[r]
Trang 1V n 3: o hàm c a hàm s
C N NH : ph n này ph i Thu c lòng các qui t c tính o hàm, o hàm c a hàm h p và b ng
o hàm các hàm s c p c b n
BÀI T P Bài 1: Tính o hàm các hàm sau
a) y = 3x4 – 2x2 + x – 1 b) 2 3 2
3
y= x +x − x+ c) y 12 13
3
x
Bài 2: Tính o hàm các hàm sau
a) y = (x3 + 2)(x + 1) b)
y x
+ +
=
x y x
−
= + d)
3
1
x y x
=
− Bài 3: Tính o hàm các hàm sau
a) y=(x2−1)6 b) y = x(x + 2)4 c) 21
1
y x
=
1
x y x
= + Bài 4:Tính o hàm các hàm sau
a)
1
x y
x
=
+ b) y= x2+6x+ 7 c) y= x+ +2 4− x d) y=(x+1) x2+ + x 1 e)
y
x
+ +
=
+ f) y= 3x3−3x+ 2 g) y=x 6− x h) y=(x2−1)2+ x2+ 4 i) y x 2x
x
− +
= Bài 5: Tính o hàm các hàm sau
a) y = sinx – cosx b) y = xsinx c) y = sin3x d) y =
1 cos
x x
− e) y = 3sin2x – sinx f) y=cos5x g) y=cosx−cos3x
h) y=3sin2x−sin3x i) y=xcosx−sinx k) y=cos sinx 2x
Bài 6: Tính o hàm các hàm sau
tan 4
y= x b) 1 sin
1 sin
x y
x
+
=
− c) sin cos
sin cos
y
−
= + d) 1 3
tan tan 3
y= x− x+ x Bài 7: Tính o hàm các hàm sau
4
= + b) y = sin3x +cos2x c) y =sin33x d) y = cos5(2x2+x+1)
e) y=sin 43 x f) cos 24
3
= − g) y= t an5x
h) 1 cos2
2
x
2
2
2
1 tan
2
x tan y
x
=
−
Trang 2CHÚ Ý: ( )ex ′ = T ng quát ex ( )ax ′ =axlna
Bài 8: Tính o hàm các hàm sau
a) 2 x
y=x e b)
x
e y x
= c) x(sin cos )
y=e f)
y
−
−
−
=
+ g) 2x 3x
y= + h) 2sin 3x sin2
CHÚ Ý: (lnx) 1 (ln x)
x
′
′ = = T ng quát (log ) 1 (log )
ln
x a
′
Bài 9: Tính o hàm các hàm sau
a) y=xlnx b) y ln x
x
= c) y=ln(x2+1) d) y=ln sinx e) y=ln 23 x+ 1 f) y=ln(x+ x2+1) g) ln 1
1
x y
x
−
= + h) y=log (22 x+1) i)
2
3
log (3 1)
x
−
Bài 10: Tính o hàm các hàm sau
a)
sin 2 ln
cos 2
x a y
x a
−
=
sin 2 ln
cos 2
x a y
x a
+
=
2 2
ln
y
=
Bài 11: Cho hàm y ax b
cx d
+
= + ch ng minh r ng ' 2
ad bc y
cx d
−
= + Áp d ng tính o hàm c a:
x y
x
+
=
1
x y
x
+
=
− Bài 12: Cho hàm
2
y
mx n
=
+ ch ng minh r ng
2
2
'
y
mx n
=
+ Áp d ng tính
o hàm c a:
a)
1
y
x
=
2
1
x y x
=
2
1
y
x
+ +
=
− CHÚ Ý: (i) [ ( )]v x( ) ln ( ) ln ( ) [ln ] [ ( ) ln ( )]
y= u x y=v x u x y ′= v x u x ′⇔y′= y v x[ ( ) ln ( )u x ′]
(ii) log ( ) ( ) ln ( ) ln ( )
u x
′
′
Bài 13: Tính các o hàm c a hàm s sau
a) y=(x2+2)ex b) (sin )cosx
x
y= +x d)
( 5) ( 9) ( 11)
( 6) ( 8)
y
=
log
1
x
x y
x
+
−
=
− f) y=logcos 2x(sinx+cos )x
Trang 3CHÚ Ý: (i)
o
o
y
f x
∆
o
o
o
y
f x
+
∆
o
o
o
y
f x
−
∆
o
f x
′
(ii) Kh vi Liên t c; Liên t c Kh vi
Bài 14: Xét tính liên t c và s t n t i o hàm c a hàm f(x) t i xo bi t:
a) ( )f x = x x, o = 0 b) ( ) 2 , 0
1 o
x
x
c)
2
ln( 1)
o
x
x
x
+
≠
=
x
=
Bài 15: Cho hàm
1
*
( )
nx
f x
−
> ∧ ∈
=
=
a) Ch ng minh f liên t c trên [0;+∞ )
b) Xét tính kh vi c a hàm f t i xo = 0
Bài 16: Tìm a t n t i ( )f x′ o bi t:
a)
2, 1 o
1, 0
x
o
−
Bài 17: Cho hàm
2sin ,1 0 ( )
x
≠
=
= a) Tính f x′( )
b) Ch ng minh f x′( ) không liên t c t i x = 0
CHÚ Ý: ( ) n ( ( n 1)) , *
f = f − ′ n∈
Bài 18: Cho hàm 3
4
x y x
−
= + , ch ng minh r ng 2(y’)2 = (y – 1)y’’
Bài 19: Cho hàm y= 2x−x2 , ch ng minh r ng y3.y’’ + 1 = 0
Bài 20: Tìm o hàm c p n(n≥ ) c a hàm sau: 2
y=e c) y=sinx d) y=cosax Bài 21: Tìm o hàm c p n c a hàm ( ) 1 ; ( ) 1
+ − T ó suy ra o hàm c p n c a hàm ( ) 22
1
x
h x
x
=
− Bài 22: Tìm o hàm c p n(n≥ ) c a hàm 2
2
1
x y x
=
−
Trang 4CHÚ Ý: N u f x′( ) 0,= ∀ ∈x D thì f là hàm h ng trên D
Bài 24: Ch ng minh r ng n u sinn cosn 1,
x+ x= ∀ ∈x thì n= 2 CHÚ Ý: (i) Cho ng th ng (d) G i ϕ là góc h p b i chi u d ng c a tr c Ox v i (d) Khi ó,
ta nh ngh a h s góc c a (d) là k=tanϕ T ó, n u góc gi a (d) và Ox b ng α thì h s góc
c a (d) là k = ±tanα
(ii) N u hàm y= f x( ) : ( )C có o hàm t i i m x thì h s góc c a ti p tuy n v i (C) t i o
ti p i m Mo( ; )x yo o là f x′( )o Do ó, ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i ti p i m Mo( ; )x yo o là
y−y = f x′ x−x Bài 25: Cho hàm s y= f x( )=x3−3x+1 ( )C L p ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t
a) Hoành ti p i m xo = 3
b) Ti p tuy n song song v i ng th ng ( ) :d y=9x+2010
c) Ti p tuy n vuông góc v i ng th ng ( ) :d′ x+9y+2010 0=
d) Ti p tuy n i qua i m ( ; 1)2
3
Bài 26: Cho ( ) :C y=x2−2x+ L p ph3 ng trình ti p tuy n v i (C)
a) T i i m có tung yo= 1
b) Song song v i ng th ng ( ) : 4d x−2y+ = 5 0
c) Vuông góc v i phân giác góc ph n t th nh t c a góc h p b i các tr c t a
Bài 27: L p ph ng trình ti p tuy n v i ( ) : 4 3
1
x
x
−
=
− bi t r ng ti p tuy n h p v i tr c hoành
m t góc 45o
Bài 28: Cho ( ) :C y= −x lnx Tìm trên (C) nh ng i m mà t i ó ti p tuy n v i (C) cùng ph ng
v i tr c hoành
Bài 29: Cho
3 2
3
x
C y= − x + x+ Tìm m (C) có ti p tuy n v i h s góc m
Bài 30: Ch ng minh r ng trên ( ) : 2 2
1
x
+ −
= + không có i m nào mà t i ó ti p tuy n song song v i ng th ng ( ) :d y= −3x+5
Bài 31: Tìm m th ( ) :C y=x3+x2− có ít ra m t ti p tuy n vuông góc v i 2 ng th ng
( ) :d x+my+2010 0(= m≠0)