DeDan thi thu DH khoi A 2010

[r]

Trờng THPT lam kinh kiểm tra chất lợng ôn thi Đh - cđ (Lần 2)

Môn: Toán (khối a), năm học 2009 - 2010

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số 3 3 2 2





x x y

1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Biện luận số nghiệm của phương trỡnh 2 2 2 1









x

m x

Câu II (2.0 điểm )

1 Giải phương trỡnh: 3 4 sin22x2cos x2 1 2  sin x

2 Giải phương trỡnh: 2 16 3 4

2

log x  log x  log x .

Câu III (1.0 điểm) Tớnh tớch phõn

3 2 3

x sin x

cos x









Câu IV(1.0điểm) Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d:

3

2 1

2

1









 y z x

và mặt phẳng

0 1 2

: ) (P xyz  .Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương

trỡnh của đường thẳng  đi qua điểm A vuụng gúc với d và nằm trong (P)

Câu V:(1.0điểm) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( 1 ; 1 ; 2 ), B( 2 ; 0 ; 2 ) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cỏch đều hai mặt phẳng (OAB)và (Oxy)

PHẦN RIấNG ( 3.0 điểm): Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A.Theo chương trỡnh Chuẩn

Câu VI.a(2.0 điểm)

2 sin )

(

2







x e

x

f x Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng f(x)  0

cú đỳng hai nghiệm

2 Giải hệ phương trỡnh sau trong tập hợp số phức:





















i z

z

i z

z

.2 5

.5 5

2 2

2 1

2 1

Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cú A ; 0 5 Cỏc đường phõn giỏc và trung tuyến

xuất phỏt từ đỉnh B cú phương trỡnh lần lượt là d : x y1   1 0,d : x2  2y0. Viết phương trỡnh ba cạnh

của tam giỏc ABC.

B.Theo chương trỡnh Nõng cao

Câu VI.b (2.0 điểm)

4

1 4 6 9

3

1 4

3 x  x  x  x

2 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =

2



Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú cạnh bờn bằng a và mặt chộo SAC là tam

giỏc đều Qua A dựng mặt phẳng (P) vuụng gúc với SC Tớnh diện tớch thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hỡnh chúp

Hết đề

Họ và tên thí sinh: ……… ……… ; Số báo danh: .

ĐÁP ÁN

Câu I 2 điểm

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 3x22.

 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.

 Sự biến thiên: y'3x2 6x. Ta có 0 0

2

x y'

x





   



0,25

 y CD y 0 2; y CT y 2 2. 0,25

 B ng bi n thiên: ả ế

y'  0  0 

y 2



  2

0,25

b)

Biện luận số nghiệm của phương trình 2 2 2 1









x

m x

1

m

x

của phương trình bằng số giao điểm của yx2 2x 2 x1, C'  và đường

thẳng y m,x 1.

0,25

 

1

f x khi x

f x khi x







nên C' bao gồm:

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox.

0,25

 Dựa vào đồ thị ta có:

+ m 2: Phương trình vô nghiệm;

+ m2: Phương trình có 2 nghiệm kép;

+ 2m0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

+ m0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0,25

0,25 Câu II 2 điểm

a) Giải phương trình 3 4 sin22x2cos x2 1 2  sin x

 Biến đổi phương trình về dạng 2sin x3 2 sin x1  2sin x1 0 0,75

 Do đó nghiệm của phương trình là

x  k ; x  k ; x   ; x   

0,25

b)

Giải phương trình 2 16 3 4

2

log x  log x  log x  .

 Điều kiện: 0 2 1 1

x ; x ; x ; x .

 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho

0,25

 Với x 1 Đặt t log x2 và biến đổi phương trình về dạng

0

1 t 4 1 2t  t1

0,5

 Giải ra ta được 1 2 4 1

t ;t  x ; x . Vậy pt có 3 nghiệm x =1;

1 4

2

x ; x .

0,25

Câu III 1.0 điểm

a)

Tính tích phân

3 2 3

x sin x

cos x









 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có

3

3

cosx cosx cosx







3

3

dx J

cosx









0,25

 Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó

2

3 3

2



0,5

I    ln  .



0,25

Câu IV 1.0 điểm

Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương

trình của đường thẳng  đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P)

 Tìm giao điểm của d và (P) ta được 2 1 7

A ; ;  

0,25

 Ta có u d 2 1 3; ; ,n P 2 1 1; ;   u u ;n d p 1 2 0; ; 

 Vậy phương trình đường thẳng  là 2 1 2 7

Câu V 1.0 điểm

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( 1 ; 1 ; 2 ), B( 2 ; 0 ; 2 )

Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB)và (Oxy)

, 2 2 2; ; 2 1 1 1; ;

OA OB

 

Oxy z : 0

 ; ; 

N x y z cách đều OAB v à Oxy  d N OAB ,  d N Oxy ,  

1 3

x y z  z

3





Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình

x y   z v à x y  3 1 z 0

0.25

0.5

0.25 Câu VIa 2.0 điểm

1.

2 sin )

(

2







x e

x

f x Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng f(x)  0 có đúng hai nghiệm

 Ta có f ( x ) e  x x cos x. Do đó f ' x   0 e x x cos x. 0,25

 Hàm số y e x là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến

vì y' 1 sin x 0, x Mặt khác x  0 là nghiệm của phương trình

x

0,25

 Lập bảng biến thiên của hàm số yf x  (học sinh tự làm) ta đi đến kết

luận phương trình f(x)  0 có đúng hai nghiệm

 Từ bảng biến thiên ta có min f x  2 x0.

0,5

2 sin )

(   x2 

x e

x

f x Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng f(x)  0 có đúng hai nghiệm

 Ta có f ( x ) e  x x cos x. Do đó f ' x   0 e x x cos x. 0,25 2.

Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:





















i z

z

i z

z

.2 5

.5 5

.

2 2

2 1

2 1

Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)

Câu

VII.a

1.0 điểm

Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A ; 0 5 Các đường phân giác và trung

tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là

 Ta có B d 1d2 B2 1;  AB : x y3   5 0. 0,25

 Gọi A' đối xứng với A qua d1 H2 3; , A' ;  4 1 0,25

 Tìm được C28 9;  AC : x 7y35 0 . 0,25

Câu VI.b 2.0 điểm

1.

4

1 4 6 9

3

1 4





x

 Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 9 2

4

2

x

x log

 

 

 

0,5

2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x,

x =

2



Ta có: x.sin2x = 2x  x.sin2x – 2x = 0  x(sin2x – 2) =0  x = 0

DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ:



0 2



dx x

x dx

x x x

S

Đặt

































x

x v

dx du dx x dv

xu

2 2

2cos )2

2 2 2





















0.5

0.5

Câu

VII.b

1.0 điểm

Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam

giác đều Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC.Tính diện tích

thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp

 Để dựng thiết diện, ta kẻ AC'SC. Gọi I AC' SO. 0,25

AD' C' B'