Diện tích đa giác và một số bài toán hình học

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG .... Lý do chọn đề tài Để giải các bài toán trong hình học phẳng có nhiều phương pháp, bên cạnh các phương pháp như s

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán

trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ

Hình học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian em theo

học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Phan Hồng

Trường, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn chỉ bảo, định hướng cho em để

em có thể hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của

bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những

thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các

thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Nguyệt

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Diện tích đa giác và một số bài

toán hình học”, em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa

luận của mình Danh sách tài liệu này em đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo

của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của

bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường

cũng như các thầy cô trong tổ Hình học

Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn

sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Nguyệt

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 3

1.1.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc 3

1.1.3 Một số bất đẳng thức đại số 3

1.2 DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH 5

1.2.1 Diện tích 5

1.2.2 Phương pháp diện tích 6

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG 8

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 8

2.1 CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 8

2.1.1 Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích đa giác 8

2.1.2 Sử dụng các tính chất 8

2.2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 9

2.2.1 Bài toán chứng minh 9

2.2.2 Bài toán cực trị 22

2.2.3 Bài toán dựng hình 36

2.2.4 Bài toán tìm tập điểm 47

2.3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 57

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Để giải các bài toán trong hình học phẳng có nhiều phương pháp, bên

cạnh các phương pháp như sử dụng phép biến hình, phương pháp vec-tơ,

phương pháp tọa độ… thì phương pháp diện tích cũng là một phương pháp để

giải toán hình học, chứng minh các định lý, công thức Phương pháp diện tích

đôi khi là một phương pháp hay, có thể cho ta lời giải ngắn gọn, hợp lý đối

với một số bài toán hình học Ngoài ra, việc vận dụng phương pháp diện tích

còn rèn luyện tư duy cho học sinh

Việc sử dụng phương pháp diện tích vào giải các bài toán trong hình học

phẳng là không nhiều bởi chúng là những bài toán khó Nhưng chúng là một

trong những nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi

Không phải ngẫu nhiên trong lý thuyết chứng minh hình học hiện đại

người ta có nhắc đến và sử dụng phương pháp diện tích như một lý thuyết

quan trọng

Với lý do trên và mong muốn ứng dụng phương pháp diện tích trong

hình học phẳng Được sự hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường, em đã

chọn đề tài “Diện tích đa giác và một số bài toán hình học”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các ứng dụng khác nhau của phương pháp diện tích, đưa ra

được hệ thống các bài toán phong phú và đa dạng thể hiện tính ưu việt của

phương pháp diện tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán chứng minh, tìm tập điểm, dựng hình, tìm cực trị trong

hình học phẳng

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán chứng minh, tìm tập điểm, dựng hình, tìm cực trị trong

hình học phẳng được giải bằng phương pháp diện tích

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Một là, đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản để áp dụng các bài toán hình

học bằng phương pháp diện tích

Hai là, ứng dụng phương pháp diện tích giải bài toán chứng minh, tìm

tập điểm, dựng hình, bài toán cực trị trong hình học phẳng

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận chung về phương pháp diện tích để xác định cơ sở lý

luận của đề tài

Tìm và tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên quan

để xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phương pháp diện tích để giải bài toán

hình học

Phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến giảng viên

hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Dùng diện tích giúp ta giải quyết nhiều bài toán ở bậc Trung học cơ sở

nên nội dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu

tham khảo cho học sinh khá giỏi của bậc Trung học cơ sở

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu thường được sử

dụng dưới các dạng sau:

* Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh

góc vuông AH và cạnh huyền BC thì AH  BC, xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi

H trùng với B

* Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn

thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

* Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường thẳng song song,

đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

* Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường

xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu lớn hơn

1.1.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta có:

 AB + AC ≥ BC Dấu “=” xảy ra khi và chi khi A nằm giữa B và C

 |AB – AC| ≤ BC Dấu “=” xảy ra khi và chi khi B, C cùng phía với A

1.1.3 Một số bất đẳng thức đại số

1.1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy

(Bất đẳng thức Cauchy được sử dụng trong các bài toán hình học bằng cách

biểu thị độ dài thay đổi bằng các biến x, y, )

Cho hai số không âm x, y Khi đó ta có x + y 2 xy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi

hai số đó bằng nhau

Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và

chỉ khi hai số đó bằng nhau

Ta còn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để mở rộng cho ba số dương:

Từ bất đẳng thức Cauchy ta có một số bất đẳng thức thường hay sử dụng khi

giải bài toán cực trị hình học là:

Với ba số dương a, b , c ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

 Với ba số dương a, b, c ta luôn có:

 Nếu x.y = a (a là hằng số) thì ( x + y) min = 2 a  x = y = a

1.1.3.3 Bất đẳng thức lũy thừa bậc hai

 Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai thường được sử dụng dưới dạng:

A2 0 ; - A2 ≤ 0

Do đó với m là hằng số, ta có:

f = A2 + m  m; min f = m khi và chỉ khi A = 0

f = - A2 + m ≤ m; max f = m khi và chỉ khi A = 0

1.2 DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH

1.2.1 Diện tích

1.2.1.1 Định nghĩa

Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích

của đa giác đó

Diện tích của hình H trong mặt phẳng được ký hiệu là SH

1.2.1.2 Tính chất của diện tích

* Mỗi đa giác đều có một diện tích xác định Diện tích của đa giác là

một số dương

* Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

* Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong

chung thì diện tích của đa giác ban đầu bằng tổng diện tích của những đa giác đó

* Hình vuông có cạnh là 1 thì có diện tích là 1

1.2.1.3 Diện tích của các hình đặc biệt

* Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b Gọi ha , hb , hc lần lượt

là các đường cao hạ từ A, B, C; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp tam giác, p = a + b + c

2 là nửa chu vi tam giác

Khi đó diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

 S = p.(p - a)(p - b)(p - c)

* Diện tích hình chữ nhật

S = a.b

(với chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b)

*Diện tích hình vuông

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

S = a2

(với a là độ dài cạnh hình vuông) * Diện tích hình thang Diện tích hình thang bằng nửa tích tổng hai đáy

với chiều cao S = 1 2( a+ b ) h

(với a, b là độ dài hai đáy, h là chiều cao) * Diện tích hình bình hành

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh

với chiều cao tương ứng S = a.h

* Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ dài

hai đường chéo

* Diện tích đa giác

Việc tính diện tích của một đa giác bất kỳ thường được quy về việc tính diện

tích của các hình đặc biệt kể trên

1.2.2 Phương pháp diện tích

Ta đã biết công thức tính diện tích của các đa giác như công thức tính

diện tích tam giác, tứ giác, hình thang, hình bình hành,… và một số tính chất

về tỉ số diện tích Khi biết một số yếu tố như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số

a

b

a

a

h

a

h

đo chu vi,… của các hình thì ta có thể tính được diện tích của các hình đó

Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của các hình thì ta có thể suy ra quan hệ

của các yếu tố trên

Như vậy sử dụng các công thức diện tích và tỷ số diện tích có thể giúp

ta so sánh và thiết lập mối quan hệ giữa các hình với nhau như ba đường

thẳng đồng quy, hai đường thẳng song song,…

Để giải một bài toán hình học bằng phương pháp diện tích ta thực hiện

theo các bước sau:

 Thiết lập quan hệ diện tích giữa các hình

 Sử dụng công thức diện tích, tính chất và tỷ số diện tích để biễu diễn

mối quan hệ đó

 Biến đổi mối quan hệ trên ta suy ra kết luận của bài toán

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

2.1 CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

2.1.1 Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích đa giác

Ta sử dụng công thức tính diện tích đa giác đã nêu ở chương 1

Cho hai tam giác ABC và tam giác DBC chung cạnh BC Gọi AH và

DK là hai đường cao của ∆ABC và ∆DBC Khi đó ta có ABC

DBC

S AH =

S DK và

nếu BC  AD = E thì ABC

DBC

S AE =

2.1.2.3 Tính chất 3

Cho hai đường thẳng DB và CE cắt nhau tại A Khi đó ADE

ABC

S AE.AD =

2 ABC

S EF =

S BC ; SEFB = SEFC

2.2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Trong hình học có nhiều dạng toán mà khi áp dụng phương pháp diện

tích sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo Ở đây tôi xin trình bày bốn dạng

toán cơ bản nhất là bài toán chứng minh, bài toán tìm cực trị, bài toán dựng

hình, bài toán tìm tập điểm

2.2.1 Bài toán chứng minh

2.2.1.1 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý trong

tam giác đều đến ba cạnh của tam giác là không đổi

Lời giải

Cách 1: (Hình 1)

Gọi AH là đường cao của ∆ABC, vì ∆ABC đều nên độ dài AH không đổi

Nối MA, MB, MC ta được các tam giác MAB, MAC, MBC

Gọi MI, MJ, MK lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB

Khi đó ta có: SABC = SMAB + SMBC + SMAC

 MK + MI + MJ = AH (vì ∆ABC đều nên AB = AC = BC)

Vậy tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong ∆ABC đều đến các cạnh của

tam giác có độ dài không đổi và bằng chiều cao của tam giác

Cách 2: (Hình 2)

Từ M trong tam giác ta kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và

AC tương ứng tại P và Q Dễ thấy do ∆ABC đều nên ∆APQ đều

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại R  ∆MPR đều

Gọi PT là đường cao của ∆MPR, S = PT  RM

Khi đó ta có: MI + MJ + MK = MI + ST + PS (∆MPR đều nên MK = PS)

Vậy tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trong ∆ABC đều đến các cạnh

của tam giác có độ dài không đổi và bằng chiều cao của tam giác

Nhận xét

Từ hai cách chứng minh trên, ta thấy với bài toán trên sử dụng phương

pháp diện tích ở cách 1 cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu và hình vẽ đơn giản hơn

Trên tia đối của tia CA lấy điểm A’ sao cho CA’ = c Từ A’ dựng đường

thẳng vuông góc với AC, lấy B’ sao cho A’B’ = b

ABC + BCA = 90 , A'CB' + A'B'C = 90

nên BCA + A'CB' = 90  BCB' = 90

Vậy ∆BCB’ vuông tại C

Ta có SABC = bc , S1 A'BC = bc , S1 BCB' = a1 2

Lại có tứ giác ABB’A’ là hình thang do đó AB // A’B’

(cùng vuông góc với AC) nên

2 ABB'A'

Có rất nhiều cách để chứng minh định lý Pitago nhƣ chứng minh của

Euclid, dùng hình mở rộng, cắt và ghép hình, chứng minh bằng đại số, chứng

minh bằng vi phân…, cách chứng minh dựa vào diện tích nhƣ trên là của một

Tổng thống Mỹ năm 1876 Đó đƣợc coi là một trong những cách chứng minh

hay và sáng tạo Hơn nữa, cách chứng minh này phù hợp và vừa sức để chứng

minh cho học sinh

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác lồi có cùng chu vi

cho trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất

Suy ra SABCD = HB.AD + BK.CD1 1

BAD = BCD = ABC = ADC = 90 tức là khi ABCD là hình chữ nhật Khi đó a = c và b = d (4)

Mặt khác 1(a+c) (b+d)

4

16 (a+c) (b+d)

(a+c) + 2(a+c)(d+b) + (b+d)

16



Từ (4), (6), (7) suy ra SABCD lớn nhất bằng

2

l4

Ví dụ 4 Cho tứ giác ABCD, các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại

E, Gọi F và G theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo AC và BD

Chứng minh rằng S EFG = 1

Lời giải

Nối AG và CG, ta có:

EFG AEG AGF AEF

Nếu AD BC = H thì SHGF = S1 ABCD

4

 Khi đó ta có SHGF= SEFG

Nếu AD  BC = H và K là trung điểm của EH, khi đó dựa vào bài

toán trên ta chứng minh đƣợc G, F, K thẳng hàng

Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD, gọi P, Q, R, S theo thứ tự là

trung điểm của các cạnh CD, DA, AB, BC Vẽ bốn đường thẳng nối lần

lượt các đỉnh A, B, C, D với các điểm P, Q, R, S Chứng minh rằng tứ giác

tạo bởi các đường này có diện tích bằng 1

SABH + SADG + SDCF + SCBR = 2(SABH + SHGF + SGFE + SHEF) = 4SEFGH

 SABH + SADG + SDCF + SCBR + SEFGH = 5 SEFGH

 SABCD = 5 SEFGH hay SEFGH = 1

Vì tứ giác EFGH là hình bình hành nên bài toán có thể phát biểu nhƣ

sau:

“Cho hình bình hành EFGH, trên tia đối FE, GF, HG, EH lần lượt lấy

các điểm C, D, A, B sao cho E, F, G, H lần lượt là trung điểm các đoạn HB,

EC, FD, GA Chứng minh rằng 1

5

Khi tứ giác ABCD hay EFGH không phải hình bình hành thì kết luận

trên cũng đúng nên ta có bài toán sau:

“ Cho tứ giác EFGH, trên tia đối FE, GF, HG, EH lần lượt lấy các điểm

C, D, A, B sao cho E, F, G, H lần lượt là trung điểm các đoạn HB, EC, FD,

S = 5S

Thay “1” bởi “m” thì SABCD = 2m(m+1) + 1 S  EFGH

Nhƣ vậy ta đƣợc bài toán tổng quát của bài toán trên:

“Cho tứ giác EFGH, trên tia đối FE, GF, HG, EH lần lượt lấy các điểm

C, D, A, B sao cho HE EF FG GH m

EB  FC GD HA  Chứng minh rằng SABCD = 2m(m+1) + 1 S  EFGH”

Ví dụ 6: Trên các cạnh BC, AC, AB của ∆ABC lấy các điểm E, F, G

Chứng minh rằng AE, BF, CG đồng quy khi và chỉ khi

S GB (2)

CBP

ABP

S FC =

S FA (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ACP ABP CBP

CBP ACP ABP

GA EB FC S S S = = 1

GB EG FA S S S

* Điều kiện đủ

Gọi P là giao điểm của BF, CG và E’ là giao điểm của AP và BF

Do AE’, BF, CG đồng quy tại P nên theo chứng minh điều kiện cần ta có:

Mà E, E’ đều thuộc đoạn BC nên E E'

Vậy AE, BF, CG đồng quy

Nhận xét

 Bài toán còn có thể phát biểu nhƣ sau:

“Cho ∆ABC, dựng các ∆ABD, ∆BCH, ∆CAK sao cho các điểm D, H, K

theo thứ tự nằm bên trong các góc ACB, BAC, CBA

Tìm điều kiện để AH, BK, CD đồng quy”

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm M và N

Chứng minh rằng  MAB  NAC khi và chỉ khi

2

= = 1

Xét ∆ANB và ∆AMC có NAB = MAC nên ta có  NAB

MAC

S AN.AB =

S AM.AC

Lại có NAB

MAC

1AH.BN

Nhân hai vế của (*) và (**) ta có

2

MB.NB AB

= MC.NC AC

 

 

  , 

MAB  NAC (3) Khi đó trên BC lấy N’ sao cho MAB = N'AC 

Theo chứng minh trên ta có

2

MB.N'B AB

= MC.N'C AC

DC AC Vậy kết quả ví dụ 6 là tính chất mở rộng quen thuộc của đường phân

giác

Từ kết quả của ví dụ 6 ta xét bài toán mở rộng sau:

“Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong góc A Trên AD lấy hai điểm

M, N sao cho  MBANBD Chứng minh rằng   MCANCD ”

Hướng dẫn

Từ giả thiết MBA = NBD 

Áp dụng kết quả bài toán trên cho ∆ABD

ta có:

2

MA.NA BA

= MD.ND BD

Vì AD là phân giác BAC nên ta có

 

 

 

Áp dụng kết quả bài toán trên cho ∆ACD ta đƣợc  MCA = NCD

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các tam giác

ABG, BCE, CAF sao cho S BCE + S CAF + S ABG < S ABC Qua E, F, G ta kẻ các

đường thẳng tương ứng song song với BC, CA, AB, chúng cắt nhau tạo

Do đó NB < OB  SBNE < SBOE ; PC < OC  SCPE < SCOE

Tương tự ta có SOPM < 2SOCFA ; SOMN < 2SOAGB

SMNP = SONP + SOMP + SOMN < 2 (SOBEC + SOCFE + SOAGB) < 2SACFAGB

Nhận xét

2.2.1.2 Bài tập củng cố

Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD ), hai đường chéo AC và BD

cắt nhau tại P Chứng minh rằng: S PAB +S PCD  S ABCD.

Bài 2: Qua một điểm cho trước trong tam giác, kẻ ba đường thẳng song

song với các cạnh của tam giác, các đường thẳng này chia tam giác thành

sáu phần, ba phần trong đó là các tam giác có diện tích là S 1 , S 2 , S 3 và S là

diện tích của tam giác đã cho.Chứng minh rằng S 1 + S 2 + S 3 ≥ 1

Bài 4: Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một tứ

giác, trong đó hai đỉnh của hình bình hành là trung điểm hai cạnh đối của tứ

giác Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác

Bài 5: Cho tam giác ABC Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các

cạnh AB, BC, CA sao cho 1 , 1 , 1

AD AB BE BC CF  CA Các đoạn

thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác Chứng minh rằng diện

tích tam giác này bằng 1

7 diện tích tam giác ABC

Bài 6: O là một điểm nằm trong tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự

là các hình chiếu của O trên BC, AC, AB Trên các tia OD, OE, OF lấy lần

lượt các điểm A’, B’, C’ sao cho OA’ = BC, OB’ = AC, OC’ = AB

Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không phụ thuộc vào vị tí

của điểm O trong tam giác

Bài 7 Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F, G, H theo thứ tự

thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EG không song song với AD Cho

biết diện tích tứ giác EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành ABCD Chứng

minh rằng HF song song với CD

2.2.2 Bài toán cực trị

Phương pháp diện tích có thể giúp ta so sánh độ dài đoạn thẳng, số đo

góc, số đo chu vi, số đo diện tích, … các bài toán cực trị của hình học phẳng

có thể nói là các bài toán về so sánh các yếu tố về độ dài đoạn thẳng, số đo

góc, số đo chu vi, số đo diện tích, … Vì vậy phương pháp diện tích là một

công cụ khá hữu hiệu trong việc giải các bài toán cực trị của hình học phẳng

Kẻ AH và CK vuông góc với BD (H, K  BD) Gọi AC  BD = I

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi I  H  K và AC = BD =2R nghĩa là AC và BD

là hai đường kính của (O) hay ABCD là hình vuông

Vậy trong các tứ giác nội tiếp (O, R) thì hình vuông có diện tích lớn nhất

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm M bất kỳ Đường thẳng

đi qua M và song song với AB cắt AC tại P, Đường thẳng đi qua M và song

song với AC cắt AB tại Q Chứng minh rằng S APMQ ≤ 1

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu M là trung điểm của BC thì dễ thấy

SAMPQ = SAPM + SAMQ = 1

hoặc MB > MC

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử MB < MC

Khi đó trên BC, lấy điểm H sao cho MH = MB

Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại K, cắt QM kéo dài tại G

Dễ thấy ∆MBQ = ∆MHG (c.g.c)  SMBQ = SMHG (*)

Mà AKGQ là hình bình hành có MP là đường trung bình

 SAPMQ = SPKGM  2SAPMQ = SAKQG

 2SAPMQ = SAKHMQ + SMHG

Từ (*) suy ra 2SAPMQ = SAKHMQ + SMBQ = SAKHB < SABC

2SAPMQ < SABC hay SAPMQ < 1

2SABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra SAPMQ ≤ 1

2SABC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm của BC

Nhận xét

 Xét bài toán tương tự:

“Cho tam giác ABC có hai góc nhọn ở B và C Dựng hình chữ nhật

MNPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên AC, còn hai điểm P và Q

nằm trên cạnh BC Tìm vị trí của M sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ là

lớn nhất”

Hướng dẫn

 Bài toán tương tự

1 Cho  xOy và M là điểm cố định thuộc miền trong  xOy Một đường

thẳng d quay xung quanh điểm M, cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại A, B Hãy

dựng đường thẳng d để S OAB nhỏ nhất

2 Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau

tại P Chứng minh rằng S PAB + S PCD  1

2S ABCD

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và ba điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên ba

cạnh BC, AC, AB sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O (A’, B’, C’ không

trùng với các đỉnh của tam giác)

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng ' ' '

Lời giải

Kẻ BH  AA’, CK  AA’ (H, K  AA’)

Xét ∆AA’B và ∆AA’C có cùng chiều cao hạ từ A nên theo tính chất 2 ta có:

AA'B AA'C

S CK (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra AOB

AOC

A'B SA'C S (4)

Chứng minh tương tự ta được BOC

BOA

B'C SB'A S (5)

COA

COB

C'A SC'B S (6) Nhân từng vế của các đẳng thức (4), (5), (6) ta được:

AOB BOC COA

AOC BOA COB

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:

A'B B'C C'A 3 A'B B'C C'A

A'CB'A  C'B  A'C B'A C'B 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A'B B'C C'A

A'C B'A  C'B Khi đó A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Vậy min A'B B'C C'A 3

Ví dụ 4: Cho ∆ABC, điểm M nằm trong tam giác Đường thẳng AM,

BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác lần lượt tại A 1 , B 1 , C 1

Xác định vị trí của M sao cho:

Ta có ∆MAB và ∆MA’B là hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B

và có hai đáy tương ứng là AM, A’M

A'M S + S S

Tương tự ta có 1 3 1 2

BM S + S CM S + S = ; =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi S1 = S2 = S3 AM = BM = CM 2

A'M B'M C'M Hay M là trọng tâm ∆ABC