công thức toán học thpt

CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1... CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI a.. Tích thành tổng cosa... 1.PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN a... CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾN 4... Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường c

1 TAM THỨC BẬC 2

f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0, α, β ∈ R, α < β, S = - )

f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R  2 0 1 { ( )

f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R  2  { ( ) ( )

α là nghiệm của f(x)  f (α) = 0  { ( ) ( )

 ( )  { ( ) ( )

 {

( )

⟦  ( ) ( )

 {

( )



{

( )

( )

+) a, b, c ≥ 0 thì √ Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

3 CẤP SỐ CỘNG

a Định nghĩa: Dãy số u1, u2,…,un, … gọi là một cấp số cộng có công sai d nếu uk = uk-1 + d

b Số hạng thứ n: un = u1 + (n – 1).d

c Tổng n số hạng đầu tiên

Sn = u1+ u2 +…+ un = ( ) , ( ) -

4 CẤP SỐ NHÂN

a Định nghĩa: Dãy số u1, u2,…,un, … gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu uk = uk-1 q

b Số hạng tứ n : un = u1 qn-1

c Tổng n số hạng đầu tiên

Sn = u1 + u2 + … + un = u1 , (q ≠ 1)

Nếu -1 < q < 1 ( |q| < 1) thì

5 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

|A| = |B|  A = ± B |A| < |B|  A 2 < B 2

|A| = B  2 |A| > B  ⟦

|A| < B  2

6 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

√ = √  2 ( ) √ {

√  2 √ > B  2 hoặc 2

√ √  2

7 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

+) ( ) = ( )  { ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) + ) ( ) = b  f(x) = a b

+) ( ) ≥ ( ) (*)

+) Nếu a> 1 thì (*)  { ( ) ( ) ( )

+) Nếu 0 <a < 1 thì (*)  { ( ) ( ) ( )

CHÚ Ý : ( ) có nghĩa  2 ( )

( ) ( )  ⟦{

( ) ( ) { ( ) ( )

 {

( )

( )

( ), ( ) ( )-

( )  ⟦{

( ) { ( )

( )  ⟦ {

( ) { ( )

8 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

( ) ( )  ⟦

{ ) ( ) { ( ) ( )

( ) ( )  {( ), ( ) ( )-

9 LŨY THỪA

Với a, b > 0

( )

√ √ √ = √ =

10 LOGARIT

0 < N1 , N2 , N và 0 < a, b ≠ 1 ta có:

( )

( )

I CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1 HỆ THỨC CƠ BẢN sin 2 x + cos 2 x = 1 tan x cot x = 1 tan x = 1 + tan 2 x =

cot x = 1 + cot 2 x =

2 CÁC CUNG LIÊN KẾT: Đối – Bù – Phụ - Hơn kém

cos (π – x ) = - cos x cot (π – x ) = - cot x

( ) ( )

( ) /

3 CÔNG THỨC CỘNG

sin ( x ± y ) = sinx cosy ± cosx.siny

cos ( x ± y) = cosx.cosy sinx.siny

tan (x ± y ) =

4 CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x

= 2 cos 2 x – 1

= 1 – 2sin 2 x

cos 2 x =

sin 2 x =

sinx = ; ;

6 CÔNG THỨC NHÂN BA sin 3x = 3 sinx – 4 sin 3 x tan3x =

cos 3x = 4 Cos 3 x – 3cosx =

=

11 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI a Tích thành tổng cosa cosb = [cos(a-b) + cos(a+b)] sina sinb = [cos(a-b) - cos(a+b)] sina cosb = [sin(a-b) + sin(a+b)] b Tổng thành tích cos x + cos y = 2.cos

cos x - cos y = -2.sin

sin x + sin y = 2.sin

sin x - sin y = 2.cos

tanx + tany = ( )

tanx - tany = ( )

cotx + coty = ( )

cotx - coty = ( )

Đặc biệt: sinx + cosx = √ / √ /

sinx - cosx = √ / √ /

1 ( )

1.PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

a sinx = sinα  ⟦ ∈

Đặc biệt: sinx = 1  x =

sinx = -1  x =

sinx = 0  x = k

b cosx = cos α  ⟦ ∈

Đặc biệt: cosx = 1  x =

cosx = -1  x =

cosx = 0  x =

c tanx = tan α  x = α

d cotx = cot α  x = α

( ∈ )

2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC n THEEO 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Nếu t = cos x hoặc t = sin x thì có điều kiện

3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin x VÀ cos x:

a.sinx + bcosx = c (a.b ≠ 0 )

Điều kiện có nghiệm :

Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho √ và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản:

4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x

a sin 2 x + b.sinx.cosx + c cos 2 x = 0

Xét cosx ≠ 0 chia 2 vế cho cos2x và đặt t = tan x

5 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: a (sinx ± cosx) + bsinx.cosx = c

 sinx.cosx = hoặc sinx.cosx =

và giải phương trình bậc 2 theo t

1 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN

2 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN

3 CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾN

4 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

√ ( )( )( )

(√ )

√

(cotx)’ = (cotu)’ =

(ex)’ = ex (eu)’ = u’ eu (ax)’ = ax lna (au)’ = au.u’.lna (lnx)’ = (lnu)’ =

(logax)’ = (logau)’ =

II BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM ∫ ∫

∫

( ) ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Chú ý: Nếu ∫ ( ) ( ) thì ∫ ( ) ( )

BẢNG NGUYÊN HÀM NÂNG CAO ∫( ) ( )

( )

∫

∫

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

( )

∫ √

∫

√ √

CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT

( )

∫ √

⟦

∈ ,

( ) * +

( )

∫ √ ∫ √

x = a cos 2t

∫ √( )( ) x = a +(b – a ) sin2 t

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Dạng 1:

∫ ( ) ⟦

( ) ( )

Đặt:

{

( )

⟦

( ) ( )

P(x) là đa thức

2 Dạng 2 :

∫ ( ) ⟦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Đặt:

{

⟦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

P(x) là đa thức

3 Dạng 3:

∫ ⟦

( ) ( )

( ) ( )

Đặt:

{ ⟦

( ) ( )

( ) ( )

∫ ⟦

( )

( )

( )

( )

Đặt: {

⟦ ⟦ ( ) ( )

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong

{

( ) ( ) Công thức tổng quát: S = ∫ ( )

2 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 2 đường cong:

{

( ) ( ) ( ) ( ) Công thức tổng quát: ∫ ( ) ( )

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín:

3.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: {( ) ( )

( ) ( ) Bước 1 : giải phương trình: f(x) = g(x)  ⟦

Bước 2: sử dụng S = ∫ ( ) ( )

3.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: {

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bước 1: giải phương trình tương giao => tìm hoành độ giao điểm:

C = giải phương trình f(x) = g(x)

A = giải phương trình g(x) = h(x)

B = giải phương trình h(x) = f(x)

Bước 2: Sử dụng công thức:

∫ ( ( ) ( )) ∫ ( ( ) ( ))

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1 Thế tích khi quay quanh Ox

a S: {

( ) ( ) Công thức: ∫ ( )

b S: {

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức: ∫ , ( ) ( )-

c S : {( ( ) ( )) ( )

Bước 1: giải phương trình: f(x) = g(x) ⟦ Bước 2: giả sử ( ) ( ) ∀ ∈ , - Khi đó ∫ , ( ) ( )-

2 Khi quay quanh Oy

a S: {

( ) ( ) ( ) ( )

h(x)

S

A

B

C

Bước 1: y = f(x)  x = f-1

(y)

Bước 2: Vy = ∫ ( ) ( ), ( )-

b S: { ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Bước 1: {( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Bước 2: giả sử : 0 ( ) ( )

 ∫ ( ) ( )(, ( )- , ( )- )