Chuyên đề Diện tích đa giác Toán 8

- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.. Bổ sung.[r]

Chuyên đề

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

I Kiến thức cần nhớ

1 Mỗi đa giác có một diện tích xác định

Diện tích đa giác là một số dương có các tính chất sau :

- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng

tổng diện tích của những đa giác đó

- Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì có diện tích là 1

2 Các công thức tính diện tích đa giác

- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

S = ab (a, b là kích thước hình chữ nhật)

- Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

2

S = a (a là độ dài cạnh hình vuông)

- Diện tích hình vuông có đường chéo bằng d là 1 2

d

2

- Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

S = 1

2ab (a, b là độ dài hai cạnh góc vuông)

- Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

S = 1

2ah (a, h là độ dài cạnh và đường cao tương ứng)

- Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao :

S = 1

2 (a + b) h (a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao)

- Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó ;

S = ah (a, h là độ dài một cạnh và đường cao tương ứng)

- Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo :

1 2 1 2

1

S = d d (d ; d

2 là độ dài hai đường chéo tương ứng)

- Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo

1 2 1 2

1

S = d d (d ; d

2 là độ dài hai đường chéo tương ứng)

3 Bổ sung

- Hai tam giác có chung một cạnh (hoặc một cặp cạnh bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường

cao ứng với cạnh đó

- Hai tam giác có chung một đường cao (hoặc một cặp đường cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh ứng với đường cao đó

- ABCD là hình thang (AB // CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thìSAOD = SBOC

- Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

- Hai hình chữ nhật có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy

- Tam giác đều cạnh a có diện tích là

2

a 3

4

II Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có diện tích là S Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao

cho AM = 2.BM, BN = 2.NC, CP = 2.PA Tính diện tích tam giác MNP theo S

Giải (h.52)

Áp dụng tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao, ta có :

ABN ABC

BMN ABN

BN = BC =>S = S = S

BM = AB =>S = S = S= S.

Tương tự như vậy ta có :

AMP 2 CNP 2

S = S ; S = S

Suy ra

MNP ABC AMP BNM CNP

1

S = S - S - S - S = S

3

Ví dụ 2 Cho ABC, trên tia đối của các tia BA, CB, AC lấy M, N, P sao cho BM = BA, CN = CB, AP

= AC Chứng minh SMNP = 7SABC

Giải (h.53)

ABC và ANC có chung đường cao kẻ từ A và BC = CN nên SABC = SACN

Tương tự, ta có :

S = S => S = S

S = S = S ;

S = S = S

Mà SMNP = SABC + SACN + SANP + SAPB + SBPM + SBCM + SCNM

Do đó : SMNP = 7SABC.

Nhận xét

- Nên nhớ tính chất : Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng

nhau

- Vận dụng kĩ thuật trên, có thể làm được bài toán sau : Cho tứ giác ABCD, trên tia đối của các tia AD,

BA, CB, DC lấy M, N, P, Q sao cho AM = AD, BN = BA, CP = CB, DQ = CD Chứng minh

Ví dụ 3 Cho ABC Lấy điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AC, AB, BC sao cho

= = =

AC BC AB 3 Gọi I là giao điểm của BM, CN Gọi E là giao điểm của CN, AP Gọi F là giao

điểm của AP, BM Chứng minh : SEIF = SIMC + SFBP + SNEA

Giải (h.54)

Áp dụng tính chất hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy ứng với đường cao đó, ta có :

Ta có : ABP ABC

BP = BC => S = S

Tương tự, ta có: BMC ABC

1

3

CAN ABC

1

S = S

Suy ra: SABP + SBMC + SCNA = SABC

hay SANE + SBNEF + SBFP + SBFP + SCPFI + SCMI + SCMI + SMIEA + SANE

= SANE + SBNEF + SBFP + SCPFI + SCMI + SMIEA + SEFI

Vậy: SANE + SBFP + SCMI = SEFI.

Nhận xét Kĩ thuật của bài là vận dụng tính chất hai tam giác có chung đường cao thì số diện tích bằng tỉ

số hai đáy ứng với đường cao đó, và lưu ý :

1

3 + + = 3 3 Dựa vào kĩ thuật đó, có thể giải được bài sau : Cho ABC Lấy điểm M, N, P lần lượt

thuộc cạnh AC, AB, BC sao cho CM 1 AN 1

= ; =

AC 3 AB 6 và BP = CP Gọi I là giao điểm của BM, CN Gọi E

là giao điểm của CN, AP Gọi F là giao điểm của AP, BM Chứng minh :SEIF = SIMC + SFBP + SNEA

Ví dụ 4 Cho ABC vuông cân tại A có BC = 36cm Vẽ hình chữ nhật MNPQ sao cho MAB, QAC,

P, NBC Xác định vị trí của N và P để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất

Giải (h.55)

Đặt MN = NB = x thì PQ = CP = x và PN = 36 - 2x

Suy ra diện tích MNPQ là :

S = NP.QP = x.(36 - 2x)

S = 36x - 2 x2

( )

Vậy diện tích của hình chữ nhật MNPQ lớn nhất là 162cm2khi BN = CP = 9(cm)

III Bài tập tự luyện

1 Cho hình thang ABCD (BC là đáy nhỏ) Gọi I là trung điểm của CD Qua I kẻ đường thẳng d song

song với AB Kẻ AH và BE vuông góc với d Chứng minh SABCD = SABEH.

2 Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, BDC = 45°.Tính diện tích hình thang ABCD

3 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm và hai đường chéo là AC = 16cm, BD =

12cm Tính diện tích hình thang ABCD

4 Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với bốn đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có 3

điểm nào thẳng hàng Biết diện tích tứ giác là 1 Chứng minh rằng : tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ

8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1

10 Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm

trong đa giác đó

(Tuyển sinh lớp 10 chuyên THPT Chu Văn An,

Hà Nội - Amsterdam năm học 2003- 2004)

5 Cho tam giác ABC M, N tương ứng là trung điểm của các đoạn CA ; CB I là điểm bất kì trên đường

thẳng MN (I M ; I  N) Chứng minh rằng trong ba tam giác IBC, ICA, IAB có một tam giác mà diện

tích của nó bằng tổng các diện tích của hai tam giác còn lại

6 Cho hình bình hành ABCD có diện tích là S Gọi M là trung điểm của BC Gọi N là giao điểm AM và

BD Tính diện tích tứ giác MNDC theo S

7 Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3cm và 5cm Độ dài đoạn nối trung điểm hai đáy là 2cm

Tính diện tích hình thang

8 Ta nói ABCDE là ngũ giác đặc biệt nếu mỗi đường chéo song song với một cạnh tương ứng (h.56)

Nói cách khác BD // EA, EB// DC, AC// ED, CE// BA và DA// CB Gọi X, Y, Z, V, W là giao điểm các

đường chéo như hình vẽ

Chứng minh rằng nếu ABCDE là ngũ giác đặc biệt thì 5 tam giác AXY, BYZ, CZV, DVW và EWX có

diện tích bằng nhau và bản thân ngũ giácXYZVW cũng là ngũ giác đặc biệt

9 Cho tam giác ABC nhọn Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác sao cho AM BC + BM CA +

CM AB đạt giá trị nhỏ nhất

10 Chứng minh rằng hai hình chữ nhật bằng nhau kích thước a  b được xếp sao cho chúng cắt nhau tại

8 điểm thì diện tích phần chung lớn hơn nửa diện tích một hình chữ nhật

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí