BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong II.TÍNH THỂ TÍCH 1.
Trang 1Câu hỏi kiểm tra bài cũ: Tính tích phân sau:
Bài giải: Ta có:
( ) ( )
−
−
−
−
−
=
−
=
−
2 3
2 2
3
2 3
3 3
2
2
3
x x
3
4 2
3
8 2
3
8
=
− +
−
=
-1
-2 -1
y =x 2 -1
0
x y
∫
−
−
= 2
2
2 1 )
I
∫
−
−
= 2
2
2 1 )
I
Trang 2BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
II.TÍNH THỂ TÍCH
1 Tính thể tích của vật thể
2 Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt
III THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY
Trang 3BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y = f(x) liên tục trên trục hoành và hai đường thẳng x = a
x = b được tính theo công thức
( )
∫
= b
a f x dx
S
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng trong các trường hợp sau:
a Đồ thị của hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x
= -2, x = 1
b Đồ thị của hàm số y = x3 - 1, trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x = 2
-1
-2 -1
y =x 2 -1
0
x y
Trang 4BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Bài giải ví dụ 1:
Ta có:
∫
∫
−
=
2
2
)
f S
b
a
Hàm số y= x2 luôn dương với mọi x do đó
1
2
3 1
2
2
3 −
−
=
= ∫ x dx x
1 -2
y =x 2
y
3 3
8 3
1
= +
=
( )
3
2 3
=
(đvdt)
Diện tích hình phẳng đã cho là:
a
Trang 5BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Ta có : x3 −1≤ 0 trên đoạn [ 0 ; 1 ] và x3 −1≥ 0 trên đoạn
]
2
;
1
[
Diện tích hình phẳng đã cho là:
∫
0
3 1 )
f S
b
a
∫ − + −
−
=
2
1
3 1
0
3 1 dx x 1 dx x
2
1
4 1
0
4
4
4 + −
−
−
2
7 2
1
−
−
− +
−
−
4
1 2
4
2 1
4
2
b
Trang 6BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
các đường thẳng x = a, x = b Khi đó diện tích S của hình D là:
( ) ( )x g x dx f
S b
a
=
2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và
CHÚ Ý
Khi áp dụng công thức trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân Muốn vậy, ta giải phương trình f(x) –g(x) = 0
trên đoạn [a; b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi đó f(x) –g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b]
y = f(x) y
x
y = g(x)
O
Trang 71 2
0
y
-2 1 3
5 3
y = x 2 +1
y = -x+3
BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Trên mỗi đoạn, chẳng hạn trên đoạn [a; c], ta có
( ) ( ) ∫ [ ( ) ( ) ]
c
a
c
a f x g x dx f x g x dx
Tính diện tích hình phẳng trong các trường hợp sau:
b Đồ thị của hàm số y = x2 + 4
và y = 4x+1
Ví dụ 2:
a Đồ thị của hàm số y = x2 + 1
và y = - x + 3
Bài giải ví dụ 2:
Trang 8BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là:
∫
−
−
2
2 1
2
2 1
2
2 1 x 3 dx x x 2dx x x 2 dx x
S
( ) ( ) ( )
−
−
− +
−
−
− +
=
− +
=
−
2
2 2
2 3
2 1
.
2 2
1 3
1 2
2 3
2 3
2 3
1
2
2
3
x
x x
2
9 2
9 4
2 3
8 2
2
1 3
1
=
−
=
−
− +
− +
3 1
−
=
=
2
1
x x
a Xét phương trình hoành độ giao điểm
Trang 9BÀI 3:ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1 4
4
=
=
⇔
3
1
x
x
b Xét phương trình hoành độ giao điểm
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là:
( x ) dx x x dx (x x )dx x
1
2 3
1
2 3
1
+
−
−
+
−
=
+
−
2
1 4 3
1 3
.
3 2
3 4 3
3 3
2
4 3
2 3
2 3
3
1
2
3
x
x x
3
4 3
4 3
2 3
1 9
18
