Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Có đáp án Đề Số 8

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1.. Vậy nghiệm của phương trình là: 6 2 , 6 5 2 ; Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác dễ, chỉ cần các phép biến đổi đơn giản để đư

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: (2 điểm)

y  x  x  có đồ thị  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số

2 Tìm hai điểm A B, thuộc đồ thị  C sao cho tiếp tuyến của  C tại A và B song song với nhau

và độ dài A B  4 2

Câu 2: (1 điểm)

Giải phương trình: c o s 2 c o s 2 4 s i n 2 2 1  s i n 

Câu 3: (1 điểm)

Tính tích phân:

3 2

ln 3 0

2

Câu 4: (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

1

Câu 5: (1 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho hai đường thẳng d1 ,d2 lần lượt có phương trình:

1

1

z

 











Viết phương trình mặt phẳng  P song song với d1 và d2 sao

cho khoảng cách từ d1 đến  P gấp 2 lần khoảng cách từ d2 đến  P

Câu 6: (1 điểm)

Cho hình chóp S A B C. có đáy A B C là tam giác đều cạnh a Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng

A B C là điểm H thuộc A B sao cho H A   2H B Góc tạo bởi S C và mặt phẳng A B C bằng 6 0o Tính thể tích khối chóp S A B C. và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A B C, theo a

Câu 7: (1 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho hình thang A B C D vuông tại A và D có đáy lớn là C D, đường thẳng A D có phương trình d1: 3x y  0 , đường thẳng B D có phương trình d2 :x 2y  0, góc tạo bởi hai đường thẳng B C và A B bằng 4 5o Viết phương trình đường thẳng B C biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương

Câu 8: (1 điểm)

Giải phương trình:   2 2

ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 8

Câu 9: (1 điểm)

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x y  y z z x  0 và z  m a xx y z, ,  Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: P x 2 y 3 3 z

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:

1

Tập xác định: D 

2

x

x







y''  6x 6;y'' 0    0;y''( 2 )  0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

   ; 0  và ( 2 ;   ), hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2

Tính giới hạn: lim ; lim

y

            Bảng biến thiên:

x   0 2  

'

y + 0  0 +

y

1  

  -3

Đồ thị:

2

Gọi tọa độ của A B, là  3 2   3 2 

Vì tiếp tuyến của  C tại A và B song song với nhau nên ta có:

y a  y b  a  a  b  b  ab a  b   a b 2  0, vì a  b

Mà a  b nên ta có: a  2 a  a  1

Ta có:

6

2

2 2a  1 a 2a 2 

  6   4   2

4 a 1 2 4 a 1 4 0 a 1

  6   4   2

1

a a

a







Với a  3, ta có hai điểm A3;1 , B  1; 3

Với a   1, ta có hai điểm A  1; 3 , B3;1

Vậy hai điểm cần tìm là: 3;1 ;   1; 3

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Cho hàm số 3 2

y  x  x  x có đồ thị (C) Tìm tất cả các giá trị k sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến với  C phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục O x O y, tương ứng tại A B, sao cho O A  2 0 1 5 O B

Đáp số: 9; 6 0 5 1

2

2 Cho hàm số 3

1

y  x m x m  có đồ thị (C m) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị C m tại điểm M

có hoành độ x   1 cắt đường tròn     2   2

C x  y   theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Đáp số: m  2

Câu 2:

Phương trình đã cho tương đương với:

2 c o s 2 c o s 4 s in 2 2 2 s in 0

4



2 c o s 2x 4 2 s in x 2  2 0

2

2 2 s in x  4  2 s in x 2  0



1

s in

2

x

2

6

, 5

6

2

k















Vậy nghiệm của phương trình là:

6

2 , 6

5

2 ;

Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác dễ, chỉ cần các phép biến đổi đơn giản để đưa về

phương trình bậc hai theo một biến

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

c o s c o s 2 c o s 3 c o s 4

2

k

4 s in xc o sx  4 c o s xs in x  s in 4x

Câu 3:

Đổi cận: x  0  t 1

Khi đó ta có:

9

ln 1

1

1

td t

Vậy 8 ln 5

3



Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Tính tích phân:

ln 2

2 3

x

e e

e

x

Đáp số: I  2 ln 3  1

1

ln

3 ln

1 ln

e

x





Đáp số: 5 2 2 2 3

3

e



3 Tính tích phân:  

1

2 ln

1 ln

e

d x x

I

x



Đáp số: I   e 3 2 ln 2

Câu 4:

Điều kiện:

,

,

1

1

x y

x y

y











Ta có:

1

1 1

5 ( 1) !( 1) ! 2 ( 1) !( 1) !













 



Vậy nghiệm của hệ là: x y;   8; 3

Nhận xét: Các phương trình, bất phương trình tổ hợp thường không khó để giải quyết Chúng ta chỉ

cần sử dụng công thức xác định của các biểu thức chỉnh hợp, tổ hợp hay hoán vị để rút gọn và tìm ra mối quan hệ đơn giản giữa các biến

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Giải bất phương trình: 2 2 3

2

1 0

x

Đáp số: x3; 4

2 Giải hệ phương trình:

A   y A  A  C 

Đáp số: x y;   7 ; 3

Câu 5:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là u1   1;  1; 0  và đi qua A1; 2;1

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là u2   1;  2 ; 2  và đi qua B2;1;  1

Gọi n là vectơ pháp tuyến của  P

Vì  P song song với d1 và d2 nên ta có: n  u1 ,u2    2 ;2 ;1 

Suy ra phương trình  P có dạng 2x 2y  z m  0

Ta có:  1     

7

3

m



 

 2    

5

3

m



3

3

m

 





Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn đó là: 2x 2y  z 3  0 và 2 2 1 7 0

3

x y z  

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là

 Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1,d2

Đáp số: 1 4x 4y  8z 3  0

2 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho ba

điểm A1;1;  1 , B1;1; 2 , C  1; 2;  2  và mặt phẳng

đi qua A, vuông góc với mặt phẳng  P , cắt đường

thẳng B C tại I sao cho IB  2IC

Đáp số: 2x y 2z 3  0 hoặc 2x 3y  2z 3  0

Câu 6:

phẳng A B C

Góc tạo bởi S C và mặt phẳng A B C là S C H  6 0o

Xét tam giác B H C , ta có:

2

2 c o s 6 0

9

7

3

a

H C

Suy ra:

.

Gọi E là trung điểm của B C và D là đỉnh thứ tư của hình bình hành A B C D

Ta có:

2

A D B C  d S A B C  d B C S A D  d H S A D

Kẻ H F  A D H K,  S F  H K  S A D d H,S A D H K

a

H F  A E 

Trong tam giác vuông S H F , ta có:

1 2

H K



a

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Định lý hàm số cosin: 2 2 2

2 c o s

B C  A B  A C  A B A C B A C

 Góc tạo bởi một đường thẳng và một mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của đường thẳng này trên mặt phẳng đó

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Cho hình chóp S A B C D. , đáy A B C D là hình thang có

9 0o

khoảng cách từ G đến mặt phẳng S C D

Đáp số: d  a

2 Cho hình lăng trụ A B C A B C ' ' ' có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyển B C  a 2 , cạnh bên A A'  2a , biết A' cách đều các đỉnh A B C, , Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của A A',A C

Tính thể tích khối chóp C M N B' và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng M N B

Đáp án: 3 1 4 ; 3 9 9 4

Câu 7:

Ta có: D là giao điểm của d1,d2, suy ra tọa độ D là D0; 0

Vectơ pháp tuyến của A D và B D lần lượt là: n1   3;  1 ;  n2   1;  2 

2

o

Lại có: B C A B,  4 5o nên B C D  4 5o  B C D vuông cân tại B  C D  2A B

A B C D

Giả sử tọa độ B có dạng B2 ;b b với b  0

5

B D   b   b  (vì b  0)

Vậy tọa độ điểm B là 8 1 0 ;4 1 0

B

Đường thẳng B C đi qua B và vuông góc với d2 nên phương trình đường thẳng B C là:

2x y 4 1 0  0

Nhận xét: Đối với các bài toán tọa độ trong mặt phẳng về các tứ giác đặc biệt, chúng ta cần tập

trung khai thác các tính chất hình học phẳng thuần túy của tứ giác đó để giải quyết bài toán và hạn chế được số biến cần gọi Khi giải quyết các bài toán này không yêu cầu chúng ta phải có hình vẽ, tuy nhiên sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta có một hình vẽ minh họa “rõ ràng và chính xác”

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độO x y , cho hình thang cân A B C D (A B//C D A B, C D ) Biết tọa độ các đỉnh A D, là A0; 2 , D 2;  2 và giao điểm I của A C và B D nằm trên đường thẳng có phương trình d :x  y  4  0 Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình thang biết góc A I D  4 5o

Đáp số: B2  2 ; 2  2 ,C 2  4 2 ; 2  4 2 hoặc B4  3 2 ; 2  2 , C 4  4 2 ;  2 2

2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y, cho đường tròn 2 2

(C) :x  y  2x 2y  0 và hai điểm

0; 4 , 4; 0

A  B Tìm tọa độ hai điểm C D, sao cho đường tròn  C nội tiếp hình thang A B C D có đáy là A B và C D

Đáp số: 1;1 , 1; 1

Câu 8:

Định hướng: Phương trình đã cho hoàn toàn có thể giải quyết bằng cách nâng lũy thừa để đưa về

phương trình bậc 4 của x Tuy nhiên, bằng việc nhẩm nghiệm ta thấy x  0 là nghiệm của phương trình, nên ta sẽ thử dùng phương pháp nhân lượng liên hợp để xử lý bài toán

Lời giải:

Dễ thấy x   3 không là nghiệm của phương trình

Xét x   3, phương trình đã cho tương đương với:

2

3

x

x

2 2

3

x x

x



2

2

3

x x



 

2

0

( * ) 3

x

x x













Ta sẽ giải phương trình  * :

2x 1 2x 5

5

5 1 3 2

x

x



 







Vậy phương trình có nghiệm: x0 ;   5 1 3

Nhận xét: Phương pháp nhân lượng liên hợp là phương pháp rất mạnh để giải quyết các phương

trình vô tỷ Để giải quyết bài toán bằng phương pháp này, ta phải nhẩm được một nghiệm nào đó (có thể là nghiệm duy nhất) của phương trình

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Phương pháp nhân lượng liên hợp:

Giả sử trong phương trình chúng ta có biểu thức có dạng P x với P x là một đa thức nào đó Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được x  a là nghiệm của phương trình Ta sẽ sử dụng đẳng thức:

   



 để làm xuất hiện đại lượng x a ở tử số

Một điều cần chú ý khi sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp là ta phải xét điều kiện để đảm bảo mẫu số của biểu thức liên hợp khác 0

Một số hằng đẳng thức hay dùng:





 2a3 b3 2



 n 1 n 2 a n b n n 2 n 1



Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 Giải phương trình: x  1 x  4  x  9  x 1 6  x 2 5  x 2 2 5

Đáp số: x  0

2 Giải phương trình: 2 3 2 2

Đáp số: x   1

3 Giải phương trình: 3 2

2

3

6

x

x





Đáp số: x  3

Câu 9:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

3

P

Giả sử x  y Ta sẽ chứng minh: x y z ( * )

Thật vậy,

Ta có:

2

Tương tự ta có:

Suy ra:

Đặt 6

6

1 , 2

z

 thì suy ra:

2 3

2

t

Khảo sát hàm ta nhận được: m in f t( )  f (1)  4

Giá trị nhỏ nhất của P là 4, đạt được khi x  z y;  0

Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán đẹp và khó Sẽ rất khó khăn nếu chúng ta không biết đến bất

đẳng thức (* ) Sau khi đã sử dụng kết quả của bất đẳng thức (* ) thì công việc khảo sát hàm số cuối cùng trở nên khá đơn giản

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1 (Khối B – 2014) Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn: ab c  0 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

2

P

Hướng dẫn: Sử dụng các đánh giá: a 2a ; b 2b

Suy ra:

1

P

c







Đặt t c ,t 0

1

t

2

2 (Khối D – 2014) Cho x y, là các số thực thỏa mãn 1  x y,  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Hướng dẫn: Sử dụng đánh giá 2 2

Suy ra:

1

P



Đặt t  x  y, 2  t 4 , xét hàm

 

1 ( )

t

f t

  nhận được m i n ( 3 ) 7

8