Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông

19 Chương 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ CỦA KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP.. Thực tế dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy học sinh còn rất kh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

THÂN VĂN KHOÁT

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT

VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC KHẢO SÁT HÀM SỐ

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

THÂN VĂN KHOÁT

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT

VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC KHẢO SÁT HÀM SỐ

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN HỌC)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2009

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Giả thuyết khoa học 3

3 Mục đích nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5

1.1.1 Vài nét về lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề 5

1.1.2 Những khái niệm cơ bản 6

1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 9

1.1.4 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trường THPT hiện nay 13

1.2 Phân tích chương trình, nội dung và mục tiêu dạy học KSHS lớp 12 THPT 15

1.2.1 Giới thiệu chương trình 15

1.2.2 Nội dung 16

1.2.3 Mục tiêu 17

1.3 Thực tiễn dạy học KSHS ở lớp 12 THPT 17

1.3.1 Điều tra qua giáo viên 17

1.3.2 Điều tra qua học sinh 19

Chương 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ CỦA KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 21 2.1 Định hướng chung 21

2.2 Tính đơn điệu cúa hàm số 22

2.2.1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 22

2.2.2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K 26

2.2.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình 32 2.2.4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức 40

2.3 Cực trị hàm số 45

2.3.1 Tìm cực trị của hàm số 45

2.3.2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị 49

2.3.3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 57

2.4 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số 65

2.4.1 Sự tương giao của đồ thị hàm bậc ba và trục hoành 66

2.4.2 Sự tương giao của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương và trục hoành 84

2.4.3 Sự tương giao của đồ thị hàm phân thức và đường thẳng 91

2.5 Sự tiếp xúc và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 99

2.5.1 Sự tiếp xúc 99

2.5.2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 114

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 135

3.1 Mục đích, kế hoạch và tổ chức thực nghiệm 135

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 135

3.1.2 Kế hoạch thực nghiệm 135

3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 135

3.2 Nội dung và kết quả thực nghiệm 136

3.2.1 Nội dung 136

3.2.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm 138

3.2.3 Ý kiến đánh giá của giáo viên 139

3.2.4 Những kết luận ban đầu rút ra được từ kết quả của thực nghiệm sư phạm 141

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 142

TÀI LIỆU THAM KHẢO 144

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay tốc độ phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ như vũ bão đòi hỏi con người muốn đáp ứng được yêu cầu của xã hội phải có năng lực giải quyết mọi vấn đề nảy sinh trong thực tế một cách nhanh nhạy và linh hoạt Để làm được điều đó thì năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cần phải được hình thành và rèn luyện từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường

Trong đường lối xây dựng và phát triển đất nước, Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm đến sự nghiệp giáo dục, coi sự nghiệp giáo dục là quốc sách hàng đầu Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai của BCH Trung ương Đảng khoá VIII đã chỉ rõ con đường đổi mới giáo dục và đào tạo là: “Đổi mới mạnh mẽ các phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, phát triển phong trào tự học, tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là thanh niên”

Tuy đạt được được nhiều thành quả trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo trong thời kỳ đổi mới vừa qua, như hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học trong cả nước, nhưng việc đổi mới phương pháp giáo dục vẫn còn nhiều bất cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trò chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ một cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét “dạy kiểu luyện thi” vẫn thường xảy ra Vì vậy xảy ra tình trạng học trò chỉ tiếp thu kiến thức do thầy giáo cung cấp một cách thụ động Trước tình hình đó, trong định hướng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện trong phát triển giáo dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục - Định hình qui

mô giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học, ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên các cấp”, “Tiếp tục đổi mới chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy và phương thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc biệt trong ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao”

Thực hiện theo đường lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây ngành Giáo dục và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề được đề cập và quan tâm như một biện pháp hữu hiệu để người học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo trong quá trình học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Phát huy tính tích cực của học sinh là hướng đổi mới đã được nhiều nhà sư phạm nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ

60 của thế kỷ XX phương pháp này đã được Phạm Văn Hoàn rất quan tâm trong việc dạy học môn Toán Đặc biệt gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu áp dụng phương pháp dạy học này theo những phạm vi, chủ đề nội dung cho những đối tượng học sinh khác nhau Điển hình là công trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác giả khác Tuy nhiên ở trường trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng vừa kể trên vào thực tiễn dạy học môn Toán còn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một cách

cụ thể

Mặt khác môn toán là môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tư duy trìu tượng, rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong chương trình giải tích lớp 12 THPT, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số giữ vai trò chủ đạo Nó chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian học của chương trình và đặc biệt là luôn có mặt trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng Bởi vậy việc nắm vững phương pháp giải các bài toán về khảo sát hàm số là rất cần thiết và bổ ích đối với học sinh lớp 12 THPT

Thực tế dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy học sinh còn rất khó khăn khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, chẳng hạn như: xét tính đơn điệu của hàm

số, cực trị hàm số, sự tương giao của hai đồ thị, sự tiếp xúc và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số…

Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp

12 trung học phổ thông”

2 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học một số chủ đề về khảo sát hàm số lớp 12 dựa trên những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động thì sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết

vấn đề, đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học nội dung này ở trường THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu mục tiêu, nội dung chương trình dạy học khảo sát hàm số và thực trạng dạy học nội dung này ở trường phổ thông

- Đề xuất phương án dạy học ở một số chủ đề của khảo sát hàm số theo phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

* Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên các cứu tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học và lý luận dạy học bộ môn Toán)

- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao

có liên quan đến nội dung khảo sát hàm số

* Điều tra quan sát:

- Dự giờ, tổng kết rút kinh nghiệm việc dạy học nội dung này

- Phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến chuyên gia, giáo viên, học sinh về thực trạng dạy học nội dung này ở trường phổ thông; nhận thức về phương pháp

dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề của giáo viên và kỹ năng vận dụng phương pháp này vào dạy học

* Tổng kết kinh nghiệm dạy toán từ những kinh nghiệm của bản thân và đồng nghiệp

* Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp được đề xuất trong luận văn

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học một số chủ đề của khảo sát hàm số lớp 12

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.1 Vài nét về lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

- Về mặt thuật ngữ: Trong hệ thống các phương pháp dạy học không truyền thống (tức là những phương pháp dạy học hiện đại) có một phương pháp dạy học,

có tác giả gọi là “dạy học nêu vấn đề”; có tài liệu viết là “dạy học giải quyết vấn đề” Vì vậy cần có sự giải thích về khái niệm này Theo Nguyễn Bá Kim, thuật ngữ

“dạy học nêu vấn đề” có nhược điểm:

Một là, nó có thể dẫn tới suy nghĩ lầm rằng vấn đề thầy giáo nêu theo ý mình chứ không phải nảy sinh từ lôgic bên trong của tình huống

Hai là, nó có thể hiểu là kiểu dạy học này chỉ dừng nêu ra vấn đề chứ không nói rõ vai trò của học sinh trong việc giải quyết vấn đề

Thuật ngữ “dạy học giải quyết vấn đề” khắc phục được nhược điểm thứ hai nhưng vẫn còn mắc nhược điểm thứ nhất Thuật ngữ “Phát hiện và giả quyết vấn đề” khắc phục cả hai nhược điểm trên nhằm nêu rõ hàm ý giúp học sinh phát hiện

và giải quyết vấn đề Thuật ngữ “Phát hiện và giải quyết vấn đề” nói lên bản chất của phương pháp dạy học này rõ hơn so với những thuật ngữ khác Vì vậy chúng tôi đồng ý với thuật ngữ này như Nguyễn Bá Kim, đó là “Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề”

-Theo Lerner thì thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” ra đời chưa được bao năm, việc nghiên cứu tư tưởng dạy học nêu vấn đề thật rầm rộ được bắt đầu chưa lâu lắm, nhưng các tư tưởng đó, dưới những tên gọi khác nhau, đã tồn tại trong giáo dục học hàng trăm năm nay rồi Sớm hơn nữa, các hiện tượng “nêu vấn đề” đã được Xôcrat (46- 399 trước công nguyên) thực hiện trong các cuộc tọa đàm Trong khi tranh luận, ông không bao giờ kết luận trước mà để mọi người tìm ra cánh giải quyết Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phương pháp dạy học này được nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông Đặc biệt công trình nghiên cứu của Ôkôn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([30], [31], [32]) “Ở Việt Nam, trong thời kỳ này phương pháp dạy học cũng có những ảnh hưởng và tác động đáng kể tới quá trình đổi mới phương pháp dạy và học ở nhà trường phổ thông, bởi những công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([2], [3], [14], [20]) Đặc biệt trong những

năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, trong bối cảnh của cuộc cách mạng công nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của nhà trường là phải đào tạo cho người học sinh, lực lượng lao động nòng cốt trong tương lai, có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề mới một cách độc lập Như vậy, phát hiện và giải quyết vấn đề không chỉ phụ thuộc phạm trù phương pháp dạy học, mà còn trở thành một mục đích của quá trình dạy học ở trường, được cụ thể hoá thành một thành tố của mục tiêu là năng lực giải quyết vấn đề, giúp con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội, “giải quyết vấn đề” cũng trở thành nội dung học tập của học sinh Định hướng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Trung

ương Đảng khoá IX ([8]), đã nhấn mạnh “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp giảng dạy, phương thức đào tạo,… nâng cao trình độ giáo viên các

cấp ” Những điểm nói trên chính là nhấn mạnh đến năng lực giải quyết vấn đề, phù

hợp với xu thế hiện đại về cải cách phương pháp dạy học của thế giới

- Tóm lại: Phát hiện và giải quyết vấn đề là một phương pháp dạy học có hiệu quả và được coi như là một trong những hướng ưu tiên trong định hướng về đổi mới phương pháp dạy học

- Năng lực phát hiện và giải quyết vần đề là một trong những năng lực then chốt, cần thiết cho mọi học sinh, đó là mục tiêu của quá trình dạy học

1.1.2 Những khái niệm cơ bản

a) Vấn đề

Một vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh

đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:

- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chưa được thực hiện)

- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra ([19,tr.16]) đồng thời, theo Ôkôn ([32,tr.101]), trong mỗi vấn đề phải có cái chưa biết, cái đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi mối liên

hệ giữa các yếu tố chưa biết và đã biết đó

Ví dụ: Bài toán tìm cực trị của hàm số 1 4 3

4

f x  x  x được đưa ra ngay sau khi học sinh mới học xong định nghĩa cực trị hàm số là một vấn đề, nhưng nếu bài toán đó được cho sau khi học sinh đã được biết về quy tắc tìm cực trị của hàm

số thì nó không còn là một vấn đề nữa

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:

+ Tồn tại một vấn đề

Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua Nói cách khác phải tồn tại một vấn đề, tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chưa biết và cũng chưa có trong tay thuật giải để tìm phần tử đó

+ Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng có sẵn một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra, và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết được vấn đề

+ Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân

Hay nói cách khác, trong tình huống gợi vấn đề chỉ nên chứa đựng khó khăn đúng mức; học sinh sẽ sẵn sàng vượt khó và tự giải quyết vấn đề “nếu khó khăn đúng mức” được thể hiện ở hai mặt sau:

- Một mặt, không để cho học sinh phát hiện ngay ra lời giải mà không cần tới

sự nỗ lực của tư duy

- Mặt khác, tình huống gợi vấn đề phải cho trước những dữ kiện nào đó để làm tiền đề xuất phát cho sự tìm tòi của học sinh

Sau đây là một ví dụ tình huống gợi vấn đề:

Ngay sau khi học sinh vừa được học về ý nghĩa hình học của đạo hàm và cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số, ta đưa ra bài toán: “Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

f x  x  x  biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;-9)” thì đây là một tình huống gợi vấn đề vì nó thỏa mãn các điều kiện kể trên

+ Ở đây tồn tại một vấn đề vì khi chưa được học phương pháp giải các bài

toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước thì học sinh chưa biết thuật giải để trực tiếp giải các bài toán đó

+ Vấn đề này gợi nhu cầu nhận thức và gợi được niềm tin ở khả năng bản thân, bởi vì bài toán trên cũng liên quan đến cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị hàm số mà học sinh đã được biết, học sinh nghĩ rằng có thể tích cực suy nghĩ dựa vào kiến thức đã biết đó thì sẽ có triển vọng giải được bài toán này

Học sinh sẽ gọi điểm M(x0;f(x0)) là tọa độ tiếp điểm rồi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M, sau đó cho tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;-9)

c) Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề được hiểu là sự tổ chức quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ

và hình thành cho các em năng lực tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa học mới ([18], [30])

Theo Ôkôn ([32, tr.103]) quá trình dạy học này gồm các hành động sau:

Bước 1: Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để giải

quyết vấn đề

Bước 2: Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề

Bước 3: Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá, củng cố

những kiến thức đã tiếp thu được

Tương ứng với các bước hành động đó của giáo viên, hành động học tập cơ bản của học sinh là: phát hiện được vấn đề nảy sinh trong tình huống có vấn đề, học sinh độc lập giải quyết vấn đề dưới sự điều khiển của giáo viên, thực hiện sự liên tưởng nhớ lại liên kết chúng với nhau để củng cố các kiến thức đã học Mục đích cuối cùng là học sinh nắm vững được tri thức và học được cách thức “tự khám phá” tri thức

d) Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những tình huống vấn đề - điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội được tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có đặc trưng cơ bản sau:

+ Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

+ Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ học sinh còn được học bản thân việc học

1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Điều quan trọng nhất của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề là việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề Quá trình này có thể chia thành các bước dưới đây, trong đó bước nào, khâu nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi thầy trình bày là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ thích hợp

Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thành 4 bước như sau:

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra, có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán

- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Tìm giải pháp

-Tìm một cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ dưới đây:

Bắt đầu Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp PPPPPPPP

đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi hợp lý

Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không

Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng

- Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần phát biểu lại vấn đề Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra trong nhà trường như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài toán dựng hình,

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề, và giải quyết nếu có thể

Về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, nhiều tài liệu hiện nay chỉ nói tới việc nêu vấn đề Như vậy là chưa đầy đủ Học trò còn phải tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề nữa

b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề

Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất là tạo ra tình huống gợi vấn đề Một số giáo viên nghĩ rằng dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề tuy hay nhưng có vẻ ít cơ hội thực hiện do khó tạo được nhiều tình huống gợi vấn đề Để xoá bỏ ấn tượng không đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi vấn đề rất phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng như sau:

(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc…)

Ví dụ: Khi học bài 1 “Tính đơn điệu của hàm số” ([27]) để dẫn đến định lý về mối

quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm, giáo viên có thể đưa ra tình huống gợi vấn đề như sau:

- Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

2

x

y 

x



O

O x - 0 +

y’

y 0

- -

x - 0 +

y’

y +

0 0

- + Nhìn vào đồ thị hãy điền các khoảng đồng biến, nghịch biến vào mỗi bảng ở trên? + Các em hãy xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng?

22

(ii) Lật ngược vấn đề

Ví dụ: Sau khi học sinh học xong định lý về mối quan hệ giữa tính đơn điệu

của hàm số và dấu của đạo hàm:

“Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng I

Nếu f’(x)>0 mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I

Nếu f’(x)<0 mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I

Nếu f’(x)=0 mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên trên I”

Ta có thể lật ngược vấn đề như sau:

“Khẳng định ngược lại với định lý trên có đúng không? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên I thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên

I không?”

(iii) Xem xét sự tương tự

Xuất phát từ kiến thức đã biết để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng cách tương tự hóa

(iv) Khái quát hóa

(v) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải

Người học có thể đứng trước một tình huống gợi vấn đề nếu được yêu cầu giải một bài tập mà người đó chưa biết thuật giải bài toán

(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải

Giáo viên đưa ra một lời giải (có thật hay hư cấu) để học sinh phát hiện sai lầm cũng tạo ra một tình huống gợi vấn đề

(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Sau khi thấy được một sai lầm khi giải toán, học sinh cũng được đặt vào một tình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sữa chữa sai lầm

c) Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là điều kiện là phương tiện tốt để đạt được mục đích quan trọng của nhà trường trong quá trình đào tạo lớp người lao động trẻ Nhưng thật là không đúng nếu vì thế mà kết luận rằng tất cả mọi phương pháp dạy và học đều phải trở thành phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Một điều rõ ràng là không có một phương pháp dạy học nào là vạn năng Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phương pháp dạy và học hiện đại, nó đòi hỏi phải có sự vận dụng thật sáng tạo trong những điều kiện dạy học, nội dung dạy học, đối tượng dạy học và môi trường sư phạm cụ thể

+ Khi thực hiện dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, yêu cầu giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức công phu (bởi vì, để đạt được kết quả cao của phương pháp dạy học này, giáo viên phải chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho nhiều đối tượng học sinh)

+ Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đông, tạo tình huống có vấn

đề một cách thật khéo léo; nếu không thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi một số lượng lớn học sinh

1.1.4 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay

a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán

Việc vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán, theo Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [14] có nghĩa là phải tổ chức việc dạy học toán sao cho các em luôn đứng trước những tình huống có vấn đề mang tính chất toán học phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi và phát hiện ra vấn

đề sáng tạo và những con đường để giải quyết những vấn đề đó (tự rút ra công thức

tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến thức cần lĩnh hội tự tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình, tự tìm ra cách giải hay và gọn những bài toán lí thuyết hay thực hành …) Kết quả là học sinh lĩnh hội được kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá

 Khi vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán cần phải chú ý khai thác sử dụng những khía cạnh sau đây:

- Khi dạy học khái niệm cần chú ý có hai con đường hình thành khái niệm đó là con đường quy nạp và con đường suy diễn Nói chung, người ta thường phối hợp hai con đường này trong quá trình hình thành khái niệm cho học sinh

- Khi dạy học định lý, cần chú ý có hai con đường để tiếp cần định lý là suy diễn

Khi thực hiện điều này cần chú ý hình thành và rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá

 Khi dạy theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề cũng cần chú ý vận dụng quan điểm “dạy học toán là dạy các hoạt động toán học”

b) Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Như đã trình bày ở trên với tư tưởng chủ đạo và cũng là mục đích của quá trình dạy học là tích cực hoá hoạt động học tập của người học, khi tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tự tìm hiểu, tự phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở là họ phải tự giác và được tự do, được tạo khả năng và được tạo điều kiện chủ động trong hoạt động đó

Đồng thời, khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học cần phải tham khảo các chọn lọc kinh nghiệm của thế giới đặc, biệt là phải bám sát các hướng đổi mới của

họ Chẳng hạn như thực hiện các phương pháp đổi mới dạy học sau:

+ Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

+ Dạy học hợp tác

+ Dạy học sử dụng phiếu học tập

+ Dạy học theo tư tưởng của lý thuyết kiến tạo

+ Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng các thành tựu của công nghề tin học nói chung

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng kể trên Sử dụng phương pháp dạy học này không đòi hỏi phải có sự thay đổi lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cơ sở vật chất hay trình độ giáo viên hiện nay Phương pháp dạy học này cũng tỏ ra phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học toán

Vì vậy, có thể coi phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những hướng quan trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

Luận văn của chúng tôi thực hiện theo hướng này, với việc áp dụng tinh thần của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề để dạy học nội dung khảo sát hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

1.2 Phân tích chương trình, nội dung và mục tiêu dạy học khảo sát hàm số lớp

12 THPT

1.2.1 Giới thiệu chương trình

Từ năm học 2006 – 2007, Bộ GD&ĐT tiến hành thay SGK, bắt đầu từ lớp 10.Theo đó có hai bộ SGK mới thay cho một bộ SGK của chương trình SGK chỉnh

lý hợp nhất năm 2000, đó là SGK dành cho chương trình cơ bản và chương trình nâng cao Đến năm học 2008 – 2009 bắt đầu thực hiện chương trình SGK mới của lớp 12 Trong chương trình SGK Giải tích lớp 12 nâng cao, chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” được nghiên cứu ở Chương I, chương này được phân chia làm 3 phần chính:

 Phần đầu cung cấp cho học sinh những khái niệm dùng để mô tả một số tính chất của hàm số như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, đường tiệm cận của đồ thị hàm số

 Phần thứ hai là khảo sát và vẽ đồ thị của một số loại hàm số thường gặp

 Phần thứ ba là một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

So với SGK 2000, nội dung của Chương này được giảm nhẹ hơn ở chỗ không xét tính lồi – lõm của đồ thị và chỉ nêu các ví dụ về khảo sát và vẽ đồ thị của 4 loại hàm số: 3 2

Đáng chú ý ở chương này là vấn đề đường tiệm cận Như đã biết, SGK Đại

số và Giải tích lớp 11 đã phân biệt các giới hạn tại + và tại -, cũng như các giới hạn + và - Điều đó dẫn đến những khác biệt ở Giải tích 12 so với SGK trước

đây khi xét tiệm cận

Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang, trước đây ta thường chỉ phải tìm một giới hạn

nay ta phải xét cả hai giới hạn và

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu chỉ cần một trong hai giới hạn đó là tồn tại và hữu hạn Cụ thể hơn, giả sử hai giới hạn đó lần lượt là y1, y2 thì khi y1 y2, đồ thị hàm số sẽ có 2 tiệm cận ngang là y=y1 và y=y2; còn khi y1=y2 đồ thị có một tiệm cận ngang y=y1

Điều đó cũng xảy ra tương tự đối với tiệm cận xiên

Cũng như vậy, khi xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất cả các điểm x0 sao cho một

là + hoặc - trong các giới hạn

Để giúp học sinh trình bày lời giải bài toán khảo sát hàm số được thuận tiện, các tác giả đã đưa ra một sơ đồ khảo sát hàm số cải tiến hơn so với sơ đồ truyền thống Cụ thể là trong bước thứ 2 (khảo sát sự biến thiên), việc tìm các giới hạn đặc biệt của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số được tiến hành trước sau đó mới tính đạo hàm, khảo sát chiều biến thiên, cực trị và điểm uốn Điều đó cho phép

bỏ qua việc lập riêng một bảng xét dấu của đạo hàm và học sinh chỉ cần lập duy nhất một bảng biến thiên của hàm số

1.2.2 Nội dung

Theo phân phối chương trình môn Toán THPT (thực hiện từ năm học 2008 – 2009) phần Giải tích 12 nâng cao, học sinh được học với số tiết là 90 Trong đó Chương I: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” có số tiết là 23, cụ thể như sau:

§1 Tính đơn điệu của hàm số 2 tiết

§3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 tiết

§4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ 1 tiết

§5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 tiết

1.2.3 Mục tiêu

Trong chương này,ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị, từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Mục tiêu của chương này là:

Kiến thức

Giúp học sinh nắm vững :

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;

- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;

- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm các giá trị đó;

- Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị;

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Kỹ năng

Giúp học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số, biết cách giải một số bài toán thường gặp về khảo sát hàm số

1.3 Thực tiễn dạy học khảo sát hàm số ở lớp 12 THPT

1.3.1 Điều tra qua giáo viên

Chúng tôi sử dụng phiếu điều tra tình hình dạy học khảo sát hàm số ở lớp 12 THPT với nội dung như sau:

PHIẾU ĐIỀU TRA

Để giúp chúng tôi hoàn thành đề tài “Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông” xin

các thầy cô giáo vui lòng giúp đỡ

Xin các thầy cô giáo tính dấu “۷” vào phương án mà thầy cô cho là đúng nhất, có 4 mức độ là:

A: Rất ít B: Ít

C: Vừa phải D: Nhiều

Ý kiến thăm dò giáo viên A B C D Thời lượng 23 tiết dành cho dạy học nội dung khảo sát

hàm số ở lớp 12 là như thế nào?

Thầy cô biết về phương pháp dạy học phát hiện và giải

quyết vấn đề?

Các thầy cô có thường xuyên sử dụng phương pháp phát

hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số ở

lớp 12 không?

Thời gian để thiết kế một bài dạy học bằng phương pháp

phát hiện và giải quyết vấn đề?

Các thầy cô có thường xuyên tập dượt, rèn luyện cho học

sinh cách phát hiện và giải quyết vấn đề không?

Qua thực tiễn điều tra cũng như tìm hiểu tình hình dạy học khảo sát hàm số ở một số trường THPT của huyện Việt Yên - Bắc Giang, đó là: Trường THPT Việt Yên số 1, Trường THPT Việt Yên số 2, Trường THPT Lý Thường Kiệt với khoảng

30 giáo viên dạy Toán, chúng tôi có một số nhận xét sau:

+ Nội dung khảo sát hàm số được trình bày cho học sinh THPT ở SGK Giải tích 12 nâng cao với thời lượng 23 tiết, thời gian như vậy là rất hạn chế so với nội dung rất phong phú và đa dạng của các bài toán về khảo sát hàm số

+ Nhiều giáo viên chưa nắm được rõ PPPH&GQVĐ cũng như các bước để thực hiện phương pháp dạy học này Vì vậy việc vận dụng PPPH&GQVĐ vào thực tiễn dạy học còn nhiều hạn chế, chưa đúng quy trình, dẫn đến hiệu quả dạy học chưa cao

+ Đa số GV chưa thực sự quan tâm đến việc dạy học vận dụng PPPH&GQVĐ Họ nghĩ rằng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề tuy hay nhưng

có vẻ ít cơ hội thực hiện do khó tạo được nhiều tình huống gợi vấn đề Mặt khác do sức ép của thời gian đứng lớp ít mà vẫn phải hoàn thành bài học theo đúng phân phối chương trình, do thói quen bảo thủ, tư duy lối mòn nên một số GV còn cho rằng dạy học bằng PPPH&GQVĐ là mất thời gian, chỉ mang tính hình thức, phức tạp không có hiệu quả bằng các PPDH truyền thống như thuyết trình, giảng giải…

+ Có một số ít GV giỏi, tâm huyết với nghề cũng đã vận dụng

PPPH&GQVĐ vào dạy học giúp học sinh tích cực, sáng tạo nâng cao chất lượng

học tập

+ Đa số các GV thiếu định hướng, chưa hệ thống được đầy đủ các dạng bài

tập về khảo sát hàm số

+ Nhiều GV chưa chú trọng quan tâm đến việc dạy tri thức phương pháp và

rèn luyện cách thức phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề cho học sinh

1.3.2 Điều tra qua học sinh

Sau khi GV dạy theo đúng phân phối chương trình, trong tiết cuối của bài 2: “Cực trị của hàm số” (Chương I-SGK GTNC12), chúng tôi tiến hành khảo sát thăm

dò học sinh bằng bài kiểm tra 15 phút như sau:

Đề bài: Cho hàm số 2 ( 1) 1

1

x m x m y

x



 (m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số trên có điểm cực đại và cực tiểu tạo với gốc tọa độ O một

tam giác thỏa mãn:

a) Tam giác đó vuông tại đỉnh O

b) Tam giác đó nhọn tại đỉnh O

Kết quả:

+ Câu a: Đa số học sinh làm được câu a, tìm được điều kiện để hàm số có cực trị,

tìm được tọa độ điểm cực trị A và B, từ đó tìm được điều kiện cần và đủ để tam giác

OAB vuông ở O (Sử dụng OA OB  0hoặc sử dụng định lý Pitago)

+ Câu b: Đa số học sinh không làm được câu b, các em chưa định hướng được

hướng giải quyết bài toán Một số rất ít học sinh sử dụng định lý cosin: “ΔOAB

nhọn ở O  osAOB=OA +OB -AB2 2 2

2.OA.OB

C >0” nhưng biến đổi khá dài và phức tạp, chưa

đi đến kết quả cuối cùng Chưa có em nào phát hiện ra nhận xét: “ΔOAB nhọn ở O

OA OB  0”

Kết luận:

Qua kết quả làm bài của học sinh ở bài kiểm tra trên ta thấy rằng: Câu a của

đề bài là một câu cơ bản, thường gặp trong SGK,SBT nên học sinh dễ dàng làm được Còn câu b thực chất cũng tương tự câu a nhưng chỉ đòi hỏi tư duy uyển chuyển, sáng tạo một chút Điều đó cho thấy, tình hình vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học nói chung và dạy học khảo sát hàm

số nói riêng còn nhiều bất cập, học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, mà nguyên nhân chủ yếu là do học sinh không nắm vững

cả về kiến thức và phương pháp tư duy, chưa biết cách phát hiện và giải quyết vấn

đề Chính vì thế mà trong quá trình dạy học giáo viên phải có ý thức rèn luyện cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh tập dượt cách gợi vấn đề và giải quyết vấn đề thì mới khắc phục được tình trạng nói trên Điều đó sẽ được thể hiện cụ thể trong Chương 2 và trong ý tưởng thực nghiệm

Chương 2:VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN

ĐỀ TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ CỦA KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12

2.1 Định hướng chung

Chương này trình bày việc vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn

đề trong dạy học khảo sát hàm số theo các chủ đề Trong từng chủ đề việc phát hiện

và giải quyết vấn đề được gợi mở, nảy sinh, bổ sung theo sự phát triển của các tình huống khai thác bài toán Mỗi chủ đề sẽ được dạy trong các tiết luyện tập, ôn tập, phù hợp với lí thuyết và theo phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo

Trong mỗi chủ đề chúng tôi tiến hành qua các bước:

- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

Trước hết chúng tôi lựa chọn đưa ra các tình huống có vấn đề, sau đó hướng dẫn học sinh từng bước tìm cách giải quyết vấn đề Sau mỗi tình huống giáo viên giúp học sinh phát hiện, mô tả các bước giải quyết vấn đề

- Đề xuất và trình bày giải pháp

Từ các tình huống đã nêu, giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện và đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu sâu giải pháp

Gợi ra một số vấn đề liên quan khác bằng cách: Từ một số ví dụ, một số dạng toán liên quan yêu cầu học sinh khái quát hoá, đề xuất phương pháp giải quyết từng dạng toán đó, cũng có khi là củng cố cách giải quyết vấn đề đã nêu

- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng

Các bài tập ở đây giúp học sinh tự luyện tập, vận dụng theo cách giải quyết vấn

đề đã có ở trên, đồng thời phát hiện và giải quyết vấn đề mới nảy sinh

Trong quá trình xây dựng, lựa chọn bài tập chúng tôi chủ yếu dựa vào sách giáo khoa, sách bài tập và một số đề thi đại học, cao đẳng, đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây theo mức độ từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao nhằm:

.Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

Rèn luyện cho học sinh thói quen và các kĩ năng phát hiện, xây dựng, vận

dụng các phương pháp giải quyết vấn đề Qua đó học sinh dần hình thành và phát triển khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề

Củng cố kiến thức, rèn luyện các kĩ năng giải toán

2.2 Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung về tính đơn điệu của hàm số học sinh đã được học ở Bài1 “Tính đơn điệu của hàm số” thuộc Chương I-SGK GTNC12 (SGK mới thực hiện từ năm 2008) Trong bài này học sinh được ôn lại về định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến, học sinh được biết điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng, nửa khoảng hoặc trên một đoạn Trước đó học sinh đã biết cách xét dấu của tam thức bậc hai, biết cách giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức, các tính chất của bất đẳng thức

Sau đây chúng tôi trình bày về việc vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua một số dạng toán thường gặp về tính đơn điệu của hàm số

2.2.1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

* Để học sinh phát hiện và giải quyết được những vấn đề trong dạng toán tìm các khoảng đơn điệu của hàm số chúng tôi tiến hành theo thứ tự các bước như đã trình bày ở phần định hướng chung,cụ thể là:

- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

- Đề xuất và trình bày giải pháp

- Nghiên cứu sâu giải pháp

- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng

Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

(!)Ta có thể dựa vào tính liên tục của hàm số f’(x) trên R:

Do hàm số f’(x) liên tục trên R nên f’(x) giữ nguyên một dấu trên mỗi khoảng

Do đó ta có bảng biến thiên nhƣ sau:

Vậy hàm số đồng biến trên ( 1;   ),

1 '

1

x y

(?)Ở đây y’ đƣợc cho bởi 2 biểu thức, các em đã biết cách xét dấu biểu thức y’ nhƣ vậy chƣa?

(!) Chƣa

(?) Vậy ta phải xét dấu y’ nhƣ thế nào?

(!)Ta sẽ xét dấu từng biểu thức của y’ trong khoảng xác định của nó

* Từ bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách xét dấu f’(x) đƣợc cho bởi nhiều biểu thức ?

(!) Để xét dấu f’(x) đƣợc cho bởi nhiều biểu thức ta sẽ xét dấu từng biểu thức của y’ trong từng khoảng xác định của nó

Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp

(?) Từ các ví dụ và nhận xét nêu trên, hãy nêu phương pháp giải quyết bài toán tìm các khoảng đơn điệu của hàm số?

(!) Phương pháp giải quyết vấn đề:

Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y=f(x) ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hàm số.Tính y’ và tìm ĐKXĐ của y’

Bước 2: Giải phương trình y’= 0

Bước 3: Xét dấu y’

Để xét dấu y’ thông thường ta sử dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai, phương pháp khoảng, giải trực tiếp các bất phương trình f’(x)>0, f’(x)<0,…Tuy nhiên, trong trường hợp phức tạp ta có thể xét dấu hàm số f’(x) dựa vào tính liên tục như sau: “Nếu hàm số f’(x) liên tục trên tập xác định của nó thì giữa 2 điểm tới hạn kề nhau x1và x2 hàm số f’(x) giữ nguyên một dấu” (Điểm tới hạn là điểm thuộc tập xác định của hàm số y=f(x) mà tại đó f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định)

Trong trường hợp f’(x) được cho bởi nhiều biểu thức ta sẽ xét dấu từng biểu thức của f’(x) trong từng khoảng xác định của nó

Từ đó lập bảng biến thiên của hàm số và suy ra kết luận

Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp

*Vận dụng phương pháp giải quyết vấn đề ở trên để giải các bài toán sau:

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

Do hàm số f’(x) liên tục trên D nên f’(x) giữ nguyên một dấu trên mỗi khoảng (0; 1), (1; e) và( ; e  )

y’ đƣợc cho bởi 2 biểu thức,

ta sẽ xét dấu từng biểu thức của y’

trong khoảng xác định của nó

x y x

c) Hàm số y  x3 x cosx4 đồng biến trên R

d) Hàm số y  c os2 x  2 x  3 nghịch biến trên R

2.2.2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K

* Ở đây ta chỉ xét đến các loại hàm số thường gặp trong chương trình môn toán THPT, đó là: hàm bậc ba, hàm bậc bốn trùng phương, hàm số y ax b

Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên R

(?) Dựa vào mối quan hệ giữa sự biến thiên của hàm số và dấu của đạo hàm, các em

có thể đề xuất phương hướng giải quyết bài toán này như thế nào?

(!) Ta cần tìm điều kiện để f x'( )x22mx 2 m  0với   x R

(vì dấu bằng xảy ra tại nhiều nhất hai điểm x thuộc R)

(?)Điều kiện tương đương là gì?

(!)Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai,ta có:

* Hầu hết học sinh đã cho rằng lời giải trên là đúng, không phát hiện được sai lầm trong lời giải đó Vấn đề ở đây là học sinh đã bỏ qua bước cơ bản trong lời giải bài toán, đó là: Tìm điều kiện để hàm số đã cho xác định trên (0;  )

* Lời giải đúng như sau:

Muốn hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;  ) thì trước tiên ta cần tìm điều

Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp

(?) Từ các ví dụ trên hãy nêu phương pháp giải quyết các bài toán xác định tham số

(!) Phương pháp giải quyết vấn đề

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hàm số y=f(x) Tính f’(x) và điều kiện xác định của nó Bước 2: Tuỳ theo yêu cầu bài toán mà ta sẽ đưa ra điều kiện thích hợp:

Hàm số y=f(x) đồng biến trên miền K



)

e K d

f'(x) 0 x (DÊu b´ng chØ x°y ra t³i h ÷ u h³n ®iÓm x

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên miền K



)

e K d

f'(x) 0 x (DÊu b´ng chØ x°y ra t³i h ÷ u h³n ®iÓm x

Bước 3: Giải các điều kiện và kết luận

Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp

Ví dụ 3 (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên R) Cho hàm số:

(?)Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó ?

.(!) Hàm số y=f(x) nghịch biến trên các khoảng xác định của nó  y ' 0  ,  x m

Vậy không có giá trị m thoả mãn

Chú ý: Các bài toán dạng này thường dẫn đến việc áp dụng nội dung định lí thuận

về dấu của tam thức bậc hai

(?)Nêu điều kiện để hàm số y=f(x) nghịch biến trên (1;) ?

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên (1;  )      y ' 0 x (1; )

Khi đó g x ( ) 14 0     x R   m 0 loại

Trường hợp 2: m > 0

Khi đó đồ thị hàm số y=g(x) là một parabol có bề lõm quay lên trên nên miền nghiệm (nếu có) của bất phương trình g x ( ) 0  có độ dài hữu hạn, dó đó không thể xảy ra g x ( ) 0       x (1; ) m 0 không thoả mãn

Trường hợp 3: m < 0

Khi đó g(x) là một tam thức bậc hai có   ' 4 m2 14 m  0 với   m 0

Phương trình g(x)=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x1<x2

Phương trình g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1  x2 1

 Phương trình có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn t1  t2 0

Chú ý: Các bài toán tìm điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu trên miền I thường

dẫn đến việc so sánh 2 nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g x    ax2 bx c  với

số   R Điều này cần sử dụng đến nội dung định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, nhưng định lí này đã bị cắt bỏ trong chương trình SGK lớp 10 mới (thực hiện từ năm 2006) Để khắc phục được điều này ta có thể đưa về việc xét dấu các nghiệm của 1 tam thức bậc hai bằng cách đặt t  x - , ví dụ 5 ở trên là một ví dụ minh hoạ

Tuy nhiên, một số bài toán có thể được giải bằng phương pháp hàm số Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:

Lập bảng biến thiên của g(x) trong

[1] Với giá trị nào của a hàm sốyaxx3 nghịch biến trên R

[2]Tìm các giá trị của tham số a để hàm số 1 3 2

b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1

2.2.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Tính đơn điệu của hàm số là một trong những công cụ rất hữu hiệu để giải các phương trình và bất phương trình Tuy nhiên đây là phần kiến thức nâng cao đối với học sinh phổ thông, vì vậy để học sinh phát hiện được phương pháp giải phương trình, bất phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, trước

tiên ta cần giới thiệu cho học sinh biết 2 tính chất cơ bản về tính đơn điệu của hàm

số bằng cách từng bước hướng dẫn để họ phát hiện được 2 tính chất này

* Tính chất 1: Xét phương trình f(x)=g(x) xác định trên tập DR

(?) Nếu trên tập D, hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngược nhau thì các em

có nhận xét gì về số nghiệm (nếu có) của phương trình f(x) = g(x)?

(!) Có thể giả sử f(x) là hàm đồng biến trên D còn g(x) là hàm nghịch biến trên D Khi đó đồ thị hàm f(x) là một đường đi lên từ trái sang phải còn đồ thị hàm g(x) là một đường đi xuống từ trái sang phải, do đó nếu chúng cắt nhau ( tức là phương trình f(x) = g(x) có nghiệm) thì chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất, tức là phương trình f(x) = g(x) chỉ có một nghiệm duy nhất

(?)Từ đó các em hãy nêu tính chất tổng quát?

Tính chất 1: Xét phương trình f(x)=g(x) xác định trên tập DR

Nếu trên tập D, hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngược nhau hoặc f(x) là hàm đơn điệu còn g(x) là hàm hằng mà x=x0 là một nghiệm của phương trình thì x=x0 sẽ là nghiệm duy nhất của phương trình

* Tính chất 2: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên tập DR

(?) Với u v ,  D, nếu f u ( )  f v ( ) thì các em hãy so sánh u và v?

(!) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì theo định nghĩa ta có :

f u  f v   u v

Nếu f(x) là hàm nghịch biến trên D thì: f u ( )  f v ( )   u v

(?) Với u v ,  D, nếu f u ( )  f v ( ) thì các em hãy so sánh u và v?

(!) Từ hai ý trên ta có: f u ( )  f v ( )   u v

(?)Từ đó các em hãy nêu tính chất tổng quát?

Tính chất 2: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên tập DR

a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

* Để giúp học sinh phát hiện được phương pháp giải quyết các bài toán về sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta sẽ xuất phát từ một số ví dụ

cụ thể sau đây

Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề

Do đó hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngược nhau trên D

(?) Có thể nhẩm được một nghiệm của phương trình không? Từ đó suy ra kết luận? (!) Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (1)

Vậy theo tính chất 1 thì x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

* Giáo viên giúp học sinh mô tả, phát hiện các bước giải bài toán trên:

Bước 1: Tìm TXĐ của phương trình: DR

Bước 2: Xét tính đơn điệu của hai hàm số là vế trái và vế phải của phương trình trên

D và chỉ ra rằng chúng có tính đơn điệu ngược nhau trên D:

(!) Ta có: f t '( )  2 ln 2 1 0t   với   t R

Hàm số f(t) đồng biến trên R

(?) Do đó theo tính chất 2, f x(  1) f x( 2x)tương đương với điều gì?

(!) f x(  1) f x( 2x) x   1 x2 x (x1)20  x 1

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x=1

* Giáo viên hướng dẫn học sinh mô tả các bước giải bài toán trên:

Bước 1: Tìm TXĐ của phương trình D=R

Bước 2: Đưa phương trình đã cho về dạng f(u)=f(v) với u v ,  R đồng thời chứng minh rằng hàm số f t( ) 2t t đơn điệu trên R

Bước 3: Từ đó: f u ( )  f v ( ) u=v

Giải u=v để tìm được nghiệm của phương trình đã cho

Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp

(?) Từ các ví dụ và nhận xét ở trên, hãy nêu phương pháp chung để giải các bài toán

về sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình?

(!) Phương pháp giải quyết vấn đề:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có thể triển khai theo 2 hướng sau đây:

Hướng thứ nhất: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm TXĐ của phương trình, giả sử TXĐ là D

Chuyển phương trình đã cho về dạng: f x ( )  g x ( )

Bước 2: Xét tính đơn điệu của hai hàm số f(x) và g(x) trên tập D

Chứng minh rằng chúng có tính đơn điệu ngược nhau hoặc f(x) là hàm đơn điệu còn g(x) là hàm hằng trên D

Bước 3: Nhẩm được 1 nghiệm x = x0 của phương trình.Từ đó nêu kết luận

Hướng thứ hai: Thực hiện theo các bước:

Bước1: Tìm TXĐ của phương trình

Bước 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: f u ( )  f v ( ) với u v ,  K

Đồng thời chứng minh rằng hàm số f(t) đơn điệu trên tập K

Bước 3: Từ đó,giải u = v để tìm được nghiệm của phương trình đã cho

Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) x2 2 x   5 2 x   1 x   1 3 (1)

b) (2 x  1)(2  4 x2 4 x   4) 3 (2 x  9 x2  3) 0 (2)