Nhận xét: Khi biện luận các phương trình mà cần thông qua phép đổi biến, ta phải xem xét đến sự tương ứng về nghiệm giữa biến đã cho và biến số mới để tránh kết luận sai số nghiệm.. Các
Trang 1MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
y x x có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số
2 Dựa vào đồ thị C của hàm số, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
8 c o s x 9 c o s xm 0 với x0;
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: c o s c o s 2 c o s 3 c o s 4 c o s
2
Câu 3: (1 điểm)
4
2 0
9
x
Câu 4: (1 điểm)
Cho n k, là các số nguyên dương thỏa mãn 0 k n Chứng minh rằng:
Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho đường thẳng : 3 2 1
và mặt phẳng
P :x y z 2 0 Gọi M là giao điểm của d và P Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới bằng 4 2
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng A B C A B C 1 1 1 có A B a, A C 2a , A A1 2a 5 và B A C 1 2 0o Gọi M là trung điểm của cạnh C C1 Chứng minh M B M A1 và tính khohanrg cách từ điểm A đến mặt phẳng
A B M1
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác A B C với A1; 2, đường cao C H :x y 1 0 , phân giác trong B N : 2x y 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh B C, và tính diện tích tam giác A B C
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
6 9 8
8 1
Câu 9: (1 điểm)
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 10
Trang 2Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b 1 2 ;b c 8 Chứng minh rằng:
2
1 2
a b b c c a a b c
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
1
Tập xác định: D
0
4
x
x
'' 9 6 1 8 ; '' 0 ; ''( 0 ) 0 ; '' 0
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 3
4
4
x và hàm số đạt cực đại tại x 0 Hàm số nghịch biến
trên mỗi khoảng ; 3
4
4
, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 3; 0
4
4
Tính giới hạn: lim lim
y
Bảng biến thiên:
x 3
4
0 3
4 '
y 0 0 0 +
y
1
4 9
3 2
4 9
3 2
Đồ thị:
Trang 32
Xét phương trình: 4 2
8 c o s x 9 c o s xm 0 với x0; 1 Đặt t cosx, phương trình trở thành: 4 2
8t 9t m 0 2
Vì x0; nên t 1;1, tương ứng với mỗi giá trị của t là 1 giá trị duy nhất của x, do đó số nghiệm của phương trình 1 và phương trình 2 bằng nhau
Ta có: 4 2
2 t 9t 1 1 m
Gọi C' là đồ thị hàm số 4 2
y t t với t 1;1, thì C' là phần đồ thị C trong đoạn
1;1
Số nghiệm của phương trình 2 là số giao điểm của C' với đường thẳng y 1 m
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra:
Với m 0: phương trình vô nghiệm
Với m 0: phương trình có 1 nghiệm
Với 0 m 1: phương trình có 2 nghiệm
Với 1 8 1
3 2
m
: phương trình có 4 nghiệm
Với 8 1
3 2
m : phương trình có 2 nghiệm
Với 8 1
3 2
m : phương trình vô nghiệm
Nhận xét: Khi biện luận các phương trình mà cần thông qua phép đổi biến, ta phải xem xét đến sự
tương ứng về nghiệm giữa biến đã cho và biến số mới để tránh kết luận sai số nghiệm
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
Trang 41 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 0 ;2
3
s in x c o s x m s in x c o s x
Đáp số: 1 7
m
2 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
2e x m 1 e x m 1 0
Đáp số: m 7
Câu 2:
Xét x k2 ,k , phương trình trở thành: 5 1
2
(loại)
2
x
Nhân hai vế của phương trình với 2 s in 0
2
x
, ta được:
2 s in c o s 2 s in c o s 2 2 s in c o s 3 2 s in c o s 4 2 s in c o s 5 s in
Đối chiếu với điều kiện ta được: 2 , ,
1 1
k
không chia hết cho 11
Nhận xét: Dạng toán này sẽ giúp chúng ta giải quyết những phương trình lượng giác rất phức tạp
Tuy nhiên, cần phải để ý xét các trường hợp cẩn thận trước khi nhân hay chia một biểu thức nào đó,
để tránh dẫn tới kết luận thừa nghiệm
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Giải phương trình: c o s c o s 2 c o s 4 c o s 8 1
1 6
Đáp số: 2 1 5 ; 1 7 1 , , ,
2 Giải phương trình: s i n 5 1
5 s i n
x x
Đáp số: Phương trình vô nghiệm
Câu 3:
3
x
Trang 5Xét 2
4
1
2 0
9
x
1
0
ln 5 ln 3
0
Xét
2
2
x
x
2
9
x
x
Đổi cận: x 0 t 3
2
3
5 4 4
3
t
Từ đó suy ra:
ln 5 ln 3
2
Nhận xét: Bài toán trên là dạng thường xuất hiện trong đề thi đại học, khi chúng ta thường tách
thành nhiều biểu thức tích phân nhỏ và giải quyết từng biểu thức một
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Tính tích phân: 3
2
x
3
e
I
1
2
4
x
Đáp số: 2
3 3
Câu 4:
2n n k 2n n k 2n n 0
.
2
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 2
n k i nk i ni k i n
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Trang 6Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Chứng minh rằng với mọi 0 k 2 0 1 4 ta có: 1 1 0 0 7 1 0 0 8
2 0 1 5 2 0 1 5 2 0 1 5 2 0 1 5
Hướng dẫn: Chứng minh: 1 0 0 7
2 0 1 5k 2 0 1 5 , 0 2 0 1 5
2 Cho n là số nguyên dương (n 2) Chứng minh rằng:
2
!
2
n
Hướng dẫn: Sử dụng các đánh giá:
2
1
0 1
1
2
n
Câu 5:
Giả sử tọa độ M là M 3 2 ;t 2 t; 1 t
Vì M P nên ta có: 3 2t 2 t 1 t 2 0 t 1, suy ra tọa độ M là M 1; 3; 0
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d 2 ;1; 1
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n P 1;1;1
Vì nằm trọng P và vuông góc với d nên có vectơ chỉ phương là:
u u n
5 2
5
2 0
3
4 2
4 5
a b
c
a
M N
b c
Với
5
2
5
a
b
c
, tọa độ N là N 5; 2; 5, suy ra phương trình là: 5 2 5
Với
3
4
5
a
b
c
, tọa độ N là N 3; 4; 5, suy ra phương trình là: 3 4 5
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho mặt phẳng P :x y z 1 0 và hai đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P và cắt d2 đồng thời và d1 chéo nhau và khoảng cách giữa chúng là 6
2
Trang 7Đáp số:
0 :
1
x
hoặc :
1
z
2 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho điểm M 2;1; 0 và đường thẳng d có phương trình
:
Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d
Đáp số: 8; 5; 4
Câu 6:
Ta có:
2 c o s 1 2 0o 7
1 2
A B A A A B a
Ta có:
2
1
.
a
1
1
1
,
M A B A M A B A
M B A
d A M B A
với việc tính toán ở phần sau
1 Cho hình lăng trụ A B C A B C 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh 2 a, điểm A1 cách đều ba điểm A B C, , Cạnh bên A A1 tạo với mặt phẳng đáy một góc Tìm số đo góc , biết thể tích khối lăng trụ
1 1 1
.
A B C A B C bằng 3
2a 3
Đáp số: 6 0o
2 Cho hình hộp đứng A B C D A B C D ' ' ' ' có đáy là hình vuông, tam giác A A C' vuông cân và '
A C a Tính thể tích của khối tứ diện A B B C' ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng B C D'
theo a
Đáp án:
3
4 8
; 6
Câu 7:
Đường thẳng A B đi qua A vuông góc với đường cao C H nên đường thẳng A B có phương trình là:
1 0
x y
Trang 8Tọa độ của đỉnh B là nghiệm của hệ: 2 5 0 4
Hay tọa độ của đỉnh B là B 4; 3
Lấy A' đối xứng với A qua đường thẳng B N , suy ra A' B C
Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với B N là: d :x 2y 5 0
Gọi I là giao điểm của d và B N
Tọa độ của I là nghiệm của hệ: 2 5 0 1
Hay tọa độ của I là I 1; 3 Từ đó suy ra tọa độ A' là A' 3; 4
Đường thẳng B C đi qua B 4; 3 và A' 3; 4 có phương trình: 7x y 2 5 0
Tọa độ của đỉnh C là nghiệm của hệ:
1 3
4
x
y
Hay tọa độ của đỉnh C là 1 3; 9
Từ đó suy ra: 1 , 1. 4 5 0 .3 2 4 5
A B C
Nhận xét: Đối với tất cả các bài toán có xuất hiện đường phân giác, thì ta luôn sử dụng phép lấy đối
xứng một điểm qua đường phân giác đó
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Các bước tìm ảnh B của phép đối xứng điểm A qua đường một đường thẳng d
Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A và vuông góc với d
Tìm tọa độ giao điểm I của d và d '
Tìm tọa độ B sao cho I là trung điểm A B
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độO x y , cho tam giác A B C với A1; 3 , phương trình đường phân giác trong B D là x y 2 0 và phương trình đường trung tuyến C E là x 8y 7 0 Tìm tọa độ các đỉnh B C,
Đáp số: B 3; 5 , C 7 ; 0
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y, cho tam giác A B C có phân giác trong A D và đường cao
C H có phương trình lần lượt là d1:x y 2 0 và d2:x 2y 5 0 Điểm M 3; 0 thuộc đoạn A C
thỏa mãn A B 2A M Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A B C
Đáp số: A 1;1 ,B3; 3 , C 1; 2
Câu 8:
Trang 9Định hướng: Hình thức của hệ gồm một phương trình có dạng f x g y 0 và một phương trình là đa thức bậc hai h x y ; Ta nghĩ đến việc sẽ sử dụng tính chất nghiệm của tam thức bậc hai
để đánh giá x y,
Lời giải:
Viết lại phương trình thứ hai dưới dạng:
2 2
3
3
Từ đó suy ra:
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
có thể tìm ra cực trị của các ẩn Từ đó đánh giá và giải quyết những bài toán mà các phương pháp thông thương cũng bó tay Loại hệ sử dụng phương pháp này thường cho dưới hai dạng chính
Thứ nhất: cho một phương trình là tam thức, một phương trình là tổng hoặc tích của hai hàm
Thứ hai: cho cả 2 phương trình đều là phương trình bậc hai của 1 ẩn nào đó
Dưới đây là một số bài toán tương tự
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Giải hệ phương trình: 2 2
7
2
Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm
2 Giải hệ phương trình:
1 2 1 2 3 6 7 5 4 5 4 1 8 1 4 4
Đáp số: ; 2 ;7
3
Câu 9:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
3
1 8 2 4 1 8 2 4
3
Trang 104
2 6
2 6
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a b b c c a a b c
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 3,b 4 ,c 2
Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ mẫu mực cho phương pháp chọn điểm rơi của bất đẳng thức
AM-GM Mấu chốt trong các bài toán dạng này là tìm được điểm xảy ra dấu đẳng thức
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn: x 1 9 ;y 5;z 1 8 9 0 ;x y z 2 0 1 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x y z
Hướng dẫn: Đánh giá x y 1 2 4
Ta có:
3
đó suy ra: 2
6 2 1 8 9 0
2 Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn: 3 4
3
x x y x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P x y z
Suy ra m in 1 1 6; 4 ; 1
3 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 2 2 2 9
1
1 6
x y z x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P x y y z z x
Hướng dẫn: Sử dụng các đánh giá sau: