ứng dụng của tích phân

Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và tính chất của nguyên hàm.... Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thường gặp và tính chất của tích

Phạm Hồng Phong

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

Hà Nội – 2012

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 3

Loại 1 Khái niệm nguyên hàm 3

Loại 2 Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và tính chất của nguyên hàm 5

Loại 3 Phương pháp đổi biến số 9

Loại 4 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần 11

CHỦ ĐỀ 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 13

Loại 1 Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thường gặp và tính chất của tích phân 13

Loại 2 Phương pháp đổi biến 15

Loại 3 Phương pháp tích phân từng phần 21

CHỦ ĐỀ 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 22

Loại 1 Tính diện tích hình phẳng 22

Loại 2 Tính thể tích vật thể 25

Cho hai hàm số f và F liên tục trên  a;b Nếu F là nguyên hàm của f trên  a;b thì ta có thể

chứng minh được F cũng là nguyên hàm của f trên  a;b

* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm nào đó của hàm số f trên K Khi đó +) Với mỗi hàng số C, hàm số yF x C cũng là một nguyên hàm của f trên K

+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K đều tồn tại hằng số C sao cho

G x F x C với mọi xK

Từ đó suy ra F x C, C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K Họ tất cả các nguyên

hàm của f trên K được ký hiệu là f x dx  Như vậy

Để F có đạo hàm tại 1 thì trước hết F liên tục tại 1       

* Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 0dxC

neáu

1 x

xdx x dx x xC

2 2x

3) sin x cos xdx ĐS: cos 2x

4  16 C 6)  sin 2x cos 2x dx 6  6  ĐS: 5x 3sin 8x

8  64 C 7) cos 2x 3 .cos 2x4dx ĐS: 1   1

8 sin 4x12 2 x sin 12 C 8) 2 x

2

sin dx

2 2 C 9) 2 x

1 2x

dx 3

5) x 2 1 2x dx 3 6) x x 3 44dx 7) x x 6 77dx 8) x x 2 31dx 9) 3x x 2 3 31dx 10) x x 3 21dx 11) 2x

20) sin x cos xe 3 sin x 2 dx

21) cos x e sin xcos x dx

22) x tan x e  sin x cos x dx

24) 1 3 ln x ln x dx

x



4 2

2 8

Diễn giải phương pháp: Xét tích phân

b a

I g(x)dx Giả sử bằng một số biến đổi nào đó, ta thu được

2 2 0

x dx

Bài 7 Tính tích phân e

1

ln xdx x(ln x 1)(ln x 2)

Bài 8 Tính tích phân

e 1

ln x 2 ln x 1

dx x(ln x 1)(ln x 2)

Bài 10 [ĐHD05] Tính tích phân 2 sin x

tan xdx I

Bài 21 [ĐHB08] Tính tích phân 4

0

sin x dx

4 sin 2x 2(1 sin x cos x)

sin x cos x

dx sin x cos x

cos 2x

dx (sin x cos x 3)

2 Phép đổi biến tn f (x)

Bài 1 Tính tích phân

1

3 2 0

x 1 xdx

7



Bài 9 [ĐHB04] Tính tích phân

e 1

1 3 ln x ln xdx x

3 2

3 3 2

Bài 5 Tính tích phân

2 2 2

2 0

Bài 7 Tính tích phân

1 2 0

Loại 3 Phương pháp tích phân từng phần

Bài 1 [ĐHB09] Tính tích phân

3

2 1



Bài 2 [ĐHD08] Tính tích phân

2 3 1

ln x dx x

2 0

x e dx

x2

2 4 0

S f y dy

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y  g x 

Bài 5 Tính diện tích của hai phần đường tròn 2 2

(C) : x y 8 chia bởi parabol (P) : y 22x

Bài 8 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2

(P) : y4xx và các tiếp với (P) tại

Bài 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

V f (x)dx

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

 và y 27

x

 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

Bài 4 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 28x và x2 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên

1) quay quanh Ox

2) quay quanh Oy

ĐS: 16 (đvtt), 899

32

 (đvtt)

Bài 5 Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi x 2 2

Bài 11 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx(x 1) 2 và y0 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS:

105



(đvtt)

Bài 12 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x

yxe , y0 và x1 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

ĐS:  e 21 (đvtt)

Bài 14 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  3

yx ln 1 x , y0 và x1 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox