SKKN GIUP HS HOC HINH HOC 9

Đề tài đưa ra được sự đổi mới về phương pháp giảng dạy loại bài luyện tập trong tiết luyện tập một cách nhẹ nhàng, giúp học sinh cảm thấy một giờ luyện tập không nặng nề, nhàm chán, khô [r]

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

đó một cách hệ thống, liên tục và đặc biệt là tư duy lôgíc Vì vậy việc vận dụng lý thuyếtvào bài tập gặp rất nhiều khó khăn Hơn nữa trong ba phân môn toán ở bậc THCS, mônhình học có tính trừu tượng cao Để giải quyết bài toán hình thực sự dựa trên phương diện lýluận sử dụng trực quan trên hình vẽ Để hiểu thấu đáo môn hình học phải dựa trên phươngdiện quĩ tích Nghĩa là với mỗi trường hợp của bài toán cho ta một kết luận và nhận xétriêng hoặc có những trường hợp đặc biệt học sinh thường hay ngộ nhận Đặc biệt hơn khihình vẽ suy biến hoặc kẻ thêm đường phụ nó đã trở thành bài toán khác hẳn và khó khănhơn trong việc tìm tòi và giải bài toán

Có một lí do thường gặp là học sinh chỉ giải xong bài toán - tức là đóng tròn vai (nhưthế đã là tốt với học sinh học môn hình học) coi như đã hoàn thành mà rất ít em tư duy khaithác bài toán, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để phát triển nó thành bàitoán khác

Trong đề tài này, với khả năng và kinh nghiệm của bản thân tôi muốn rằng: Từ mộtbài toán quen thuộc trong chương trình học ở bậc THCS qua một số thao tác thay đổi mộtvài yếu tố hoặc đưa nó thành bài toán tổng quát hoá; hoặc đặc biệt hoá nhằm phát triển tưduy hình học của học sinh Ta sẽ cung cấp được nhiều điều lí thú cho học sinh trong quátrình giảng dạy

2 Mục đích của đề tài:

Trong đề tài này trước hết nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp cho họcsinh cĩ kĩ năng cơ bản để giải bài tốn hình học, từ đĩ phát triển thành bài tốn lên ở mức

độ cao hơn

Thứ hai thơng qua khai thác bài tốn giúp các em biết nghiên cứu sâu bài tốn bằngcách cho các em tập dượt dùng một số thao tác tư duy: Khái quát hố, đặc biệt hố, tươngtự,… để tự mình đặt , thay đổi bài tốn từ bài tốn ban đầu

3 Khách thể, đối tượng, phương pháp nghiên cứu và đối tượng khảo sát:

Khách thể: Trong đề tài này tơi thực hiện việc giảng dạy mơn tốn hình thơng qua

học sinh lớp 9

Đối tượng: Bài tập trong SGK, sách bài tập và sách nâng cao.

Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp cơ bản để thực hiện đề tài này là sử dụng

phương pháp phân tích đi lên để khai thác bài tốn, phương pháp tổng hợp để rèn kĩ năngtrình bày cho học sinh Sau đĩ sử dụng phương pháp khái quát hố, tương tự, đặc biệt hố,

… để khai thác và phát triển bài tốn ở mức độ cao hơn Phương pháp nghiên cứu tài liệunhằm thơng qua thực tiễn áp dụng phương pháp giảng dạy bài tập rút ra kinh nghiệm,Phương pháp đánh giá kết quả

Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9B, 9C,9D trường THCS Nguyễn Thị Minh Khaithành phố Buôn Ma Thuột

Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 9 với mức độ tư duy ở mức trung bình ở lớp trựctiếp đang dạy và lớp khác trong trường

4 Nhiệm vụ, phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:

Vấn đề này đặt ra tưởng như đơn giản nhưng lại hết sức phức tạp mà tơi và các đồngnghiệp đã từng tranh luận và bàn bạc nhiều Để được nĩ địi hỏi phải tư duy nghiêm túc,phải lao động thực sự Do vậy trong đề tài này tơi mong đạt được 2 nội dung sau:

1 Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh;

2 Giúp cho học sinh cĩ phương pháp suy luận lơgíc để tìm hiểu mối liên hệ, liênquan giữa các bài tốn

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

2

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

Từ đó tạo cho học sinh có phương pháp học tập đúng đắn, biến cái đã học (kiến thứccủa thày) thành cái của bản thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển nó đúng hướng Qua

đó giúp các em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú và say mê học môn hình học

Phạm vi của đề tài tác giả chỉ mong muốn trong mỗi giờ lên lớp tiết hình học, thôngqua các bài tập trong SGK, sách bài tập, sách nâng cao

Thời gian thực hiện của đề tài: Sau khi kết thúc năm học 2009-2010 tôi rút kinhnghiệm và nêu ý tưởng thực hiện đề tài

Tháng 11 năm 2010 viết đề cương

Tháng 2 năm 2011 viết hoàn thiện đề tài

5 Đóng góp mới về mặt khoa học của đề tài:

Đề tài đưa ra được sự đổi mới về phương pháp giảng dạy loại bài luyện tập trong tiếtluyện tập một cách nhẹ nhàng, giúp học sinh cảm thấy một giờ luyện tập không nặng nề,nhàm chán, khô khan, khuôn mẫu mà đã làm cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ độngsáng tạo trong giờ học trên lớp

Phần thứ hai NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: Cơ sở khoa học, cơ sở thực tiễn của đề tài

Cơ sở khoa học:

Như chúng ta đều biết, khi mới xuất hiện, hình học là một khoa học về đo đạc, quamột số các đối tượng, vật cụ thể trong thực tiễn đã dần dần được khái quát thành những kháiniệm trừu tượng: Với 3 khái niệm cơ bản không được định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặtphẳng Từ đó môn hình học dần dần trở thành một môn khoa học suy diễn, tức là môn khoahọc mà những kết luận đúng đắn đều được chứng minh bằng lập luận chặt chẽ chứ khôngbằng cách qua thực nghiệm như những môn khoa học thực nghiệm khác

Môn hình học bản thân mang tính lập luận, tính trừu tượng cao Nhưng để học sinh

vẽ, vật cụ thể,… để học sinh nắm bắt và hiểu bản chất của vấn đề Điều đĩ rất đúng bởi quátrình tư duy của con người bao giờ cũng tuân theo quy luật đĩ Như Lê Nin đã khẳng định

"Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đĩ là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí của sự nhận thức khách quan".

Trong quá trình dạy học mơn Tốn người thày cần thấm nhuần nguyên lí giáo dục:

"Học đi đơi vời hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xãhội"

Thơng qua mơn tốn, học sinh tiếp cận và tiếp thu các mơn học tự nhiên khác Bởidạy mơn Tốn cho học sinh khơng những truyền thụ kiến thức cho các em mà quan trọnghơn là dạy tư duy

Cơ sở thực tiễn:

Hình học là mơn học rất khĩ, trừu tượng cao đối vời học sinh bậc THCS Trong hìnhhọc phẳng nĩi chung học sinh đều cảm thấy cĩ ít nhiều khĩ khăn

Chương II:

Thực trạng vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến

Trong quá trình giảng dạy mơn tốn bậc THCS, với nhiều năm trong nghề tơi thấytình trạng chung là học sinh khơng thích thậm chí là sợ mơn hình Vì lí do khĩ hiểu, mắctrong quá trình tìm tịi lời giải bài tốn, mất phương hướng và khơng biết để chứng minh bàitốn thì bắt đầu từ đâu, làm như thế nào

Trong quá trình giảng dạy mơn hình ngay trong mỗi tiết học người thày khơngthường xuyên tạo thĩi quen, rèn thĩi quen cho học dùng phương pháp phân tích đi lên đểtìm lờp giải bài tốn thì học sinh dần dần học sinh sẽ khĩ tiếp thu, khơng tự giải được bàitốn hình

Nghiên cứu nguyên nhân, tơi thấy cĩ mấy điểm dưới đây:

1 Học sinh chưa nắm chắc những khái niệm cơ bản

2 Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống kiến thức đường thẳng, khơng tổnghợp từng loại, từng dạng làm cho học sinh khĩ nắm bắt cách giải các bài tốn

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

4

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

3 Trong SGK các bài toán mẫu thường là ít, hướng dẫn gợi ý chưa thật đầy đủ nênkhó tiếp thu và nghiên cứu

4 Học sinh thường chỉ học "Vẹt" các định lí và quy tắc

Trong các trường THCS hiện nay, tình hình phổ biến là đại đa số học sinh khôngthích học môn hình học Điều này theo tôi nghĩ có thể là do nhiều nguyên nhân Nhưng theotôi là giáo viên chưa chuẩn bị một cách chu đáo một giờ luyện tập, thông qua đó củng cốkiến thức cơ bản cho học sinh, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào bài tập, kĩ năng trìnhbày, hơn thế nữa rèn tính sáng tạo, phát triển tư duy toán học cho học sinh

Như vậy muốn có một giờ luyện tập tốt, theo tôi phải lưu ý mấy vấn đề sau:

- Chọn hệ thống bài tập như thế nào cho một giờ luyện tập;

- Phải sắp xếp hệ thống các câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở);

- Phải tổ chức tốt và thể hiện vai trò chủ đạo của người thày;

- Sau mỗi bài cần tập dượt cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải (nếu có)

Tôi xin được đề cập đến vấn đề: "Khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy toán

học của học sinh"

Nội dung chính của bài viết tôi bắt đầu từ một số bài toán đơn giản trong chươngtrình lớp 9 bậc THCS rồi phát triển nó rộng ra ở mức độ tương đương, phức tạp hơn rồi caohơn nhưng vẫn phù hợp với tư duy lôgíc của các em để tạo cho các em niềm say mê học tậpmôn toán đặc biệt là môn hình học

Chương III:

Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài

Từ bài tập số 7 trang 134 (SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2009), sau khi họcsinh được làm, tôi đã thay đổi thành bài toán có nội dung như sau:

Bài toán 1: Cho ∆ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của BC Trên cạnh AB, AC theo

thứ tự lấy M, N sao cho góc MON = 600

a) Chứng minh

4

2

a CN

BM  ;b) Gọi I là giao điểm của BN và OM Chứng minh BM.IN = BI.MN;

c) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Phân tích bài toán:

4

2

a CN

hệ thức, chính vì vậy việc hướng dẫn học

sinh tìm lời giải bài toán hết sức quan

trọng nhằm phát triển tư duy hình học ở

B

N

IM

A

Căn cứ vào sơ đồ ta có lời giải sau:

Ta có ∆BMO: gócB+gócM+gócO = 1800gócBMO+gócMON+gócNOC = 1800 (gócBOC = 1800)

 gócBMO = gócCON; lại có Bˆ Cˆ  60 0 (vì∆ABCđều)

 ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), từ đó suy ra

CN

CO BO

BM



hay BM.CN BO.CO; mà BOCO BC2 2a do đó

4

2

a CN

BM  (đpcm)

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Toán học



gócB+gócBMO+gócBOM = gócBMO+gócMON+gócNOC (= 1800)

b) Cũng tương tự như vậy ở phần b) thày giáo cũng giúp học sinh phát triển tư duylôgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đi lên- một thao tác tưduy đặc trưng của môn hình học Với sự phân tích như vậy học sinh sẽ thấy đó chính là sửdụng tính chất đường phân giác của tam giác BMN Nghĩa là học sinh cần chỉ ra MI là tiaphân giác của gócBMN Từ đó ta có lời giải sau:

Theo phần a) ∆BMO đồng dạng ∆CON suy ra hay BM BO ON MO

ON

MO CO

BM



 lại có gócB =gócMON (=600)  ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c) Từ đó suy ra gócBMO = gócOMN do

đó MO là tia phân giác của góc BMN hay MI là tia phân giác gócBMN

Xét ∆BMN có MI là tia phân giác của gócBMN, áp dụng tính chất đường phân giác trong

tam giác ta có

IN

IB MN

MB

 hay BM.IN BI.MN (đpcm)

c) Đây là một dạng toán liên quan giữa tính bất biến (cố định) và tính thay đổi: Ứngvới mỗi điểm M, N thì ta có vị trí của đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển động) nhưnglại luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định (bất biến) Vậy trước khi tìm lời giải của bàitoán giáo viên cần cho học sinh chỉ ra yếu tố cố định, yếu tố nào thay đổi

H

K

CO

B

N

IM

A

Ta có lời giải sau: Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vuông góc với AB và MN Do O, AB cố địnhnên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) là đường tròn cố định.

Vì MO là tia phân giác của góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác)

→ K(O;OH) (1) lại có OKMN ( cách dựng) (2)

từ (1) và (2) suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O;OH) Vậy MN luôn tiếp xúc vớimột đường tròn (O;OH) cố định

Khai thác bài toán:

Ở phần a) của bài toán ta thấy tích BM.CN không đổi, nếu sử dụng BĐT Côsi ta cóthêm câu hỏi sau:

1.1: Tìm vị trí của M, N trên AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm là BM, CN ta có BM CN  2 BM.CN

dấu "=" xảy ra  BM = CN Theo phần a)

4

2

a CN

BM 

do đó BM CN  a a

4 2

1.2: Ta thử suy nghĩ nếu tam giác ABC là tam giác cân thì bài toán còn đúng không?

và giả thiết như thế nào? từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC cân ở A, O là trung điểm BC Trên cạnh AB, AC

theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho gócBMO = gócCON

2

BC CN

b) BNMO =  I , Chứng minh

BI.MN = IN.BM;

c) Khi M, N thay đổi trên AB, AC thì

MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố

i cá

ch chứn

g mi

nh ho

àn toà

n tươn

g

tự,

ta chứn

g mi

nh đư

ợc gó

cB

= gócMON

OI

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC cân ở A, O thuộc cạnh BC đường tròn tâm O tiếp

xúc với các cạnh AB, AC của tam giác Trên AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm M, N

Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đ ường tròn (O) 

4

2

BC CN

BM 

góc MON = gócB; gócBOM = gócONC; gócNOC = gócBMO; từ đó suy ra ∆BMO đồng

dạng ∆CON (g.g)

4

2

BC CN BM CN

BO CO

2

BC CN

BM  cần phải chứng minh MN là tiếp tuyến của (O)

Cách 1: Chứng minh tương tự bài toán 1;

Cách 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC ở N' Ta chứng minh N'N

Theo phần thuận ta có

4 '

BM  kết hợp với giả thiết ta suy ra BM.CN' = BM.CN 

CN' = CN Mà N', N cùng thuộc cạnh AC do đó N'  N (đpcm)

Chú ý: - Nếu M nằm trong đoạn AB thì N nằm trong đoạn AC.

- Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì N cũng nằm ngoài đoạn AC

Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC cân ở B có gócB = 400, O là trung điểm cạch AC,

K là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống AB, (O) là đường tròn tâm O bán kính OK

1) Chứng minh (O) tiếp xúc với BC;

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB, AC

nên O cách đều AB, AC do đó O thuộc tia

phân giác của góc A Lại có ABC cân nên

phân giác góc A đồng thời là trung tuyến mà

OBC nên O là trung điểm cạnh BC

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O)

Nối OM, ON

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của

(O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau

của (O), sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau ta suy ra được

P

C

NAM

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB,

AC nên O cách đều AB, AC do đó O

thuộc tia phân giác của góc A Lại có

ABC cân nên phân giác góc A đồng thời

là trung tuyến mà OBC nên O là trung

điểm cạnh BC

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O)

Nối OM, ON

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau

của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến

cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai

tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

N Vớ

i cá

ch chứn

g mi

nh ho

àn toà

n tươn

g

tự,

ta chứn

g mi

nh đư

ợc gó

cB

= gócMON

2) Giả sử E là một điểm thay đổi trên cạnh AC sao cho

b) AEO đồng dạng với COF;

c) Tính  để AE + CF nhỏ nhất (Đề thi chuyên toán ĐHSP H N năm 2005)

Bài toán 1.5: Cho đường tròn (I) tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy tại A và B Từ C

trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N Xác định

vị trí của C trên cung nhỏ AB để MN có độ dài nhỏ nhất

Ta hãy đưa bài toán về bài toán quen

thuộc bằng cách qua I kẻ đường thẳng

song song với AB cắt Ox, Oy thứ tự ở P

và Q Ta có AOB cân nên POQ cân ở O,

IPQ mà MN là tiếp tuyến của (I) Áp

dụng bài toán trên Lại do cân chung

đỉnh O AP = BQ (không đổi)

OM

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB,

AC nên O cách đều AB, AC do đó O

thuộc tia phân giác của góc A Lại có

ABC cân nên phân giác góc A đồng thời

là trung tuyến mà OBC nên O là trung

điểm cạnh BC

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O)

Nối OM, ON

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau

của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến

cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai

tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB,

AC nên O cách đều AB, AC do đó O

thuộc tia phân giác của góc A Lại có

ABC cân nên phân giác góc A đồng thời

là trung tuyến mà OBC nên O là trung

điểm cạnh BC

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O)

Nối OM, ON

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau

của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến

cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai

tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

P

C

FBE

HD Giải:

1) Kẻ OH vuông góc với BC do tam giác

ABC cân ở B nên OH = OK do đó H nằm

trên (O), lại có OH BC tại H nên BC là

tiếp tuyến của (O)

2) a) Ta có 0

70 ˆ

c) Tương tự lời giải bài ý 1.1 ta suy ra

E, F là trung điểm của BA, BC

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

Do đó MN nhỏ nhất  MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài toán 1.1) ta có được C làđiểm chính giữa cung nhỏ AB

Nếu vẫn tiếp tục khai thác bài toán ban đầu ta có thể đưa ra một số bài toán cho học sinh tựlàm, coi như bài tập về nhà để học sinh tự giải quyết

Bài toán 1.6: Cho ABC cân ở A Lấy M, N trên cạnh AB, AC sao cho

4

2

BC

CN

BM  Tìm vị trí của M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất

Bài toán 1.7: Cho M, M' trên tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia

đối của tia CA Chứng minh rằng:

là trung điểm của AB) Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếphình vuông

Bài toán 1.9: Cho tam giác ABC cân ở A Đường tròn có tâm O là trung điểm của

BC tiếp xúc với AB, AC thứ tự ở H và K Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC sao cho

PQ là tiếp tuyến của (O) Tìm quĩ tích tâm O' của đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ

Với cách làm tương tự trên, bằng phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự

và thao tác tư duy thuận đảo ta cũng hình thành cho học sinh tư duy lôgíc, tư duy sáng tạo,tính độc đáo trong toán học Chẳng hạn ta có bài toán sau:

Bài toán 2: Cho đường tròn (O) đường kính CD Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với

đường tròn Từ một điểm E nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó cắt Cx tại

A và Dy tại B Chứng minh góc AOB = 900

JK

E

B

A

yx