Phương pháp giải toán khảo sát hàm số

Phương pháp giải toán khảo sát hàm số

NGUYỄN PHÚ KHÁNH

-oOo -

Phương pháp giải Toán 12

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

LƯU HÀNH NỘI BỘ

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

I GIỚI HẠN

1 Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (Un) có giới hạn L nếu mọi số dương ε cho trước, tồn tại số tự nhiên N sao cho n N∀ > ta có Un−L <ε Ta viết: lim n

14

lim1

x x

x

xxx

xxx

2 Các định lí cơ bản:

Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (với giới hạn của mẫu thức khác 0) của hai hàm số khi x x0 (hay x ∞ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn khi x x0 (hay x ∞ )

Định lí 2: Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng I chứa điểm x0 (có thể trừ tại điểm x0) Nếu trong khoảng đó: ( )g x ≤ f x( )≤h x( ) và nếu

x

xx

1

93

Định lí 3: Hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hàm số đơn điệu giảm và

bị chặn dưới thì có giới hạn

Nhờ định lí trên ta chứng minh được ( )1

ea

xx

sin ( )

1 2 2 4

t

t t t

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Dạng 1: Dạng vô định 0

0 Tính các giới hạn sau:

ln 1

x x

Dạng 2: Dạng vô định ∞

∞ Tính các giới hạn sau

=> y = f(x) liên tục bên trái tại điểm x = 0 và không liên tục bên phải tại điểm đó

=> y = f(x) liên tục bên phải tại điểm x = 0 và không liên tục bên trái tại điểm đó

II HÀM SỐ LIÊN TỤC:

1 Một số định nghĩa:

Định nghĩa 1: Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x0, nếu x0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số và

→ = thì hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên phải điểm x0

Ví dụ 1: Xét tính liên tục một bên của các hàm số sau đây tại điểm x = 0

Điều kiện: 1 2 0 1 0

0

xx

xx

- Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

- Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó và: + liên tục về bên phải điểm a

+ liên tục về bên trái điểm b

2 Các định lí quan trọng về hàm số liên tục:

• Hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu, tích, thương (g x( )0 ≠ ) là 0những hàm số liên tục tại x0

• Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có x1<x2∈( , ) ( )a b f x1 ≠ f x( )2 Khi đó, với mỗi số A nằm trong khoảng (f(x1), f(x2)) thì đều tồn tại điểm c∈( )a b, sao cho f(c) = A

Định lí này khẳng định sự tồn tại, nhưng không khẳng định sự duy nhất của điểm c, nghĩa là có thể có nhiều điểm khác nhau và khác c thuộc khoảng (a, b) nghiệm đúng f(x) = A

* Hệ quả: Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) có giá trị âm và có cả giá trị dương trên khoảng đó, thì phương trình f(x) = 0 tồn tại ít nhất một nghiệm x = c mà c∈( )a b,

Ví dụ 3: Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm

∆ ∆ thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm số

y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu 0

1/ Dùng khái niệm số gia của hàm số ( y∆ ) thì tính đặc trưng của hàm số liên tục y = f(x) tại điểm

x0 được nêu: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và liên tục tại điểm x0∈(a b, ) khi và chỉ khi

=> '(0 )f − ≠ f '(0 )+ nên hàm số cho không có đạo hàm tại điểm x = 0

Tìm a và b để hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = x0

* Muốn hàm số liên tục tại điểm x = x0, ta có:

Đạo hàm các hàm số cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp U = U(x)

U

′ =

3 Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)

• Đạo hàm cấp 1: y′= f x′( )

• Đạo hàm cấp 2: y′′= f′′( )x

• Đạo hàm cấp 3: y′′′= f′′′( )x viết ( ) 3 ( ) 3

• Đạo hàm cấp n: y( )n = f( )n ( );x n≥ 2

Ví dụ 4: Tính đạo hàm cấp n của x

II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Chứng minh bất đẳng thức

• Giải và biện luận bất phương trình, phương trình, hệ và hệ bất phương trình

• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

• Tính giới hạn bằng quy tắc L’Hopitale (Lôpitan)

Phần này tác giả có hai chuyên đề riêng: (học sinh tìm đọc)

Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm

Chuyên đề: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

** Chú ý quy tắc L’Hopitale:

1 Quy tắc thứ nhất của L’Hopitale: Khử giới hạn dạng 0

0 Nếu lim ( ) lim ( ) 0

3 Các giới hạn dạng 0

0 ;∞ ∞ − ∞,1 , 0∞ sẽ đưa về giới hạn trên

4 Quy tắc L’Hopitale chỉ là điều kiện đủ để tồn tại giới hạn lim ( )

( )

x a

f xx

ϕ

→ , do vậy nó không thể thay thế toàn bộ phương pháp thông thường

Vấn đề:DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐẠO HÀM

Cho hàm số y= f x( ) xác định trong lân cận x0

Đạo hàm bên phải

Hàm số co ùđạo hàm tại Đạo hàm bên trái

Khi đó: f x'( 0)= f x'( 0+)= f x'( 0−)

Cơ sở phương pháp giải toán

1 Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cách 1:

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

2 Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại x0

* Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0:

* Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x'( 0−)= f x'( 0+) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần tìm

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm các hàm số sau tại x0

4 f x( )=xsinx+3cosx tại x = x0

Học sinh có thể giải theo 3 bước sau:

0

lim

x

yx

∆ →

∆

∆

( )

2 2 2

xx

x

xx

f x ff

f x ff

Vì '(0 )f + ≠ f '(0 )− Vậy f không có đạo hàm tại x0 = 2

2 Tính đạo hàm các hàm số sau

b Ta có: f (1) = 0

sin 1

x liên tục tại x = -3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy

4 Cho hàm số f(x) xác định bởi:

a Liên tục tại x = 0

b Có đạo hàm tại x = 0

c Đạo hàm f ' (x) liên tục tại x = 0

= = Do đó, f(x) liên tục tại x = 1

* Cho biến số 1 số gia ∆ ≠ tại x = 1 x 0

Vậy hàm số liên tục tại x = -3

* Cho biến số 1 số gia ∆ ≠ tại –3 và x 0 ∆ = + x x 3

> = ⇒ liên tục tại x = 0 với α > 2

Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0

1 Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 1 thì f(x) liên tục tại x = 1 nên

  => f(x) có đạo hàm tại x = 1 khi b = 4, c = -2

2 Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 0 thì f(x) liên tục tại x = 0 nên

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Dùng định nghĩa để tính đạo hàm các hàm sau tại x0

e Không tồn tại f '(1) 0f =

2 Cho hàm số:

Cho hàm số: ( )

2

0( )

3 Tính đạo hàm các hàm số sau

'( )

22

x

f x

xx

b Neáu y=x e −1x thì x3y" + y = x.y'

c Neáu y = cos ex + sin ex thì y" + y.e2x = y'

d Neáu y x 34

x

−

=+ thì 2y' 2 = (y – 1) y"

1 CMR với t > 0, ta luôn có: lnt< t

1 Tìm m để phương trình x+ 9− = −x x2+9x m+ có nghiệm

1 Điều kiện: 0≤ ≤ Đặt x 9 x+ 9− = > ⇔x t 0 t2 = +9 2 x(9−x)

2 2

1 Tìm m để bất phương trình mx− x− ≤ +3 m 1 có nghiệm

2 Tìm a > 0 để bất phương trình: x− x− >1 a có nghiệm

3 Tìm m để bất phương trình (1 2+ x)(3−x)>2x2−5x+ +3 m thỏa mãn 1 3

0

0

1 Tìm m để hệ bất phương trình 332 2 1 0

−

28 27

−

f '(x) + + 0 -

−∞

+∞

=> f ' (v) nghòch bieán ⇒ ≥a min ( )f v = f(1) 5= ⇒ ≥ a 5

Tìm các giới hạn - dạng 0

sinlim

x

xx

→

0

tg sinlim

x

xx

( )1

ln 2

tăng trên khoảng ,

giảm trên khoảng 0,1 1,

3 35giảm trên 0; ; ;2

2 Tùy theo giá trị m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số

• m = 3 ⇒y' 0;≥ ∀ ∈ : Hàm số đồng biến x R

• m≠ ⇒3 y' 0= có 2 nghiệm phân biệt 1 1; 2 1 2 3

1giảm trên khoảng ;

mm

Hàm số

1tăng trên khoảng ; ;

1giảm trên khoảng ;

mm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Xác định m để hàm số y= f x( )=(m−3)x−(2m+1 cos) x luôn nghịch biến

Đáp số: D = ℝ : f x'( )=(m−3) (+ 2m+1 sin ;) x t=sinx

Xác định a để hàm số

a ( ) 1 3 ( 1) 2 ( 3)

3

f x = − x + a− x + a+ x đồng biến trong khoảng (0; 3)

b f x( )=x a x2( − )−a đồng biến trong (1; 2)

Xác định m để hàm số

a f x( )=x3−(m+1)x2−(2m2−3m+2)x+2m m( −1 đồng biến khi ) x≥2

Cho hàm số y f x( ) x m

x m

+

a Định m để hàm số (1) tăng trên từng khoảng xác định

b Định m để hàm số (1) tăng trong (− +∞1; )

f x

mm

3 2 2

21

f f

f

aS

d m≤ −2 3

* Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại 1

Hàm số đạt cực đại tại x = e

Xác định m để hàm số

a y′=cos3x m+ cos ;x y′′= −3sin3x m− sinx

Hàm số đạt cực tiểu tại

23

20

3

03

y

m

my

ππ

Với giá trị nào của m thì hàm số y= −2x m x+ 2+ có cực tiểu 1

"( ) 0

y xx

xm

=

−

1 Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1

1 Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn luôn qua với mọi m Tìm quỹ tích giao điểm của hai tiếp tuyến trên

2 Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của (C ) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): x2 + y2 – 2ax – 4ay + 5a2 – 1 = 0

1 Điểm cố định M1 (1, 0), M2 (-1, -2), y' = 3x2 + 2mx

Tiếp tuyến tại M1 có phương trình: y = (2m + 3) (x – 1) (T1)

Tiếp tuyến tại M2 có phương trình: y = (-2m + 3) (x + 1) - 2 (T2)

Giao điểm M của (T1), (T2) là: ( )( )

2 2

Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1, m là tham số

1 Với giá trị nào của m thì hàm số không có cực trị

2 Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 Với giá trị nào của a thì bất phương trình

x + x − ≤a x− x− có nghiệm

1 y' = 3mx2 + 6mx – (m – 1)

* m = 0 thì y' = 1 > 0, hàm số luôn đồng biến; không có cực trị

* m≠ Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y' không đổi dấu qua nghiệm 0

Nên hàm số f (x) đồng biến trong [1,+∞ ] ⇒ ≥ a 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Tìm các điểm cực trị của hàm số

=

+ đạt cực tiểu tại x= 3 1−

3.a Xác định a để hàm số y= −2x+ +2 a x2−4x+ có cực đại 5

3.b Tìm m (m > 0) để hàm số y x2 m x2 2m2 5m 3

x

= đạt cực tiểu tại một điểm thuộc khoảng (0, 2m)

4 a Cho hàm số 2 2 (cos 3sin ) 2 8 cos2( 1) 1

5.a Định m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

5.b Định m để hàm số y = mx4 – 2(m2 – 1)x2 + 3m + 2 có 2 cực tiểu và 1 cực đại

6 Định m để hàm số y = -x3 + 3(m + 1)x2 – (3m2 + 7m – 1)x + m2 – 1 đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

7 Cho hàm số 2 2 (4 2 1) 32 3 2

Tìm h để đường cong h h x 2 2

= ⇔ = ± đổi dấu khi x qua các giá trị đó

Muốn cho các điểm có hoành độ +a và –a là điểm uốn của đường cong xác suất thì 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

TÌM ĐIỂM TRÊN (C ) MÀ QUA ĐÓ KẺ ĐƯỢC TIẾP TUYẾN Bài 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 2 có đồ thị là (C ) Tìm các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến đến (C )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) ứng với m = 0

2 Tính phần diện tích giới hạn phẳng bởi (C ) và đường thẳng y = x + 2

3 Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

4 Với giá trị nào của m để trên đồ thị có 2 điểm đối xứng qua O

Bài 2:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số 1

1

xyx

+

=

− , có đồ thị là (C )

1 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với 2 đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

2 Tìm tất cả các điển thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất

Bài 2: