Tài liệu Ứng dụng của tích phân

* Chú ý : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ và sử dụng công thức 2... II Thể tích của các vật thể:... Thể tích của khối tròn xoay sinh r

1/ Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn

bởi : y = f(x) liên tục, y = f(x) 0 trên [a;b], Ox, x = a, x = b

S = F(b) – F(a) (Với F(x) là một nguyên hàm của f(x)

trên [a;b])

2/ Nhắc lại công thức Niutơn-Laipnit (Định nghĩa tích phân xác đinh)



b a f(x).dx = F(x)|ab = F(b) – F(a)

y = f(x)

O

y

x

S = 

b a f(x).dx

Nếu y = f(x) liên t c, y = f(x) ục, y = f(x)  0 trên [a;b],thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b như thế nào?

y = f(x)

S  0

a



 ( )





 b

a f x dx

s ( )

TH1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b]

Y= f(x)

TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] :

A

B

C

D

Y=f(x)

Y= - f(x)

A

C D

'

A

'

B

' '

A B CD

S

ABCD

S

dx x

f

a





dx x

f

a



1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), hai đường thẳng x = a, x = b và Ox là:

I) Diện tích của hình phẳng:

S = 

b a

|f(x)|.dx

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y= sinx , trên đoạn [0;2] vàOx

x

y

Ta có:

S = 

2

0 |sinx|.dx = 

 0 sinx.dx -  sinx.dx

2



= -cosx|

+ cosx |2 = 4 (đ.v.d.t)

2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai

hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức:

I) Diện tích của hình phẳng:

(2)

S = 

b a

|f 1 (x)- f 2 (x)|.dx

y = f 1 (x)

y = f 2 (x)

y

S = 

b a

|f 1 (x)- f 2 (x)|.dx

Ví dụ :

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 -3x và y = x

Giải :

Xét PT hđộ gđiểm:

 x 3 - 4x = 0



x 3 -3x = x

x= 0

x= 2

x= -2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

S= |x3- 4x|.dx

2

-2 = 0 (x3- 4x)dx

0

(x3- 4x)dx



= -2x2)

4

x4

|( |0

-2| + -2x2)

4

x4

|( |2

0 |

= |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (đ.v.d.t)

 

x dx= x dx x dx

S -x dx x dx

S





3

y x 

X=-2

X=1

Ox

Ví Dụ:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị h/s ,trục hoành

và 2 đường thẳng x = -2 , x=1

Lời giải

3

y x

 

x dx= x dx x dx

S -x dx x dx

S





* Chú ý : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ và sử dụng công thức (2)

y x

1

3 1

2

1 2

1

x dx =

S

3 S

4

MAB

x S

MA AB S

S S





3

y x

Ví Dụ:

Tính dthp giới hạn bởi:

Đồ thị h/s ,trục hoành

và đường thẳng y=-x+2

3

y x

2

y  x

3

y x 

2

y   x

1

Lời giải

1

3 1

2

1

x dx =

S

3 S

4

MAB

x S

MA AB S

S S





3

y x

II) Thể tích của các vật thể:

1/ Công thức tính thể tích

II) Thể tích của các vật thể:

V= 

b a S(x)dx

y

S(x)

2/ Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối chóp cụt:

II) Thể tích của các vật thể:

(SGK)

3/ Thể tích của vật thể tròn xoay:

O

y

x

y = f(x)

a) Vật thể trịn xoay được sinh ra

khi cho y = f(x) ltục trên [a;b],

x = a, x = b quay quanh Ox cĩ

thể tích:

V= 

b a

y 2 dx (1)

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho S quay xung quanh Ox được tính bởi công thức :

y=f(x)

y=0

X y

O

Ví dụ:

1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn

bởi đồ thị hàm số y= sinx , trên đoạn [0;] quay quanh Ox

Ta có:

sin 2 xdx



 0

0





dx 2

cos2x

-1

V =

|0

(x - )

2

sin2x

=

2

π

= (đ.v.t.t)

2

 2

x y

2/ Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1  x  4

4

1

3 4

3

16 + x 2

-x 5

1

Giải :

∫

4

1

2 3

4 - 8 x + 16 x dx x

= π

∫

4

1

2

2 - 4 x dx x

=

V π

(đ.v.t.t)

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho S quay xung quanh Oy được tính bởi công thức :

b a

x=g(y) x

y

O

4 2 0 0

2



Giải:

Áp dụng công thức ta có:

0



 

2

0

sin 2ydy



 

os

2

0

1

c 2y 2



Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V 

V được tính bởi công thức : b

y=g(x) a

y=f(x)

3.Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường :

Với f(x) > g(x) ≥ 0 x [a,b]a,b]

 













 



x a

x b

y f(x)

y g(x)

HX

O y

x

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

2

4

x

4

×

Vậy thể tích cần tính là:

2

2

1

4

16



0 0

Giải

256 3

-1

1 2 3 4 5 6

x y

O

A