Trong dạng bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức đã được
Trang 1MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số 2 2
1
x y x
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm m để đường thẳng d :y 2xm cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho A B 5
Câu 2: (1 điểm)
s in 2x c o sx 3 2 3 c o s x 3 3 c o s 2x 8 3 c o s x s in x 3 3
Câu 3: (1 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y e 1x và y 1 e xx
Câu 4: (1 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết
5 0
4 9
1 3
i z
i
Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0 và các đường thẳng:
Tìm các điểm Ad1 ,Bd2 sao cho A B// P và A B cách
P một khoảng bằng 1
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình chóp S A B C D. có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên S A D là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,N P, lần luowjt là trung điểm của các cạnh S B B C C D, , Chứng minh rằng A M vuông góc với B P và tính thể tích của khối tứ diện C M N P
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hai đường thẳng d1: 3x y 5 0 và d2 : 3x y 1 0, điểm
1; 2
I Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1,d2 lần lượt tại A B, sao cho
2 2
A B
Câu 8: (1 điểm)
x y x y
Câu 9: (1 điểm)
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 7
Trang 2Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 2 2 2
5
x y z và x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: 2
2
x y P
z
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
1 Tập xác định: D \ { 1}
( 1)
4
x
Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và ( 1; )
Ta có: lim lim 2
y
y
nên hàm số có tiệm cận đứng x 1 Bảng biến thiên:
x -1
'
y ||
y
2
2
Đồ thị:
1
x
x
Trang 3Đường thẳng d cắt C tại 2 điểm phân biệt A B,
phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khác -1
2
8 1 6 0
Theo định lý Viète, ta có: 1 2
1 2
2 2 2
m
x x
m
x x
Gọi tọa độ A B, là A x 1 ; 2x1 m,B x 2 ; 2x2 m
2
A B x x x x
1 2 4 1 2 1
8 2 0 0
2
m
m
(thỏa mãn) Vậy m1 0; 2
Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị Trong dạng
bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến trong đề
số 5)
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Cho hàm số y x 1
x m
có đồ thị (C m) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d :y x 2 tại 2 điểm A và B sao cho A B 2 2
Đáp số: m 7
2 Cho hàm số 2
1
x y x
có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y m xm 2 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A B, phân biệt sao cho độ dài A B ngắn nhất
Đáp số: m 1
Câu 2:
Phương trình đã cho tương đương với:
2 s in xc o s x 6 s in xc o sx 2 3 c o s x 6 3 c o sx 3 3 8 3 c o sx s in x 3 3
2
2 c o s x s in x 3 c o sx 6 c o sx s in x 3 c o s x 8 s in x 3 c o s x 0
s in x 3 c o sx 2 c o s x 6 c o sx 8 0
2
s i n 3 c o s 0
2 c o s 6 c o s 8 0
Trang 4ta n 3
3
c o s 1
2
k x
x
x k
Vậy nghiệm của phương trình là: ; 2 ,
3
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
c o s 2x c o sx 2 ta n x 1 2
3
2 Giải phương trình: 2
ta n x ta n xta n 3x 2
Đáp số:
,
k
Câu 3:
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:
1
x
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
S x e e d x x e e d x
1 0 2
e x d x x e d x x d e
1
0
1
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: ;
,
y f x y g x
x a x b
Khi đó diện tích hình phẳng là:
b
a
S f x g x d x
Khi đề bài chưa cho x a x, b thì khi đó x a x, b có thể được tìm ra bằng cách giải phương trình: f x g x
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xln x với trục hoành và đường thẳng x e Đáp số:
2
1 4
e
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2
4
y x và
2
3
x
y
Trang 5Đáp số: 4 3
3
S
Câu 4:
Sử dụng công thức Moivre ta có:
5 0
5 0
2 c o s s in
3
2 c o s s in
i i
z
i
i
2 5
4 9
2 c o s s i n
2 c o s s i n
i i
2 4
1
c o s s i n
i
Suy ra: 12 4 c o s s i n
Vậy số phức z có phần thực là 12 4 c o s 12 5
và phần ảo là 12 4 s i n 2 53
Nhận xét: Đối với các biểu thức số phức với lũy thừa bậc cao, ta thường sử dụng dạng lượng giác
của số phức cùng công thức Moivre
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Số phức z x y i có dạng lượng giác z rc o s is in với 2 2
r x y và góc được xác định
như sau:
Công thức Moivre: c o s is in n c o sn is inn
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 9
6
c o s s i n 1 3
Đáp số: Phần thực là 8
2 3 , phần ảo là 8
2
2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức 1 0
1 0
1
z
biết 1 1
Đáp số: Phần thực là 1, phần ảo là 0
Câu 5:
Vì A d1 nên tọa độ A có dạng A2a 1;a 3; 2a
Vì Bd2 nên tọa độ B có dạng B3b 5; 4 ; 2b b 5
Trang 6Ta có: A B 3b 2a 4; 4ba 3; 2b 2a 5
Vì A B// P nên ta có: A B n. P 0
2 3b 2a 4 4b a 3 2 2b 2a 5 0 a 6b 1 0
1
a
d A P d A B P
b
3
3 3
3
a b , ta có: 3; 4 ; 2 , 4 ; 4; 1 7
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho mặt phẳng P :x 2y 2z 1 0 và hai đường thẳng
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng P bằng nhau
Đáp số: M 2; 4;1 hoặc M 1;1; 4
2 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho điểm A0 ;1; 3 và đường thẳng
1
3
z
Tìm trên
d hai điểm B C, sao cho tam giác A B C đều
Đáp số: 6 3 8 2 3
và 6 3;8 2 3 ; 3
Câu 6:
Gọi O là trung điểm của A D
S O A B C D
0; 0; 0
4
a S
, ; 0 ; 0
2
a
; 0 ; 0
2
a
2
a
C a
, và ; ; 0
2
a
B a
Từ đó suy ra tọa độ các điểm M ,N P, là: ; ; 3
4 2 4
a a a M
, N0; ; 0a , ; ; 0
2 2
a a
4 2 4
a a a
A M
2
a
B P a
nên A M B P 0
Trang 7Suy ra A M vuông góc với B P
a a a
N M
, ; 0 ; 0
2
a
a a
Suy ra:
Nhận xét: Phương pháp tọa độ hóa là một phương pháp “chắc chắn” sẽ giải quyết được “tất cả” các
bài hình học phẳng cũng như hình học không gian Tuy nhiên, để tránh những tính toán cồng kềnh, phức tạp và xấu xí, không phải bài toán nào chúng ta cũng sử dụng phương pháp này, vì đa phần các bài toán trong đề thi không thuận lợi cho phương pháp này Vậy khi nào ta sẽ tọa độ hóa trong các bài toán hình học không gian? Câu trả lời là khi tồn tại 3 đường đôi một vuông góc với nhau và thường là không xuất hiện mặt cầu, mặt nón
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
1
6
A B C D
V A B A C A D
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Cho hình lăng trụ đứng A B C A B C ' ' ' có đáy A B C là tam giác vuông, A B A C a , A A' a 2 Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của đoạn A A' và B C' Chứng minh M N là đường vuông góc chung của A A' và B C' Tính thể tích khối tứ diện M A B C' '
Đáp số: 3 2
2
a
2 Cho hình chóp S A B C D. có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , B A D 6 0o Đường thẳng S O vuông góc với mặt phẳng A B C D và 3
4
a
S O Gọi E F, lần lượt là trung điểm B C B E, Mặt phẳng chứa A D và vuông góc với S B C cắt hình chóp S A B C D. theo một thiết diện Tính diện tích thiết diện đó
Đáp án:
2
9
1 6
a
S
Câu 7:
Giả sử A a ; 3a 5d1 ;B b ; 3b 1d2
Khi đó ta có: IA a 1; 3a 3 ; IB b 1; 3b 1
I B k I A
Nếu a 1 thì b 1 A B 4 (loại)
Nếu a 1 thì 3 1 1 3 3 3 2
1
b
a
A B b a a b
Trang 8 2
2
5
a b
a b
x y
5
t ta có:
2
5
2
4 5
5
x y
a b
b
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: :x y 1 0 hoặc : 7x y 9 0
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
, ,
M A B thẳng hàng M B k M A , với k là số thực nào đó
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Trong mặt phẳng O x y , cho hai đường thẳng d1: 3x y 5 0 ,d2 :x y 4 0 và điểm I 1;1 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1,d2 lần lượt tại A B, sao cho 2IA 3IB
Đáp số: :x y 0 hoặc :x 1 0
2 Trong mặt phẳng O x y , cho hai đường thẳng d1:x y 1 0 ,d2 :x 2y 2 0 và điểm I1; 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1,d2 lần lượt tại A B, sao cho IB 3IA 0
Đáp số: :x 5y 1 0 hoặc :x y 1 0
Câu 8:
Điều kiện: 7 0
x y
x y
Đặt 7x y u; 2x y v u v; , 0
Khi đó ta có:
2 2
5
5
u v x
x y
y
Hệ phương trình đã cho trở thành:
5
2 5
u v
v
1 5 7 7
2
7 7 5
2
u
v
(vì u v, 0)
Trang 9Từ đó suy ra nghiệm của hệ là: ; 1 0 7 7 ;1 1 7 7
2
x y
Nhận xét: Không quá khó khăn để chúng ta xác định được sẽ đặt các ẩn phụ như trên Công việc
quan trọng sau khi đã đặt ẩn phụ là biểu diễn các biểu thức chứa biến trong hệ đã cho theo các ẩn phụ mới
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Giải hệ phương trình: 5 2 2 2 5
Đáp số: 1 8 8 2 2 3 4 1 7 7 3 1 1 1 2 3 4 1
x y
2 Giải hệ phương trình: 2 2 3 5 7
Đáp số: x y; 3;1
Câu 9:
5
2
2
(x y) 1 0 2z (x y) 1 0 2z 3 z 1 6z 3z
Dễ thấy z 0 Ta có: P z( 2 ) 2 x y
Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi '
0
z
2 3
Giá trị nhỏ nhất của P là 3 6
2 3
, xảy ra chẳng hạn khi: 2 0; 6 6; 7
x y z
Giá trị lớn nhất của P là 0, xảy ra chẳng hạn khi: x 2 ; y 0 ; z 1
Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ mẫu mực cho phương pháp sử dụng tính chất của tam thức bậc
hai
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn: x y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
9 1 0 1 1
P x y y z z x
Hướng dẫn: Từ giả thiết x y z 1 suy ra: 2 2
1 1 1 0 1 1 1 0 1 2
P x y x y x y
1 1x 1 2y 1 1 x 1 0y 1 0yP 0
Trang 10Ta có: 7 4 2 2 2 1 2 1 7 4 5 4 4 5 4 9 5
1 1 3 7 2 9 6 1 1 1 0 9 5 2 1 4 8
Giá trị lớn nhất của P là 4 9 5
1 4 8
, đạt được khi 1 1; 2 5; 2 7
3 7 7 4 7 4
y x z
2 Cho a b c d, , , là các số thực Chứng minh bất đẳng thức:
a b c d a b c d a b Hướng dẫn: Viết lại bất đẳng thức dưới dạng:
f a a cd b a b c d b c d
Dễ dàng chứng minh được: ' 2
