KHAO SAT HAM SO DA GIAI

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ... Tìm m để hàm số có cực trị.[r]

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ.

Bài 1/ Cho hàm số

1

2 1 2









x

m x

a Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ;

b Tìm quỹ tích các điểm cực đại

HDGiải: a/ Hàm số có cực trị khi m > 0

b/ Ta có: D

2

m

m

là phần đường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1

Bài 2/ Cho hàm số:

1

1 2











x

x x

a Tìm m để (Dm): y mx 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó thuộc cùng một nhánh

b Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

1

x

  

       

 có một nghiệm x = 0 nên để hai giao điểm ở cùng một nhánh thì: m m/( 1)  1 1/(m1) 0  m 1

b/ Ta có:

x m m    m x x   y mx   x x    x  x  x 

Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là nhánh bên phải của đths

2

2 1

2 1

y

x

  



Bài 3/ Cho hàm số: yx33x2m2xm  C m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D) có phương trình

2

5 2

1



 x

HD Giải: Ta có: y' 3 x2 6x m 2 Để hs có cực trị thì   ' 9 3m2   0 3m 3 Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị thì x  I 1 Do pt của đt đi qua hai điểm cực trị là

2

2

m

y m  x m y m m Để các điểm cực trị của đths đx nhau qua (D) thì:

2

2

1 2

0

2 3

0; 1

2 1.1/ 2 5 / 2

m m





 





Bài 4/ Cho hàm số

1

8 2











x

m mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng 0

1

7

9x y 

HDGiải: Đặt F(x,y)= 9x-7y-1 Hàm số có hai điểm cực trị là: A( -2; m – 4 ) và B( 4; m + 8 ) Để hai điểm cực trị

này nằm về hai phía của đt trên thì: F(A).F(B)<0  ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0   3 m9 / 7

Bài 5/ Cho hàm số y x3 3x



a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (D): ymx 1  2 luôn cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định b) Tìm m để đường thẳng đó cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với

nhau

HDGiải: a/ Xét pt: x3 3x m x ( 1) 2  (x1)(x2 x 2 m) 0 Như vậy khi m thay đổi thì (D) luôn cắt đths(1) tại điểm A( - 1; 2 ) cố định

b/ Để (D) cắt đths(1) tại 3 điểm phân biệt thì pt x2 x 2 m0 (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1; do

đó m > - 9/4 và m 0 Khi đó x x B, C là hoành độ của B,C và là nghiệm của (*) Ta có: x B x C 1&x x B C m 2

Để tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì

'( ) '( ) 9(B C B 1)( C 1) 9 ( B C) ( B C) 2 B C 1 9 ( 2) 1 2( 2) 1 9( 2 ) 1

y x y x  x  x    x x  x x  x x     m   m    m  m 

1 2 2 / 3

m

   (thỏa mãn đk) Đó chính là những gt của m cần tìm

Bài 6/ Cho hàm số

x

x x

2





 (C) tìm trên đường thẳng x =1 Những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

HDGiải: Giả sử M(1;b) và pt của đt (D) đi qua M là: y = k(x – 1) + b Để (D) là tiếp tuyến của (C) thì pt sau phải

có nghiệm kép:

2

2

3 2

x

 

          ( vì pt không có nghiệm với x = 0 )

                   Để qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích bằng -1

2

(b 3) 8 1 b 3 7

       (TMĐK) Vậy trên đt x = 1 có 2 điểm TMYCBT là M(1; 3  7)

Bài 7/ Cho hàm số: y x4 x2 1  C







Tìm những điểm thuộc Oy mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới (C)

HDGiải: Gọi M(0; )b Oy và ptđt (D) qua M là y = kx + b Để (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm:

Bài 8/ Cho hàm số:

m

x

mx

x

y







a Tìm m để hàm số có cực

trị Khi đó hãy viết phương trình

đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

b Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với

nhau

HDGiải: a/ Ta có: y' ( x2 2mx m 28) /(x m )2 Để hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác m

2

' 2m 8 0 m 2

       (vì khi đó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ) Hai nghiệm của pt y’ = 0 là

x x y  x m y  x m Vậy pt của đt đi qua điểm CĐ và điểm CT là y = 2x + m

b/ Với m 2 thì đths luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ) Gọi hoành độ của hai giao

điểm này là x x1, 2  x1x2 m x x; 1 2 8 Để tt với đths tại hai giao điểm vuông góc với nhau thì:

Bài 9/ Cho hàm số yx33x2 4 (C)

Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số (C)

HDGiải: Gọi M a( ;0)Ox; đt (D) đi qua M có pt là: y = k(x - a) Để (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm:

3 4 ( ) & 3 6

       Để qua M có thể kẻ được 3 tt tới (C) thì pt sau phải có 3 nghiệm phân biệt

f x  x  a x  ax  Do 2

'( ) 6 6( 1) 6 0

f x  x  a x a khi x = 1 và x = a nên để pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì: f CD.f CT (a 2) (2 a1)(3a 5) 0  a   ( ; 1) (5 / 3;2) (2;  )

Bài10/ Cho hàm số:

1

1







x

x y

a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đths đều tạo với hai đường tiệm cận một đoạn thẳng mà tiếp điểm là

trung

điểm của nó

b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

c/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

x   1/ 6 0 1/ 6  f’(x) + 0 0 + 0

-f(x)

  1  

x  x  kx b k  x  x b x x  f x f x  x  x x x 

HDGiải: a/Do ' 2 2

( 1)

y x





 nên pttt với đths tại điểm ; 1

1

a

M a a





  là: 2( 2) 1

y

  Tt này cắt các tiệm cận

x = 1 và y = 1 tại các điểm: A(1;(a3) /(a1)), (2B a1;1) suy ra M là trung điểm của AB ( vì tọa độ trung điểm của AB bằng tọa độ của M )

b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận Ta có IA(a3) /(a 1) 1 4 /  a1 ;IB(2a1) 1 2  a1

/ 2 4

IAB

   không đổi ( đpcm )

c/ Ta có chu vi tam giác IAB: C IAB IA IA  IA2IB2 2 IA IB  2 IA IB 2 8 16 4( 2 1)  Vậy chu

vi tam giác IAB có giá trị nhỏ nhất bằng 4( 2 1) khi IA = IB tức (a1)2  2 a 1 2 Như vậy trên đths có hai

điểm TMYCBT là: M1(1 2;1 2),M2(1 2;1 2)

Bài 11/ Cho hàm số: ( )

2

5 4 2

H x

x x y







 Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D): 3xy 6  0 nhỏ nhất

HDGiải: Giả sử

( ; 2 1/( 2)),( 2) ( ;( )) 4( 2) 1/( 2) / 10 4( 2) 1/ 2 / 10

4 / 10 2 10 / 5 Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng 2 10 / 5 khi 4a2 1/ a2  a1,5; 2,5 ứng với hai điểm M1( 1,5;2,5), M2( 2,5; 2,5) 

Bài 12/ Cho hàm số:

1

3 3 2









x

x x

Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

HDGiải: Gọi A x y B x y( ; ), ( ; ) ( )(1 1 2 2  C x1  1 x2) Đặt

1 x a x, 1 b a b, 0;AB (a b) (a b 1/a 1/ )b

(a b ) 1 (1 1/   ab)  4 (2ab a b 2ab1) /a b 4(2ab1/ab2) 4(2 2 2) 8( 2 1)    Dấu bằng xảy ra

Bài 13/ Cho hàm số: 1 3 1

3

y x  x (C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trên (C) Tìm M thuộc cung AB của (C) sao cho diện tích ΔMAB lớn nhất

HDGiải: -Cách 1: pt đt AB là: 2x – y + 1 = 0 Gọi

( ;1 / 3) ( ; ) (9 ) / 3 5 ( ) / 3 5(0 3)

Ta có f x'( ) 9 3  x2  0 x 3(0 x 3) nên BBT của hs như

bên

Do đó: 13 5.2 3/ 5 3 3

2

MAB

MaxS   ứng với M( 3;1)

-Cách 2: Diện tích ΔMAB lớn nhất khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB Gọi M x y( ; )0 0 Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi 2

y x x  k   x   x  M

( ; ) 2 3/ 5

d M AB

3 5.2 3/ 5 3 3 2

MAB

- o0o -

x 0 3 3

f’(x) + 0 -

f(x) 2 3/ 5

0 0