Bài tập giải tích 11

Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đĩ theo một thứ tự định trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A.. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đĩ theo một thứ tự

PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN

1 Hai cung đối nhau: -x và x

+ = −+ = −+ =+ =

6 Công thức cộng lượng giác

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos

sin( ) sin cos sin cos

21sin cos sin( ) sin( )

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Toán khối 11

A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho sin 3 < < 3 Tính cos ,tan ,cot

p

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o).Tính sina , tana, cota

Bài 3: Cho tan15o= -2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o

Bài 4: Tính A tan x cot x

c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

1 tan x-tan y sin x-sin y

1+cosx tan x.tan y sin x.sin y

Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3

C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x

sin x+cos x+3cos x-1

III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,

-ïî

a/ Tính tan x( +y ; tan x) +tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Toán khối 11

Bài 14: Tínhtan

4

p a

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

A cos x cos2 2 x cos2 x B sin x sin2 2 2 x sin2 2 x

a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a

b / sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a

c /sin a b cos a b sin a cosa sin bcosb

d /sin a sin a 2 sin a

Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC.Chứng minh:

Công thức biến đổi:

Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG

d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;

f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a

( ) ( ) ( )

a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos6x; c / sin 5x sin x

d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a

-Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1

4cosA.cosB.cosC13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC

14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC

15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)

Bài 23: Chứng minh DABC vuông nếu:

a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1

2

x x

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Toán khối 11

II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

sin2(-x) = [ ]2

sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x

Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x D∈ ⇒ − ∈ ∀x D x,

Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau

1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2

4) y = 1

2 tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x

III Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác

Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (−π + πk2 ; 2k π)

Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ;π π + πk2 )

Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ;

Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ π + π; k )

Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số

Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒y = A.f(x) +B

Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số

1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [−π π; ]

IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Chú ý : − ≤1 sinx 1 ; -1 cosx 1≤ ≤ ≤ ; 0 ≤sin2 x ≤1 ; A2 + B ≥B

Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ]a b; thì m[ ]a ;ax ( )b f x = f b( ) ; min ( )[ ]a ;b f x = f a( )

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ]a b; thì m[ ]a ;ax ( )b f x = f a( ) ; min ( )[ ]a ;b f x = f b( )

π2

2

k v u

k v u

( k ∈ Z )cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈ Z )tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )

2/ Phương trình đặc biệt :

sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =π2 + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - π2 + k2π

cosx = 0 ⇔ x =

2

π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ a2 +b2.cos(x−ϕ) = c vớicos 2 2

b a

a

+

=

ϕ

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Tốn khối 11

asinx +bcosx = c ⇔ a2 +b2.sin(x+ϕ) = c với cos 2 2

b a

Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z

Với x ≠π + kπ đặt t = tan

2

x

ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0

Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2≥ 0

Bài tập :Giải các phương trình sau:

1 3cosx−sinx= 2 , 2 cosx− 3sinx=−1

3 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x, 4

4

1)4(cossin4x+ 4 x+π =

5 cos7x−sin5x= 3(cos5x−sin7x), 6 tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x

7 3(1 cos 2 ) cos

2sin

x

x x

sin 2 sin

2

x+ x=

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx

Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0

3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos2 x

9 6sin 32 x+cos12x=4 10 4sin4x+12cos2x=7

5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :

a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0

Cách 1 :

• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm

• Xét cosx≠0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx

Cách 2: Thay sin2x = 21(1 – cos 2x ), cos2x = 21(1+ cos 2x) ,

2

π

+ kπ ,k∈Z

Bài tập :

1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2

2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0

3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4

4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

5 2 2 1

sin sin 2 2cos

2

6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx =

2

1

2 −

t

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t

Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − 2 ≤t ≤ 2 khi đó sinxcosx =

2

1−t2

Bài tập : Giải các phương trình sau :

1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0

2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12

3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1

4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0

5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0

7 Các phương trình lượng giác khác.

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 =

x

cos

3 , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7Bài 2 : Giải các phương trình sau :

1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx

x

) ĐS: sinx =1 v sin2x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - π4 + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = cos1x ĐS : x = k2π , x = ± π3 +k2π

6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =12

7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x

4

π + k

π 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Tốn khối 11

Giải các phương trình sau :

1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0

2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx

3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= π4+

2

π

k

5/ sin3(x -

8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG

Giải các phương trình sau :

1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 23sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/

3

10cossinsin

1cos

+ 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0

9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1

11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )

IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Giải các phương trình sau:

1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +

4

1

x

x x

sincos

4 2

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )

2sin21

3sin3cos(sin

x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/ 4 2

4

(2 sin 2 )sin 3tan 1

D TỔ HỢP

Tĩm tắt giáo khoa

I Quy tắc đếm

1 Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc cĩ thể tiến hành theo một trong hai phương án A và

B Phương án A cĩ thể thực hiện bởi n cách; phương án B cĩ thể thực hiện bởi m cách.Khi đĩ, cơng việc được thực hiện theo n + m cách

2 Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A và B Cơng đoạn A cĩ thể

thực hiện bởi n cách; cơng đoạn B cĩ thể thực hiện bởi m cách Khi đĩ, cơng việc đượcthực hiện bởi n.m cách

II Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

1 Hốn vị:

a Định nghĩa: Cho tập A cĩ n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đĩ theo một thứ tự

định trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A

b Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp cĩ n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n

2 Chỉnh hợp:

a Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử Xét số k ∈ ¥mà 1 k n ≤ ≤ Khi lấy ra k phần

tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đĩ theo một thứ tự định trước, ta đượcmột phép chỉnh hợp chập k của n phần tử

a Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 k n ≤ ≤ Một tập hợp con của

A cĩ k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

b Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k

n

C là: kn ( ) ( ) ( )

n n 1 n k 1 n!

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Toán khối 11

+ =∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần

Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm

Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A

hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.

Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu

khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?

Bài 2: Cho tập A ={0;1; 2;3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọntrong số các phần tử của A?

Bài 3: Từ tập A ={1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?

Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị

Phương pháp giải:

• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n

• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân

Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ

ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?

Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ

nối hai điểm trong các điểm đó?

Bài 6: Từ tập A ={0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?

Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập

được bao nhiêu tam giác?

Dạng 5: Tìm n ∈ ¥ * trong phương trình chứa k k

Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n

Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:

Bài 10: Tìm số hạng chứa x trong khai triển (11 + x)

Bài 11: Trong khai triển

  , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x

Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 2( ) 8

Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau

1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 x)- 25

2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 x )- 2 25

3) Số hạng không chứa x trong khai triển

12

1xx

Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau

1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4

3) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 éêë1 x (1 x)+ 2 - ùúû8

4) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( 2 3)10

1 x+ +x +x5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 (x2- x+2)10

6) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4 (1 x+ +3x )2 10

7) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển:3

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký Bài tập Tốn khối 11

E CẤP SỐ CỘNG

Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ

số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai

Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )

Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều

bằng nhau

Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai

d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số

hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là

u (k ≥ 2)

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

a/÷2,5,8, tìm u15

b/÷2+ 3,4,2− 3, tìmu20

ĐS:

31840/

44/

u a

Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng

=

−+

26

10

6 4

3 5 2

u u

u u u

Tìm số hạng đầu và công sai của nó

Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của

chúng là 165

Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của

chúng là 1140

Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một

cấp số cộng với công sai là 25

Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3,

Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147

Tính u1 + u6 + u11 + u16

Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80.

Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng

cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó

Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10

Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:

35

19/

2

129

14/

1

9 5 13

5 3

u

u

S

u u

31/

4

245

9/

3

9 4

10 3 6 4

u u

u u S S

Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18

Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên

Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20.

Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18

Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350

CẤP SỐ NHÂN

Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ

số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có

un+1 =un.q (n = 1, 2, )

Đặc biệt:

Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,

Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,

Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,

Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu

u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: