Bài tập giải tích 11 cơ bản và nâng cao

Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.. Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11

PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN

1 Hai cung đối nhau: -x và x

2 Hai cung bù nhau: và x

3 Hai cung phụ nhau: và x

4 Hai cung hơn kém nhau Pi: và x

5 Các hằng đẳng thức lượng giác

6 Công thức cộng lượng giác

7 Công thức nhân đôi

8 Công thức nhân ba:

9 Công thức hạ bậc:

10 Công thức biến đổi tích thành tổng

11 Công thức biến đổi tổng thành tích

A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT

* Biết 1 HSLG khác:

Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11

III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:

Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y 4

tan x.tan y 3 2 2

p

ìïï + = ïí

-ïîa/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

A cos x cos2 2 x cos2 x B sin x sin2 2 2 x sin2 2 x

d /sin a sin a 2 sin a

Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC.Chứng minh:

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11

Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH

a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c/ sin5x sin xd / sin a b( + -+) sin a b ; e / tan a b( - ) ( + +- ) tan a; f / tan 2a tan a-+

Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1

4cosA.cosB.cosC13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC

14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC

15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)

Bài 23: Chứng minh vuông nếu:

Bài 24: Chứng minh cân nếu:

Bài 25: Chứng minh đều nếu:

sin B C sin B C

C tan B sin B

a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /

2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C

I Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A

2)

3)

4)

5) Hàm số y = tanx xác định khi

Hàm số y = cotx xác định khi

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

10) y =

II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x

Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra

Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau

1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2

4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos

III Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác

Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng

Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số

3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn

5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn

7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11

Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số

Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B

Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số

1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn

2) y = -2cos trên đoạn

IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì

Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn

3) y = sinx trên đoạn 4) y = cos x trên đoạn

C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

I:LÍ THUYẾT

1/Phương trình lượng giác cơ bản

sin u = sin v  ( k  Z )cos u = cos v  u =  v + k2 ( k  Z )tanu = tanv  u = v + k ( k 

Z )cotu = cotv  u = v + k ( k  Z )

2/ Phương trình đặc biệt :

sinx = 0  x = k , sinx = 1  x = + k2 ,sinx = -1  x = - + k2

cosx = 0  x = + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  +k2

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 +

b2  0

Cách 2 :

Xét phương trình với x =  + k , k  Z

Với x   + k đặt t = tan ta được phương trình bậc hai

theo t :

(c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm  a2 + b2 - c2  0

Bài tập :Giải các phương trình sau:

1 , 2

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương

trình có dạng : f[u(x)] = 0

với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx

Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5

5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :

a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c

cos2x = 0

Cách 1 :

 Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11

 Xét chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t

= tanx

Cách 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) ,

sinxcosx = sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x

b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt

ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp

cos x = 0 hay x = + k ,kZ

Bài tập :

1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2

2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0

3 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4

4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

5

6/ Phương trình dạng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx + sinx , điều kiện khi đó sinxcosx =

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t

Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx - sinx , điều kiện khi đó sinxcosx =

Bài tập : Giải các phương trình sau :

1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0

2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12

3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1

4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0

5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0

7 Các phương trình lượng giác khác.

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 –

4cos2x – 9sinx = 0,

4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4

+12cos2x = 7

Bài 2 : Giải các phương trình sau :

1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx 2/ ĐS : x = k3 , x=  +k3 , x

3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ĐS: sinx =1 v sin = 1

4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx ,

ĐS : x = - + k 

5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ĐS : x = k2 , x =  +k2

6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =

7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x

13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx

14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2

ĐS : x = + k

15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.

Giải các phương trình sau :

1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0

2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx

3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= +

5/ sin3(x - ) = sinx ĐS : x = +k 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x =  + k v x= +

7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0

8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG

Giải các phương trình sau :

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11

1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) +sinxcosx + 6 = 0

5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/

7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6

8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0

9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1

11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )

IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHÁC

Giải các phương trình sau:

1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2

3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x

17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/

19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan )

1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và

B Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách

2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể

thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc đượcthực hiện bởi n.m cách

II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

1 Hoán vị:

a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự

định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A

b Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n

2 Chỉnh hợp:

a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số mà Khi lấy ra k phần tửtrong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được mộtphép chỉnh hợp chập k của n phần tử

b Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:

3 Tổ hợp:

a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà Một tập hợp con của

A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

b Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:

c Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

III Khai triển nhị thức Newton

– là khai triển theo số mũ của a giảm dần

– là khai triển theo số mũ của a tăng dần

Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11

Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A

hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.

Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu

khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?

Bài 2: Cho tập Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọntrong số các phần tử của A?

Bài 3: Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?

Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị

Phương pháp giải:

 Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n

 Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân

Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ

ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?

Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp

Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:

Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ

nối hai điểm trong các điểm đó?

Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp

Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:

Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập

được bao nhiêu tam giác?

Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa

Phương pháp giải: Dùng các công thức:

Bài 9: Tìm , nếu có:

Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n

Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:

(khai triển theo lũy thừa của atăng, b giảm)

(Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)

Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11

Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x

Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển

Bài 13: Cho khai triển: , cĩ các hệ số Tìm hệ

số lớn nhất

Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau

1) Số hạng thứ 13 trong khai triển

2) Số hạng thứ 18 trong khai triển

3) Số hạng khơng chứa x trong khai triển

4) 32) Số hạng khơng chứa x trong khai triển

5) 33) Số hạng chứa a, b và cĩ số mũ bằng nhau trong khai triển

Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau

1) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

2) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

3) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

4) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

5) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

6) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

7) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:

E CẤP SỐ CỘNG

Kiến thức cần nhớ:

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn

hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai

Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n =

1, 2, )

Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong

đó tất cả các số hạng đều bằng nhau

Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu

u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng cósố hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức:

un = u1 + (n - 1)d

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số

hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số

cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là (k 2)

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:

 Sn tính theo u1 và d

 Sn tính theo u1 và un

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng

dưới đây:

tìm u15

ĐS:

Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng

cuối là 12 và có tổng bằng 30

Bài 3: Cho cấp số cộng:

Tìm số hạng đầu và công sai của nó

Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25

và tổng các bình phương của chúng là 165

Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số

hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140

Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông

biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là

Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của

chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là

30 Tìm cấp số đó

Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10

Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:

Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18

Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên

Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20

Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18

Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350

CẤP SỐ NHÂN

Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn

hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số

hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có