UNG DUNG CUA TICH PHAN

Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân 1.[r]

Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân

1 Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x)

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường

y = f(x) ;

y = 0

x = a; x = b (a < b)

Công thức tổng quát: b ( )

a

S  f x dx (1)

Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây

a) Nếu f x( ) 0,   x [a,b], ta có b ( )

a

S f x dx

b) Nếu f x( ) 0,   x [a,b], ta có b ( )

a

S f x dx

c) Nếu f(x) tùy ý, khi đó…trong thí dụ sau, ta có b ( ) d ( ) b ( )

Sf x dx f x dxf x dx

2 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

y = f(x)

y = g(x)

x = a; x = b (a < b)

Công thức tổng quát: b ( ) ( )

a

S  f x  g x dx (1)

Từ (1) suy ra các công thức hay dùng sau đây

a) Nếu f x( ) g x( ),  x [a,b], ta có b ( ) ( )

a

S  f x  g x dx

b) Nếu f x( ) g x( ),  x [a,b], ta có b ( ) ( )

a

S  g x  f x dx

c) Trong trường hợp chung, giả sử trong thí dụ sau, ta có

 ( ) ( )  ( ) ( )

S  f x  g x dx g x  f x dx

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự khép kín

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự khép kín Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm A, B có hoành độ tương ứng a, b Khi đó

( ) ( )

b

a

S  f x  g x dx

4 Thể tích của vật thể

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi

y = f(x) S: y = 0

x = a; x = b (a < b)

Công thức tính b 2

a

V=f (x)dx

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi

y = f(x) S: y = g(x)

x = a; x = b 0 g x( ) f x( )

Công thức tính b 2 2

a

V=f (x)-g (x) dx

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox, ở đây S được cho bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tự cắt Giả sử y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là a, b a b  Giả sử 0 g x( ) f x( ) [a,b]

x

  Khi đó

a

V=f (x)-g (x) dx

- Tìm thể tích vật thể V sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy, ở đây S được cho bởi

y = f(x) S: y = f(a)

x = 0

y = f(b) Giả sử y = f(x)  x = f (y) -1 , khi đó V=f(a)f(b)f (y) dy-1 2

5 Sơ lược về bất đẳng thức tích phân

- Giả sử f(x) và g(x) xác định và liên tục trên [a,b] sao cho f x( ) g x( ),  x [a,b]

Khi đó ta có b ( ) b ( )

a f x dx a g x dx

- Nói riêng, nếu gọi M max f(x), x [a,b]; m = min f(x), x [a,b], khi đó ta có

a

M b a f x dx m b a 