6.1.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 67

6.1.3 Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 67

6.1.4 Xác định thiết diện của hình khối bị cắt bởi một mặt phẳng 68

6.1.5 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 71

6.1.6 Bài tập tổng hợp 71

6.1.7 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng 72

Danh mục từ khóa 73

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 5

1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương

1x2

 º

1x2

1.4 Xác định số nghiệm của hệ phương trinh

¦

¨

x2y3 2log3x.log2y 1Đs: 2

e 1.6 Giải hệ phương trình sau

1y mĐs: 1BmB

º

5

e 1.14 Xác đinh m để phương trình sau có nghiệm thực

ˆ º

x º

x1 º

y1 m

e 1.18 (HSG Nghệ An-2009) Giải phương trình 2009x

ˆ º

Ví dụ 1.23 Giải phương trình sau.

Ta thấy rằng phương trình trên đã xuất hiện fˆu fˆvnhư vậy công việc còn lại chỉ là

đi xét hàm "đăc trưng" cho hai vế của phương trình và chứng minh cho hàm đó đồng biến(hoặc nghịch biến)

t2 A0với mọi tA0 từ đó suy ra fˆtluôn đồng biến Từ phương trình suy ra

fˆS2x5S fˆSx1S  S2x5S Sx1S Đến đây để tìm ra nghiệm không có gì là khó, xindành cho các em hs!

Với phương trình mũ ta xét

Ví dụ 1.24 Giải phương trình sau

ecos2x

esin2x cos2xLời giải Tương tự như bài trên ta có ecos 2

tvới tC0ta được nghiệm cần tìm

Qua ví dụ này chúng ta cũng thấy rằng để có phương trình trên chúng ta thường phải bắtnguồn từ hàm số đã cho Chẳng hạn với bài toán trên đó là hàm fˆt et

t, rồi sau đó

ta mới chế biến t sin2

xvà t cos2x Như vậy để sáng tạo ra những bài toán dạng nàybắt buộc chúng ta phải chọn hàm số (quan trọng là chọn hàm như thế nào để ý đồ của takhông dễ bị phát hiện) Ta xét ví dụ tiếp

Ví dụ 1.25 (HSG Quảng Ninh) Giải phương tình

Ví dụ 1.26 (HSG Quảng Bình 2010) Giải phương trình.

3x1Đến đây ta lại xét fˆt t3

º

34x 7Gợi ý Từ phương trình đầu ta có

52yXét hàm số fˆt ˆt2

52yy 54x2

2 Thế vào phương trình thứ hai ta được

4x2 ˆ

54x22

xy1 03)

Lời giải Biến đổi phương trình (1) ta được phương trình

y2Với phương trình trên ta xét hàm số fˆt 2t3

2y1

Gợi ý Phương trình (1) có dạng fˆy fˆx1với fˆt t3ty x1

Ví dụ 1.32 Giải hệ phương trình sau

 fˆy2

.Giải hệ ta được nghiệmˆx; y ˆ4;4

e 1.33 Giải hệ phương trình sau

Với bài 2 ở trên ta có thể giải thông qua ví dụ sau

Ví dụ 1.34 Giải hệ phương trình sau

xy



5

 ˆ

xy

 y5yVới phương trình này ta xét hàm số fˆt t5

t, Từ đó sử dụng cách giải như các ví dụtrên ta tìm được nghiệm của bài toán là ˆx; y ˆ1; 1,ˆ1,1

Lấy phương trình (1) chia cho x3và phương trình (2) chia cho x ta được hệ

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Với những dạng này chúng ta cũng nghĩ ra cho mình những hệ phương trình hay và độcđáo

Cách giải loại này cũng cơ bản giồng nhau, ta thực hiện theo các bước sau

- Đầu tiên ta xét hàm đặc trưng y fˆt(hàm này thường đồng biến, hoặc nghịch biến)

- Giả sử hệ phương trình có nghiệm x@y(không giảm tính tổng quát), bằng suy luận (hàmđồng biến, nghịch biến) ta sẽ tìm thấy điều vô lý

- Từ đó suy ra hệ chỉ có nghiệm x y z

- Thay vào phương trình để tìm nghiệm

Để minh học cho dạng này ta đi xét một số ví dụ sau

Ví dụ 1.36 Giải hệ phương trình sau.

Giả sử x minˆx; y; zkhi đó xByfˆx Bfˆy yBzfˆy Bfˆz zBx Nên suy

ra xByBzBxx y z

Với x y z ta có phương trình x3

3x3lnˆx2x1 xx32xlnˆx2x1 0Xét hàm số pˆx x32xlnˆx2x1 pˆx là hàm đồng biến và có pˆ1 0 Suy raphương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệmˆx, y, z ˆ1, 1, 1

Chú ý.Ta cũng có thể mở rộng bài toán dạng hoán vị vòng quanh cho n biến

với f là hàm tăng, còn g là hàm số giảm (hoặc tăng) ta cũng

dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để suy ra x y z

Giả sửˆx, y, zlà nghiệm của hệ, không giảm tính tổng quát ta giả sử xCy Từ hệ phươngtrình trên ta suy ra gˆy Cgˆz yCzgˆz Cgˆx zCx

Như vậy xCyCzCxhay x y z

Thay vào hệ phương trình và giải ta tìm được nghiệm ˆx, y, z

Với cách giải hoàn toán tương tự ta cũng có thể giải các hệ phương trình sau.

1

2ˆt1

2, hàm này đồngbiến (ta chia ra hai trường hợp để xét)

Ở bài 2) Biến đổi về hệ hoán vị vòng quanh và xét hàm số fˆt

x x

Gợi ý 1) Xét hàm số fˆt

12

3

º

2t2

3t32) Đặt x tant sau khi biến đổi về hệ hoán vị vòng quang

Trên đây ta vừa xét một dạng của hệ hoán vị vòng quang Sau đây chúng ta xét một dạngkhác của hệ hoán vị vòng quanh Đó là hệ phương trình có dạng

Ta xét ví dụ đơn giản sau

Nhân cả 3 vế của 3 phương trình với nhau ta được phương trình

TH2: Nếu xyz 15 (Ta làm tương tự)

Bình luận Rõ ràng hệ này không khó và chắc rằng nó sẽ ít được sử dụng trong các kỳ thinếu chúng ta không "chế biến" thêm một chút Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.41 Giải hệ phương trình sau

đã biến đổi hệ phương trình một chút (công việc của ta là phải tìm lại hệ nguyên mẫu banđầu)

Thật vậy hệ trên tương đương với hệ

Đến đây thì việc giải chúng

không còn là khó khăn nữa

Với cách làm như vậy chúng ta cũng tự nghĩ cho mình một số hệ phương khác.!!!!!

e 1.42 Giải các hệ phương trình sau

Đây là loại phương trình và hệ phương trình cũng thường được dùng trong các kỳ thi

Về nội dung của loại này, ta chỉ dựa vào điều kiện A2

1.1.4 Về phương trình, hệ có số ẩn nhiều hơn số phương trình

Với các bài toán dạng này, chắc chắn chúng ta phải dùng phương pháp đánh giá, suyluận để tìm nghiệm (vì về nguyên tắc chúng ta không thể giải các phương trình, hệ phươngtrình khi số ẩn nhiều hơn số phương trình) Ta có thể giải các bài toán dạng này bằng cáchtìm ra một trường hợp đặc biệt hoặc biến đổi về dạng tổng bình phương của các biểu thứckhông âm

Để minh họa cho dạng này ta xét một số ví dụ sau

Ví dụ 1.44 Giải phương trình sau

y12

2

 ˆ º

e 1.46 Giải các phương trình sau

ln2x1

Ví dụ 1.50 Tính I S

π4

x, xuất hiện cosx và sinx Với bài toán dạng này ta có thể làm trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ Ta xét một số ví dụ sau

º

x2 4; HD Đặt t º

x2

4

1.1.7 Giải hệ bằng phương pháp đánh giá

Để giải một bài toán bằng phương pháp đánh giá thông thường ta sử dụng bất đẳngthức để so sánh với một giá trị nào đó Về nguyên tắc chung để giải một phương trình dạng

fˆx gˆxbằng PP đánh gia ta làm như sau

Ví dụ 1.54 Giải hệ phương trình sau

Trừ hai vế của phương trình ta được

ˆxyˆxy1 4ˆ

»

y1 º

x1

+ Nếu xAy ta suy ra V T A0còn V P @0(vô lý)

+Nếu x@y ta cũng suy ra vô lý

Vậy x y Giải tiếp ta được nghiệmˆx; y ˆ1; 1,ˆ2; 2

e 1.58 Giải hệ phương trình sau

e 1.61 Giải hệ phương trình sau

xy1 0Gợi ý Với những bài toán dạng này ngoài PP giải bằng dạng hệ đối xứng loại 2, chúng ta

có thể giải bằng hàm số để tìm ra được nghiệm x y (Các bạn xem thêm ở phần trên - giải

y7 4

º

y1 º

Lấy phương trình (1) chia cho x3và lấy phương trình (2) chia cho x, rồi cộng hai vế của haiphương trình với nhau ta được phương trình sau

y3

3y 1

x3 

3xVới phương trình trên có dạng fˆy fˆ

1x

 Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình.Chú ý: Chúng ta sử dụng kiến thức sau

Cho hàm số fˆxluôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên TXĐ Khi đó nếu có fˆu

12xy 3Gợi ý Ta đặt u 2xy, v 2xy Dễ thấy phương trình (1) là phương trình đẳng cấp bậc

x yº

y8º

y

x y 5

Gợi ý Từ phương trình (1) nhóm lại và bình phương 2 vế sau đó thế phương trình (2) vàophương trình (1)

Gợi ý Đặt y kx ta được hệ phương trình đẳng cấp

e 1.74 Giải hệ phương trình sau

y 4

Gợi ý Bình phương phương trình (2) sau đó rút xy và thay vào phương trình (1)

e 1.75 Giải hệ phương trình sau

Gợi ý Hệ đối xứng loại 1

e 1.76 Giải hệ phương trình sau

e 1.77 Giải hệ phương trình sau

Gợi ý Nếu ta chú ý thì thế y1ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được phươngtrình với 1 ẩn Giải phương trình này ta tìm được nghiệmˆx; y ˆ1;1,ˆ2;

Gợi ý Ta nhận thấy phương trình (1) là phương trình có nhân tử chung là xy

e 1.79 Giải hệ phương trình sau

1.1.9 Phương trình, bất phương trình, hệ có tham số

e 1.80 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Sx2S 2Sx3S 3Sx1S m

e 1.81 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin6xcos6x mˆsin4xcos4x

e 1.82 Tìm m để phương trình có nghiệm

cos2xsin2xmcosx1 0

e 1.83 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin4xcos4xcos2x

sin2

2x

Gợi ý chuyển về phương trình bậc hai đối với sin2x

e 1.84 Tìm m để phương trình sau có nhiều hơn 1 nghiệm x> ˆ0;π

2

ˆ1mtan2x

2cosx13m 0

Gợi ý Phương trình (ẩn t) phải có hai nghiệm dương

e 1.85 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin6xcos6x mSsin2xS

e 1.86 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

3sin2x3tan2xmˆtanxcotx 1 0Gợi ý Chuyển về phương trình đối xứng với tanx và cotx

e 1.87 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

e 1.92 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x> 4; 6

»

ˆ4xˆ6x Bx22xm

Gợi ý Đặt ẩn phụ t »

ˆ4xˆ6xđáp số mC6

Cách khác ta có thể thay một vài giá trị thuộc 4; 6để tìm tham số

e 1.93 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

S2x23x2S 5m8x2x2Gợi ý Xét hai trường hợp

e 1.94 Biện luận số nghiệm của phương trình x3 m

º

x2

1Gợi ý Lập bảng biến thiên và kết luận

e 1.95 Tìm m để phương trình có nghiệm x~kπ: sin4x mtanx

Gợi ý Chuyển về phương trình bậc hai với cos2x

e 1.98 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

e 1.99 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

log3 ˆx24mx log 1

3

ˆ2x2m1 0

Gợi ý Chuyển về phương trình bậc hai và xét các trường hợp

e 1.100 Tìm m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm x> ˆ0;π

4

ˆ46msin3x3ˆ2m1sinx2ˆm2sin2xcosx ˆ4m3cosx 0

e 1.101 Tìm m để phương trình sau có nhiều hơn 1 nghiệm x>

3π

8 ;

π

8.2cosx.cos2x.cos3xm 7cos2x

có nghiệm ˆx0; y0 

e 1.106 Cho phương trình

cos2x ˆ2m1cosxm1 0Tìm m để phơng trình có nghiệm x> ˆ

π

2;3π

2 

e 1.107 Tìm m để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x>R

m.4x ˆm12x 2

m1A0

e 2.4 Cho phương trình: cos2x ˆ2m1.cosxm1 0

a Giải phương trình khi m 3

e 2.5 Giải các phương trình sau.

a 4sin3

x8sin2

xsinx3 0

b 4ˆsin3xcos2x 5ˆsinx1

c cos3x3cos2x 2ˆ1cosx

e 2.6 Cho phương trìnhˆcosx1ˆcos2xmcosx m.sin2x

a Giải phương trình khi m 2

f sinxˆ1sinx cosxˆcosx1

e 2.8 Giải và biện luận phương trình 2mˆsinxcosx 2m2

cosxsinx

32

e 2.9 Giải các phương trình sau

e sinxcosx4sin3

x 0

e 2.12 Giải các phương trình sau

a sinx.cosx2ˆsinxcosx 2

b sin3

xcos3x

º

22

e 1sin2x cosxsinx

e 2.13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2x4ˆcosxsinx m

d 4ˆsin4xcos4x 4ˆsin6xcos6x sin24x m

e 2.17 Giải các phương trình sau

a cos2

xcos2

2xcos2

3x 32

a sinxsin2xsin3x 1cosxcos2x

b.1cosxcos2xcos3x 0

c.cosxcos2xcos3xcos4x 0

x2

b Tìm b để phương trình sau có nghiệm

cos2xsin2xbcosx1 0

2.2 Các bài toán phương trình Lượng giác trong đề thi

Phần này là tuyển chọn các đề thi thử Đại học phần lượng giác của các trường chuyêntrong toàn quốc năm 2012

e 2.26 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình sau

ˆ1tanxˆ1sin2x 1tanxGợi ý Đặt t tanx và biến đổi sin2x theo t

e 2.27 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: sinx4sin3

Gợi ý Chú ý cotxtanx 2cos2x

e 2.31 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình

º

2sinˆx

π4



e 2.35 Giải phương trình: cos10x2cos2

4x6cos3x.cosx cosx8cosx.cos2

3x

e 2.36 Giải phương trình: 5ˆsinxcosx sin3xcos3x 2

º

2ˆ2sin2x

Gợi ý Chuyển về phương trình tích * Các bài toán sau đây dùng hàm số để khảo sát hàm

fˆt, tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm

e 2.37 Biện luận số nghiệm của phương trình sau them tham số m

cos2

x ˆ1mcosxm1 0Với 0@x@π

e 2.38 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x> ˆ0;π

2

sinxcosx1

12

ˆtanxcotx

1sinx



1cosx

Gợi ý Đặt t sinxcosx

e 2.39 Biện luận phương trình sau theo m

a sin2x4ˆcosxsinx m

1cosx mGợi ý Đặt t sinxcosx

e 2.41 Cho phương trình 2

sin2x2tan2

x ˆ2m3ˆtanxcotx 4 0a) Giải phương trình khi m 1

e 2.43 Cho phương trình sin6xcos6

xtanˆx

1 4

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Chương 3

HÌNH HỌC - Biên soạn: Th.s Thân Văn Cương

3.1 Các bài toán về đường tròn 343.2 Các bài toán về điểm và đường thẳng 383.3 Các bài toán về phương pháp tọa độ hóa 453.4 Một số bài toán về hình cầu 503.5 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 52

3.1 Các bài toán về đường tròn

e 3.1 Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau

a Có tâm Oˆa, bvà bán kính R

b Có đường kính AB

c Có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng ∆

d Đi qua 3 điểm phân biệt

e Đi qua hai điểm A, B đồng thời có tâm thuộc đường thẳng ∆

e 3.2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ˆ∆  2x y 3 0 và hai điểm

Aˆ5, 1; Bˆ2, 4

a Lập phương trình đường trònˆCqua A, B và có tâm thuộc ˆ∆

b Viết phương trình tiếp tuyến tại A vói đường trònˆC

c Viết phương trình tiếp tuyến với ˆC, biết tiếp tuyến đi qua Dˆ1, 2 Tìm tọa độ tiếpđiểm

e 3.3 Viết phương trình đường tròn đi qua Aˆ1, 0 và tiếp xúa với hai đường thẳng

a CMR từ một điểm bất kỳ M củaˆ∆ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt vớiˆC

b Giả sử hai tiếp tuyến tớiˆCcó hai tiếp điểm là A và B CMR khi M chạy trênˆ∆thìđường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

a CMR đường thẳngˆ∆luôn cắtˆCtại hai điểm phân biệt A và B

e 3.10 Cho đương tròn ˆC x2y22x8y1 0 Viết phương trình tiếp tuyến của

ˆCbiết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳngˆ∆ 12x5y2 0

e 3.11 Trong mặt phẳng cho đường tròn ˆC  x2

e 3.13 Trong mặt phẳng Oxy cho đường trònˆC x2

y2

2x2y1 0và đường thẳng

ˆd xy3 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trênˆdsao cho đường tròn tâm M, có bán kínhgấp đôi bán kính đường tròn C và tiếp xúc ngoài với C

e 3.14 Trong mặt phẳng Oxy cho đường trònˆC  ˆx1

2

 ˆy2

2

4 và đường thẳng

ˆd  xy1 0 Viết phương trình đường tròn ˆCœ

 đối xứng với đường tròn ˆC quađường thẳngˆd x2 0

e 3.15 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ˆC x2

y2

4x2y20 0 Tìm tất cảcác tiếp tuyến của ˆCsong song với đường thẳng 3x4y 0

e 3.16 Tìm độ dài dây cung xác định bởi đường thẳng 4x3y8 0 và đường tròn tâm

Iˆ2; 1tiếp xúc với đường thẳng 5x12y15 0

e 3.17 Viết phương trình tiếp tuyến của đường trònˆC x2y24x2y1 0 kẻ từ

Aˆ0; 3

e 3.18 Viết phương trình tiếp tuyến của đường trònˆC x2y22x4y4 0, biết tiếptuyến đi qua Aˆ2; 4

e 3.19 Trong mặt phẳng cho đường trònˆC x2y24x8y5 0

a Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến này vuông góc với x2y 0

b Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng xˆm1ym 0tiếp xúc với đường tròn

e 3.20 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng ˆd1  2xy2 0 vàˆd2  2xy1 0.Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên Ox và tiếp xúc vớiˆd1 vàˆd2 

e 3.21 Trong mặt phẳng cho đường trònˆC x2

y2

2x6y6 0và điểm Mˆ2; 4.Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trungđiểm của AB

e 3.22 Trong mặt phẳng cho đường trònˆCm x2

a Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

b Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và có bán kính bằng 5

c Viết phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với AC

d Viết phương trình đường tròn đi qua B và tiếp xúc với các trục tọa độ