Khoá luận tốt nghiệp diện tích đa giác và một số bài toán hình học

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên CÚ11 khóa luận “Diện tích đa giác và m ột số bài toán hình học”, em có sử dụng một số tài liệu tham khảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su' PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian em theo học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Phan Hồng Trường, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn chỉ bảo, định hướng cho em để

em có thể hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của em không thế tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chãn thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Nguyệt

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên CÚ11 khóa luận “Diện tích đa giác và m ột số bài

toán hình học”, em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình Danh sách tài liệu này em đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo

của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của

bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường

cũng như các thầy cô trong tổ Hình học

Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cún của các tác giả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Nguyệt

MỤC LỤC

MỞ Đ Ầ U 1

Chương 1: C ơ SỞ LÝ T H U Y ẾT 3

1.1 KIẾN THỨC C ơ B Ả N 3

1.1.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 3

1.1.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp k h ú c 3

1.1.3 Một số bất đẳng thức đại số 3

1.2 DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN T ÍC H 5

1.2.1 Diện tíc h 5

1.2.2 Phương pháp diện tíc h 6

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH T R O N G 8

GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN HÌNH HỌC P H Ẳ N G 8

2.1 CÁC BIỆN PHÁP THỰC H IỆN 8

2.1.1 Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích đa g iác 8

2.1.2 Sử dụng các tính chất 8

2.2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PH Ẳ N G 9

2.2.1 Bài toán chứng minh 9

2.2.2 Bài toán cực t r ị 22

2.2.3 Bài toán dựng h ìn h 36

2.2.4 Bài toán tìm tập đ iể m 47

2.3 BÀI TẬP LUYỆN TẬ P 57

KẾT L U Ậ N 59

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 60

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Đe giải các bài toán trong hình học phang có nhiều phương pháp, bên cạnh các phương pháp như sử dụng phép biến hình, phương pháp vec-tơ, phương pháp tọa đ ộ thì phương pháp diện tích cũng là một phương pháp để giải toán hình học, chứng minh các định lý, công thức Phương pháp diện tích đôi khi là một phương pháp hay, có thể cho ta lời giải ngắn gọn, hợp lý đối với một số bài toán hình học Ngoài ra, việc vận dụng phương pháp diện tích còn rèn luyện tư duy cho học sinh

Việc sử dụng phương pháp diện tích vào giải các bài toán trong hình học phang là không nhiều bởi chúng là những bài toán khó Nhung chúng là một trong những nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi

Không phải ngẫu nhiên trong lý thuyết chứng minh hình học hiện đại người ta có nhắc đến và sử dụng phương pháp diện tích như một lý thuyết quan trọng

Với lý do trên và mong muốn ứng dụng phương pháp diện tích trong hình học phẳng Được sự hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường, em đã

chọn đề tài “Diện tích đa giác và một số bài toán hình học”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các ứng dụng khác nhau của phương pháp diện tích, đưa ra được hệ thống các bài toán phong phú và đa dạng thể hiện tính ưu việt của phương pháp diện tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cún

Các bài toán chứng minh, tìm tập điểm, dựng hình, tìm cực trị trong hình học phang

3.2 Phạm vi nghiên cún

Các bài toán chứng minh, tìm tập điếm, dựng hình, tìm cực trị trong hình học phẳng được giải bằng phương pháp diện tích

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Một là, đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản để áp dụng các bài toán hình học bằng phương pháp diện tích

Hai là, ứng dụng phương pháp diện tích giải bài toán chứng minh, tìm tập điểm, dựng hình, bài toán cực trị trong hình học phang

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận chung về phương pháp diện tích để xác định cơ sở lý luận của đề tài

Tìm và tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên quan

để xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phương pháp diện tích để giải bài toán hình học

Phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Dùng diện tích giúp ta giải quyết nhiều bài toán ở bậc Trung học cơ sở nên nội dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá giỏi của bậc Trung học cơ sở

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Chương 1: C ơ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 KIẾN THỨC C ơ BẢN

1.1.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu thường được sử dụng dưới các dạng sau:

* Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền BC thì AH < BC, xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi

• AB + AC > BC Dấu “=” xảy ra khi và chi khi A nằm giữa B và c

• IAB - AC| < BC Dấu “=” xảy ra khi và chi khi B, c cùng phía với A

1.1.3 Một số bất đẳng thức đại số

1.1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy

(Bất đẳng thức Cauchy được sử dụng trong các bài toán hình học bằng cách biểu thị độ dài thay đổi bằng các biến X, y v.)

Cho hai số không âm X, y Khi đó ta có X + y >

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi X = y

Hê quả của bất đắng thức Cauchv

Neu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi

Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

Ta còn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để m ở rộng cho ba số dương:

Từ bất đẳng thức Cauchy ta có một số bất đẳng thức thường hay sử dụng khi giải bài toán cực trị hình học là:

• Với ba số dương a, b , c ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

• Với ba số dương a, b, c ta luôn có:

• Với hai bộ n số thực ( ai, a2, a3, a n) và (bi, b2, b3, b n) bất kỳ ta có:

(ai b |+ a2 ồ2+ .+anbn)2 < (ã]2 + a22 + + an2) (bị2 + ồ22 + + bn2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ^ ^ = = ^

b, b 2 b n

• Với X + y = a ( với a là hằng số ) thì

hoặc (xy)max = ^ -h o ặ c (x2 + y2)min = .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi X = y = —

• Neu x.y = a (a là hằng số) thì ( X + y) min = 2 <^> X = y = *Jã

1.1.33 Bất đắng thức lũy thừa bậc hai

• Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai thường được sử dụng dưới dạng:

A2 > 0 ; - A2 < 0

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Do đó với m là hằng số, ta có:

f = A2 + m > m; min f = m khi và chỉ khi A = 0

f = - A2 + m < m; max f = m khi và chỉ khi A = 0

1.2 DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH

* Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

* Neu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của đa giác ban đầu bằng tổng diện tích của nhũng đa giác đó

* Hình vuông có cạnh là 1 thì có diện tích là 1

ỉ 2.1.3 Diện tích của các hình đặc biệt

* Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b Gọi ha , hb , hc lần lượt

là các đường cao hạ từ A, B, C; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội

, â + b + c

tiêp tam giác, p = - - là nửa chu vi tam giác

Khi đó diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

Diện tích hình thang bằng nửa tích tổng hai đáy

với chiều cao

* Diện tích đa giác

Việc tính diện tích của một đa giác bất kỳ thường được quy về việc tính diện tích của các hình đặc biệt kể trên

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

đo chu v i, của các hình thì ta có thể tính được diện tích của các hình đó Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của các hình thì ta có thể suy ra quan hệ của các yếu tố trên

Như vậy sử dụng các công thức diện tích và tỷ số diện tích có thể giúp

ta so sánh và thiết lập mối quan hệ giữa các hình với nhau như ba đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng song song,

Đe giải một bài toán hình học bằng phương pháp diện tích ta thực hiện theo các bước sau:

• Thiết lập quan hệ diện tích giữa các hình

• Sử dụng công thức diện tích, tính chất và tỷ số diện tích để biễu diễn mối quan hệ đó

• Biến đổi mối quan hệ trên ta suy ra kết luận của bài toán

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 CÁC BIỆN PHÁP THỤC HIỆN

2.1.1 Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích đa giác

Ta sử dụng công thức tính diện tích đa giác đã nêu ở chương 1

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2 2.1.2.3 Tỉnh chất 3

c Cho AABC, đường thẳng song song với ẩ t cắt AB tạ?E và cắt AC tạPF

Khi đó ta có —— - ; S efb - S efc

2.2.1 Bài toán chứng minh

2.2.1.1, M ột số ví dụ

Ví du 1: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ m ột điểm tùy ý trong tam giác đều đến ba cạnh của tam giác là không đổi.

<=> MK + MI + MJ = AH (vì AABC đều nên AB = AC = BC)

Vậy tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong AABC đều đến các cạnh của tam giác có độ dài không đổi và bằng chiều cao của tam giác

Cách 2: (Hình 2)

Từ M trong tam giác ta kẻ đường thắng song song với BC, cắt AB và

AC tương ứng tại p và ọ Dễ thấy do ÀABC đều nên ÀAPQ đều

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại R => AMPR đều

Gọi PT là đường cao của ÀMPR, s = PT n RM

Khi đó ta có: MI + MJ + MK = MI + ST + PS (AMPR đều nên MK = PS)

=> MI + MJ + MK = MI + PT = AH (không đổi)

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Vậy tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong ÀABC đều đến các cạnh của tam giác có độ dài không đổi và bằng chiều cao của tam giác

Ta co SABC bc , SA,gC bc , SBCB, a

Lại có tứ giác A B B’A ’ là hình thang do đó AB // A ’B ’

(cùng vuông góc với AC) nên

Vỉ du 3 : Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác lồi có cùng chu vi cho trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Giả sử ABCD là tú' giác lồi có chu vi 1 cho trước

Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Khi đ ó a + b + c + d = l

Từ B kẻ BH _L AD, BK _L CD, ta có SABCD = SABD + SBCD

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Suy ra SABCD = —HB.AD + — BK.CD

^■S4BCD < I a b.a d + I b c.c d

Dấu “ =” xảy ra khi H = A và B = K hay BAD = BCD = 90"

Tương tự =>SABCD < - ^ a d + ^ b c (2)Dấu “ = ” xảy ra khi Ấ i c = ẤDC = 90°

Từ (1) và (2) suy ra SABCD < ^ (a + c ) (b+d) (3)Dấu “=” xảy ra khi BAD = BCD = Ấ i c = ẤDC = 90° tức là khi ABCD là

Vỉ du 4 Cho tứ giác ABCD, các đường thắng A B và CD cắt nhau tại

E, Gọi F và G theo thứ tự là trung điếm của các đường chéo A C và BD.

Chứng minh rằng S e f g = — S a b c d

4

Lời giải

Nối AG và CG, ta có:

s _ = s - s _ - s EFG AEG AGF AEF

= s ABG + s EGB - s AGF - sAEF

•N ếu AD n BC = H thì = - S _ Khi đó ta có s HGF = EFG

•N eu AD n BC = H và K là trung điểm của EH, khi đó dựa vào bài toán trên ta chứng minh được G, F, K thẳng hàng

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Vỉ du 5 Cho hình bình hành ABCD, g ọ i p , Q, R, s theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CD, DA, ABy BC Vẽ bốn đường thẳng nối lần hrợt các đỉnh A, B, Cy D với các điếm p , Q, R, s Chứng minh rằng tứ giác

•V ì tứ giác EFGH là hình bình hành nên bài toán có thể phát biểu nhưsau:

“Cho hình bình hành EFGH, trên tỉa đối FE, GF, HG, E H lần lượt lấy các điếm c, D, A, B sao cho E, F, G, H lần ỉượt là trung điếm các đoạn HB,

EC, FD, GA Chứng minh rằng S EFGH = i S ABCD ”

•K hi tứ giác ABCD hay EFGH không phải hình bình hành thì kết luận trên cũng đúng nên ta có bài toán sau:

“ Cho tứ giác EFGH, trên tia đối FE, GF, HG, E H lần lượt lấy các điếm

c , D, A, B sao cho E, F, G, t ì lần lượt là trung điếm các đoạn HB, EC, FD,

GA Chứng minh rằng S EFGH = ^ S XBCO ”

T u í k H E _ E F _ F G _ G H _ , u > S ABCD _ c

• Ta thây răng 3 = —— = 1 thì _ABCP = 5

Thay “ 1” bởi “m” thì SABCD = [2m (m +l) + ì].SĨFGH

Như vậy ta được bài toán tổng quát của bài toán trên:

“Cho tứ giác EFGH, trên tia đối FE, GF, HG, E H lần lượt lấy các điếm

r n A R h HE _ E F _ F G _ G H _

c, D, A, B sao cho —— = —— = —— = —— = m

EB FC GD HA Chứng minh rằng SABCD = [2m (m +l) + l].SEFGH

Vỉ du 6: Trên các cạnh BC, ACy AB của AABC lấy các điểm E, F, G, Chúng minh rằng AE , BF, CG đồng quy khi và ch ỉ khi

AG BE CF _ 1

GB EG FA ~

(Định lý Xeva khi ba điểm E, F, G nằm trên ba cạnh của tam giác)

Lời giải

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Gọi p là giao điểm của BF, CG và E ’ là giao điểm của AP và BF

Do A E ’, BF, CG đồng quy tại p nên theo chứng minh điều kiện cần ta có:

Mà E, E ’ đều thuộc đoạn BC nên E = E'

Vậy AE, BF, CG đồng quy

Nhân xét

• Bài toán còn có thể phát biểu như sau:

“Cho ầABC, dựng các AẢBD, ABCH, AC AK sao cho các điêm D, H, K theo thứ tự năm bên trong các góc ACB, BAC, CBA.

Tìm điều kiện để AH, BK, CD đồng quy ”

Ví du 7: Cho tam giác ABC, trên cạnh B C lấy hai điếm M và N.

Chứng minh rằng MAB = NAC khi và chỉ khi

NAC

AM.ABAN.AC1

Xét AANB và AAMC có NAB = MAC nên ta có _

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Nhân hai vế của (*) và (**) ta có

Khi đó trên BC lấy N ’ sao cho MAB = N'AC

Theo chứng minh trên ta có M B.N B

• Từ kết quả của ví dụ 6 ta xét bài toán mở rộng sau:

“C/zơ tam giác ABC, AD là phân giác trong góc A Trên AD lấy hai điếm

M, N sao cho MBA — N B D Chứng minh rằng MCA — NCD ”

Vì AD là phân giác BAC nên ta có

Áp dụng kết quả bài toán trên cho ÀACD ta được M CA = NCD

Ví du 8: Cho tam giác ABC, về ph ía ngoài tam giác dựng các tam giác ABG, BCE, CAF sao cho S b c e + S c a f + S a b g < S a b c • Qua E, F, G ta kẻ các

đường thẳng tương ứng song song với BC, CA, ABy chúng cắt nhau tạo thành AMNP Chứng minh rằng S m n p < 2 S e c f a g b •

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Do đó NB < OB => SBNE < SBOE ; PC < ОС => SCPE < SCOE

Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh B C và CD lần lượt lấy M

Bài 4: Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một tứ giác, trong đó hai đỉnh của hình bình hành là trung điếm hai cạnh đối của tứ giác Chứng minh rang diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác Bài 5 : Cho tam giác ABC Lầy các điếm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = —AB , BE = —BC, CF = —CA Các đoạn

thắng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác Chứng minh rằng diện tích tam giác này bằng — diện tích tam giác ABC.

Bài 6: o là một điềm nam trong tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự

là các hình chiếu của o trên BC, AC, AB Trên các tia OD, OE, OF lấy lần lượt các điểm A ’, B ’, C ’ sao cho OA ’ = BC, OB ’ = AC, O C ’ — ẢB.

Chứng minh rang diện tích tam giác A ’B ’C ’ không phụ thuộc vào vị tí của điếm o trong tam giác.

Bài 7 Cho hình bình hành ABCD Các điếm E, F, G, t ì theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EG không song song với ẢD Cho biết diện tích tứ giác EFG H bằng nửa diện tích hình bình hành ABCD Chứng minh rằng H F song song với CD.

2.2.2.1 M ột số vỉ dụ

Ví du 1: Tìm m ột tứ giác nội tiếp (O, R) cho trước có diện tích lởn nhất.

Lời giải

Khóa luận tôt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Kẻ AH và CK vuông góc với BD (H, K e BD) Gọi AC n BD = I

Ta c ó : S a b c d = S a b d + S c b d

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi I = H = K và AC = BD =2R nghĩa là AC và BD

là hai đường kính của (O) hay ABCD là hình vuông

Vậy trong các tứ giác nội tiếp (O, R) thì hình vuông có diện tích lớn nhất

Ví du 2: Cho tam giác ABC, trên B C lấy điểm M bất kỳ Đường thẳng

đi qua M và song song với A B cắt A C tại p , Đ ường thắng đi qua M và song

= — AH.BD + —CK.BD

= — (AH + CK).BDMặt khác ta có I, H, K e BD nên từ AH _L BD và CK _L BD

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử MB < MC.

Khi đó trên BC, lấy điểm H sao cho MH = MB

Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại K, cắt QM kéo dài tại G

Dễ thấy AMBỌ = AMHG (c.g.c) =^> S m bq = S m hg (*)

Mà AKGỌ là hình bình hành có MP là đường trung bình

• Xét bài toán tương tự:

“Cho tam giác AB C có hai góc nhọn ở B và c Dựng hình chữ nhật

M NPQ sao cho M năm trên cạnh AB, N nằm trên AC, còn hai điếm p và Q nằm trên cạnh BC Tìm vị trí của M sao cho diện tích hình chữ nhật M NPQ là lớn n h ấ t”.

Hướng dẫn

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

=> Max Sm n pq = — S a b c xảy ra khi S m r h q = — S a b h và S r n h p = — S a c h

khi và chỉ khi M là trung điểm AB, N là trung điếm AC

•B ài toán tương tự

1 Cho xOy và M là điểm cố định thuộc miền trong x O y M ột đường thăng d quay xung quanh điếm M, cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại A, B Hãy dựng đường thắng d đế S 0 AB nhỏ nhất.

2 Cho hình thang ABCD (AB / / CD), hai đường chéo A C và BD cẳt nhau tại p Chứng minh rằng S p AB + S p c d ^ — S a b c d •

Ví du 3 : Cho tam giác A B C và ba điếm A \ B \ C ’ lầỉt lượt nằm trên ba cạnh BC, AC, A B sao cho AA % B B \ c c ’ đồng quy tại o (A B ’, C ’ không trùng với các đỉnh của tam giác).

Tính giá trị lởn nhất và giá trị nhỏ nhất của tồng ^ ^ + ^ 7— + ——

Lời giải

Kẻ BH 1 A A \ C K 1 A A ’ (H, K G A A ’) K

Xét AAA’B và AAA’C có cùng chiều cao hạ từ A nên theo tính chất 2 ta có:

(1) A'C

Mặt khác AAA’B và AAA’C có chung cạnh A A ’ và có hai đường cao tương ứng là BH và CK nên ta có:

_ 'J BOC

B’A s,

C’A s.

C B SCOBNhân từng vế của các đẳng thức (4), (5), (6) ta được:

A'C B'A C'B SAOC SBOA SCOB

( 4 )

( 5 )

(6)

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:

A'B B'C C'A 0 IA'B B'C C'A „

n + -h ^ 33 ”“•11 -• — 3

A'C B'A C'B V A'C B'A C'B

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Khi đó A ’, B ’, C ’ lần lươt là

A'C B'A C'Btrung điểm của BC, CA, AB

í A 'Vậy min

' A \A'B B'C C'A+ - +A'C B'A C'B = 3 khi A ’, B ’, C ’ là trung điểm của BC,

Ta có AMAB và AMA’B là hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B

và có hai đáy tương ứng là AM, A ’M