[r]
Trang 1Chuyên 4: GI I H N
V n 1: Gi i h n c a dãy s
D ng 1: Dãy s có gi i h n h u h n
Bài toán 1: Tính limuntrong ó ( )
( )
n
P n u
Q n
Ph ng pháp: t n v i s m cao nh t t và m u ra làm th a s chung, sau ó áp d ng các
nh lý v gi i h n tính
TÍNH CÁC GI I H N SAU:
1) lim 3
2 1
n n
− + ; 2)
5 2
10 lim
1
n
n + ; 3)
6 3
6 4
5 3 2 1 lim
4 5 3
n n n
n n
+ − + + + ; 4)
2 2
2 2 3 lim
+
5)
3 3
1
lim
(3 1)
n n n
− − + ; 6) lim 15 12 2 1
n
− +
+ ; 7)
lim
8) lim ( 1)( 2)
( 1)(2 )( 3)
Bài toán 2: Tính limuntrong ó un có ch a n trong d u c n
Ph ng pháp: t nk (v i k là s m cao nh t trong c n) làm th a s chung, sau ó dùng các nh
lý v gi i h n tính N u v n ch a tính c (th ng có d ng ∞.0), ta nhân và chia l ng liên
h p chuy n v bài toán 1
Nh : x – y liên h p v i x + y; x y± liên h p v i x2 xy+y2
TÍNH CÁC GI I H N SAU 1)
3 3
lim
( 3)(2 1)
+ − ; 2) lim(2 1)( 3)
(2 3)( 1)
− + ; 3)
2 2 4
3 lim
4)
2
lim
; 5)
2 2
lim
3
; 6)
2 2
lim
3
2
lim
7
; 8) lim( 3n+10− 3n); 9) limn( 4n2+ −1 2n)
10) lim(38n3+3n2+ −1 2n+1)
Chú ý: N u có nhi u c n khác b c nhau, ta thêm b t h p lý tính
11) lim( 4n2−2n+32n2−8n3); 12)
3 3 2 2 2 4 lim
2
n
Bài toán 3: Tính limuntrong ó un có ch a an và bn
Ph ng pháp: Chia c t và m u cho cn
, trong ó c là s l n nh t trong hai s a và b r i áp d ng các nh lý v gi i h n tính
TÍNH CÁC GI I H N SAU:
1) lim4.3 7 1
2.5 7
n n
n n
+
+ + ; 2) lim2 2 1
2 5.3
n n
n n
+
+ + ; 3) lim2 5 1
1 5
n n n
+
+ + ; 4) lim4sin 3cos
2
n + +
Trang 2Bài toán 4: Tính limuntrong ó un =a1+a2+ +an ho c un =a a a1 2 n
Ph ng pháp: Dùng m t trong hai cách sau
@ Thu g n un sau ó tính limu n
@ Dùng nguyên lý k p
TÍNH CÁC GI I H N SAU
1.2 2.3+ + +n n( +1) ; 2) lim 1 12 1 12 1 12
3) lim 123 223 (n 31)2
−
1.3 2.4+ + +n n( +2)
2 1+ 2 3 2 2 3+ + + +(n+1) n+n n+1 6)
lim
; 7) lim sin1 s in22 sin
n
8) lim cos1.2 cos 2.3 cos ( 1)
n n
n n
+
+
Bài toán 5: Ch ng minh m t dãy s có gi i h n Tính limun mà un cho b i h th c truy h i
Ph ng pháp: @ ch ng minh m t d y s có gi i h n (h i t ) ta ch ng minh dãy ó t ng (t ng
ng, gi m) và b ch n trên (t ng ng, b ch n d i)
@ limun =limun+1
Bài 1: Cho dãy s ( )un xác nh b i 1 *
1
2
u
=
a) Ch ng minh r ng dãy ( )un có gi i h n
b) Tính limun
Bài 2: Cho dãy s ( )un xác nh b i
1
* 1
1
3( 2)
,
u
+
= −
+
a) Ch ng minh r ng dãy ( )un có gi i h n
b) Tính limun
Bài 3: Cho dãy s ( )un xác nh b i 1 *
1
(1 ),
u
a) Ch ng minh r ng dãy ( )un có gi i h n
b) Tính limun
Bài 4: Cho dãy s ( )un xác nh b i 0 1 *
1
,
a) Ch ng minh r ng dãy ( )un có gi i h n
b) Tính limun
Trang 3Bài 5: Cho a và b là hai s d ng khác nhau Ng i ta l p hai d y s ( )un và ( )vn nh sau:
*
,
2
n n
+
Ch ng minh r ng limun =limvn
Bài 6: Cho dãy ( )un xác nh nh sau: u =1 1 và
2
*
2013
n
u
u + = +u n∈ Tính gi i h n
1 2
n
u
u +u + +u + Bài toán 6: T ng c a m t c p s nhân lùi vô h n và áp d ng
Bài 1: Tính t ng 1 1 12
7 7
Bài 2: Tìm c p s nhân lùi vô h n n u bi t:
a) S =243 và S =5 275; b) S =3S3
Bài 3: Gi i ph ng trình
2
6
x+ +x −x + = x <
Bài 4: Vi t các s sau d i d ng phân s h u t
D ng 2: Dãy s có gi i h n vô cùng
Ph ng pháp: Dùng các gi i h n sau:
@ lim n = +∞ ; lim k ( *)
n = +∞ k∈ ; lim n = +∞ ; lim n = +∞ 3
@ lim n 0 lim 1
n
u
u
TÍNH CÁC GI I H N SAU 1)
3 2
lim
6 2
lim
3)
2 2
lim
2
− −
− −
; 4) limn( 9n2+3n−3n)