MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI * Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số thực a.. * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá tr

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau

A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính

số hạng trong hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu a c

b d thì ad = bc Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

2 3 5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5 Có thể viết a: b: c = 2: 3: 5

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

DS: a = –2,25; b = 0,75

Bài 9: Cho a b c

b c  c a ab Biết a + b + c ≠ 0 Tìm giá trị mỗi tỉ số đó

Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó

Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) + 2(ab + 1)] = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức

a bab

ax bx cP

  Chứng minh x y z

a  bc.

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

* Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số thực a

* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó

Nếu a ≥ 0  a a

a  0 a  a

Dạng 1: A(x) k trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước

– Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức

A(x) B(x)A(x) B(x)

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

và đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*)

* Cách 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối

A(x) B(x) (1)

Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) ≥ 0

Nếu A(x) < 0 thì (1) trở thành –A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) < 0

Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối

Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0

* Nếu m > 0 thì do A  nên 00  B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a x y 2 y 3 0 b (xy)22 y 1 0

Bài 2: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a x 3y  y 4 0 b 4

x y 5 (y 3) 0 c x 3y 1  3 y2  0Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a x4  y 2  3 b 2x 1  y 1  c 3x4  y 5  5 d 5x  2y 3  7

Bài 4: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a 3 x 5  y4  5 b x 6 4 2y 1 12 c 2 3x  y 3 10 d 3 4x  y 3 21Bài 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

Bài 6: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a x  y  3 b x 5  y 2  c 2x 14   y 4  d 3x3  y 5  4

Bài 7: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a 5 x 1  y 2  7 b 4 2x 5  y 3  5 c 3 x 5 2 y 1  3

d 3 2x 1 4 2y 1 7

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a  b  ab xét khoảng giá trị của ẩn số

Bài 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn

Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích

Bài 11: Tìm số nguyên x thỏa mãn

Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1



Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

6 x 1 8

 



 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x 7 4

  



 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A x 3  2x5  x7 b B x 1 3x4  x 1 5

c C x2 4 2x 5  x3 d D x3 5 6x 1  x 1 3

Bài 15: Cho x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 1  y 2

Bài 16: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức B x6 y 1

Bài 17: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 2x 1  2y 1

Bài 18: Cho 2x + y = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 2x3 y212

DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012

Bài 2: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 + + 99 – 100

a Tính A

b A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

c A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên?

Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +

a Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng?

b Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n?

b Chứng minh A chia hết cho 130

c A có phải là số chính phương không? Vì sao?

Bài 10:

a Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + – 32003 + 32004 Chứng minh 4A – 1 là lũy thừa của 3

b Chứng minh rằng B là một luỹ thừa của 2 với B = 2² + 2³ + + 22004

Bài 11:

a Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15

b Chứng minh rằng tổng 2 + 2² + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

Bài 12: Cho A = 2 + 2² + 23 + + 299 + 2100 Chứng minh A chia hết cho 31

Bài 13: Cho S = 5 + 5² + 53 + + 596

a Chứng minh S chia hết cho 126

b Tìm chữ số tận cùng của tổng S

Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 và B = 31.32.33 59.60

a Chứng minh B chia hết cho 230

b Chứng minh B – A chia hết cho 61

b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 1 1 1 2 2003

a S = 1 + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

b S1 = 1 + a² + a4 + + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

c S2 = a + a³ +a5 + + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + + 499, B = 4100 Chứng minh rằng 3A < B

Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:

e Tìm giá trị nhỏ nhất của E = |4x – 3| + |5y + 7,5| + 17,5

f Tìm giá trị lớn nhất của F = 4 – |5x – 2| – |3y + 12|

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI

Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản

0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)

Bài 2: Tính

a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)

Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số 116

99 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn đến hàng đơn vị



   với m là số tự nhiên

a Chứng minh rằng A là phân số tối giản

b Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

x 3







Bài 15: Cho A x 1

x 3





 Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài 16: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý

2 2

1

49

49 (7 7 )A

2 2

Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC

Bài 1 Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360°

Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB Vẽ phân giác AD, D thuộc BC Chứng minh góc ADC – góc ADB = góc B – góc C

Bài 3 Cho ΔABC có góc A = 60° Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại O

a Tính góc BOC

b Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I Tính góc BIC

Bài 4: Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC Biết góc A – góc B = góc B – góc C = 20°

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60° Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D Chứng minh rằng góc BDC = góc ACB

Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A gấp 2 lần góc B và góc B gấp 2 lần góc C

a Tính góc A; B; C

b Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C Tính góc AEC?

Bài 7: Cho ΔABC có các góc A; B; C lần lượt tỷ lệ với 3; 2; 1 Hỏi ΔABC là tam giác như thế nào?

Bài 8: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA Tìm

độ dài 3 cạnh của tam giác ABC

Bài 9: Cho góc xOy Trên tia Ox lấy A, B và trên Oy lấy C, D sao cho OA = OC; AB = CD Chứng minh rằng

b DC vuông góc với BE

Bài 16: Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Tia phân giác góc B cắt AC ở D Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB Chứng minh rằng AE = AK Bài 17: Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB Chứng minh A là trung điểm của MN

Bài 18: Cho tam giác ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ΔADB; ΔACE Kẻ

AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH Chứng minh

a DM = AH

b MN đi qua trung điểm của DE

Bài 19: Cho tam giác ABC Gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF Chứng minh rằng

Bài 28: Cho góc xÔy = 90° Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy Lấy điểm E trên tia đối Ox và điểm F trên tia Oy sao cho OE = OB và OF = OA

a Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF

b Gọi M, N là trung điểm AB, EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân

Bài 29: Cho tam giác đều ABC Trên 2 cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN Gọi O

là giao điểm CM và BN Chứng ninh rằng:

a CM = BN

b Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN

Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45° Vẽ phân giác AD Trên tia đối AD lấy AE = BC Trên tia đối CA lấy CF = AB Chứng minh

Bài 34: Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy

BE = BH Đường thẳng EH cắt AD tại F Chứng minh: FH = FA = FC

Bài 35: Cho tam giác ABC có góc A = 90° Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD tại B, ACF tại C

a Chứng minh rằng D, A, F thẳng hàng

b Từ D và F kẻ các đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC Chứng minh DD’ + FF’ = BC

Bài 36: Cho ΔABC có góc BAC = 120° Kẻ AD phân giác góc A Từ D hạ DE vuông góc với AB tại E; DF vuông góc với AC tại F

a Tam giác DEF là tam giác gì?

b Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, ACM là tam giác gì?

Bài 37: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB, AC lần lượt tại E và F Chứng minh

Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60° Đường cao BD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB; AC

a Xác định dạng của tam giác BMD và tam giác AMD

b Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AN Chứng minh CE vuông góc AB

Bài 39: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy 2 điểm M, N sao cho BM = BA; CN = CA Tính góc MÂN

Bài 40: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau

a Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

b Tam giác ABM là tam giác đều

Gợi ý: a Vẽ MI vuông góc AC

Bài 41: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 60° Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD = (1/2)BC Tính góc ADB

Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC

Bài 42: Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm và AC = 32 cm Trên cạnh AC lấy M sao cho AM

Bài 45: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, trên đó lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E sao cho

HE = AD Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F Chứng minh EB vuông góc EF

Bài 46: Một cây tre cao 9 m Bị gãy ngang thân Ngọn cây chạm đất và cách gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?

Bài 47: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5; 4); B(2; 3) và C(6; 1) Tính các góc ΔABC

Bài 48: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM cũng là phân giác

a Chứng minh tam giác ABC cân

b Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm Tính độ dài BC

Bài 49: Cho tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau

a Chứng minh tam giác đó đều

b Cho biết mỗi đường cao có độ dài a 3

2 Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó

Bài 50: Cho tam giác ABC cân tại A và Â = 80° Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC = 30°; góc OCB = 10° Chứng minh tam giác COA cân

Gợi ý: Vẽ thêm tam giác đều BCM sao cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC

Bài 51: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100° Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO = 30° Tính góc CAO

Gợi ý: Vẽ tam giác đều BCM sao cho M, A cùng nửa mặt phẳng bờ BC

Bài 52: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C Hai đường này cắt nhau tại D

a Chứng minh AD là phân giác góc A

b Hãy so sánh AD và CD

Bài 53: Cho tam giác cân ABC có AB = AC D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho

AD = AE Từ D và E hạ đường vuông góc với BC Chứng minh BM = CN

Bài 54: Cho góc xÔy trên Ox lấy điểm A Trên Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Từ A, B hạ đường thẳng AE; BF cùng vuông góc với tia OM Chứng minh AE = BF

Bài 55: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc với AC, AB, BC

a Chứng minh OE = OF = OG

b Tia AO cắt BC tại D Chứng minh rằng góc BOD = góc COG

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

A = x² + 4xy – 3y³ với x  và y5  1

Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức: B = 4x 9 4y 9

c C = 2a² – 3ab + b² với a 1 và b = 2

Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa

 

 với

1x2



Bài 6: Tìm các giá trị của biến để

a A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị bằng 0 b B = x² – 12x + 7 có giá trị bằng 7

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức A =

 Tìm các giá trị nguyên của x để E có

a giá trị nguyên b giá trị nhỏ nhất

Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau:

a A = (x – 3)² + 2 b B = (2x + 1)4 – 1 c C = (x² – 1)² + y 3 – 2

Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức A = x2  x 10

Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x, để biểu thức A = 10x 15

5x 1



 nhận giá trị nguyên Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b là các số nguyên Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) =

b B = –(12x + 3y) + (5x – 2y) – [13x + (2y – 5)]

Bài 19: Chứng tỏ

a Biểu thức x² + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x

b Biểu thức – 2x² + 3x – 8 không dương với mọi giá trị của x

Bài 20*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết

x 1





ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG

Bài 6: Tìm x biết: xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 (n là số nguyên dương)

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:

a 10n+1 – 66.10n b 2n+3 + 2n+2 – 2n+1 + 2n c 90.10k – 10k+2 + 10k+1

d 2,5.5n–3.10 + 5n – 6.5n–1

Bài 8: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm GTNN của M

Bài 9: Cho A = 8x5y3; B = –2x6y3; C = –6x7y3 Chứng tỏ rằng: Ax² + Bx + C = 0

Bài 10: Chứng minh rằng với n nguyên dương

a M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – 4

b 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b²



Bài 14: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) sao cho: abc bca cab = 666

Bài 15: Có số tự nhiên abc mà tổng abc bca cab là một số chính phương không?

Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên

Ví dụ: 9 = 3²; 225 = 15² được gọi là các số chính phương

Một số tính chất

a Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8

b Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2

Giả sử M = (10a + 5)² = 100a² + 100a + 25

Vì chữ số hàng chục của 100a² và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2

c Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ

Giả sử số chính phương N = a² có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6 Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự),

Khi đó (10b + 4)² = 100b² + 80b + 16

Vì chữ số hàng chục của số 100b² và 80b là chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ

d Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Giả sử A = axbycz trong đó a, b, c, … là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z, là các số nguyên dương thế thì A² = (axbycz )² = a2xb2yc2z

Từ tính chất này suy ra số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 64

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

a Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 với n nguyên

b Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n + 2 với n nguyên

Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k, khi đó (2k)² = 4k² là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k + 1, khi đó (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 là số chia cho 4 dư 1

Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1

Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k + 1, 3k – 1; khi đó bình phương của nó có dạng (3k)² = 9k² là số chia hết cho 3, hoặc có dạng (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1, (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1 là số khi chia cho 3 thì dư 1

Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

Ví dụ 2: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương

Cách 1 Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² là số chính phương

Cách 2 Nếu một số chính phương có M = a² có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a chia hết cho 2 nên a² chia hết cho 4

Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Từ đó, ta có:

Khi đó số 3n + 1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị 37; 73; 121; 181; 253

Trong các số trên chỉ có số 121 = 11² là một số chính phương

Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n = 40

Ví dụ 4: Chứng minh nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không thể là các số chính phương