[r]
Trang 1V n 2: Gi i h n c a hàm s
D ng 1: Tính gi i h n hàm s b ng nh ngh a và nguyên lý k p
Ph ng pháp: 1) lim ( ) ( ( ),n n , lim n 1 lim ( )n )
x a
→
2) lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( ), lim ( )
x a
x a x a
f x L
=
TÍNH CÁC GI I H N SAU
1
lim(2 3 9)
5 4 0
lim
2
x
x
→
+ ;
2
x
3 3 2 3 2
lim
1
x
x
→
− TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
0
1 lim cos
x x
x
x
→+∞ ; 3) lim sin cos
x
x
→−∞
+
lim
x
D ng 2: Các d ng vô nh
Bài toán 1: Tính ( )
lim ( )
x a
f x
g x
→ mà f a( )=g a( ) 0= (D ng vô nh 0
0)
( )
f x
−
− Chú ý: 1) f x( )=ax2+bx+ = có hai nghi m c 0 x= α,x= β thi f x( )=a x( − α)(x− β)
2) S Horner
3) ( a−b)( a+b)= −a b2;( a− b)( a+ b)= − a b
( a±b)( a b a+b ); a± b a ab+ b
TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
2 3
lim
3
x
x
→−
3 2 1
1 lim
x
x
→
−
3 2
3 2 1
lim
x
→
4)
6 5 2 1
lim
(1 )
x
x
→
1
1 lim
1
m n x
x x
→
−
m m
x a
x a
→
−
− ; 7)
2 1
lim
1
n x
x
→
1
( 1) lim
( 1)
n x
x
→
1 2
lim
x a
x a
−
→
− 10)
4
6 lim
x
→
1
1 lim
x
x x
→
−
− + ; 12) lim
x a
x a
x a a x
→
−
−
Trang 2TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
2
lim
2
x
x x
→
− −
2 0
1 1 lim
x
x
1
8 3 lim
x
x
→
+ −
1
lim
x
→
+ + −
3
lim
9
x
x
→
2 1
lim
x
→−
7)
2 2
2 lim
x
x
→−
+
2
lim
4
x
x
→
2
lim
x
→−
10)
2
2 (1 ) 3 2 lim
2
x
x
→
0
1 1 lim
x
x x
→
+ −
1
lim
3 2
x
x
→
+ − 13)
3
lim
x
→
+ − + ; 14)
2 1
1 1 lim
1
x
x
→
−
; 15) 3
1
lim
1
x
x
→
− 16)
4 3 2 2
lim
x
x
→
1
1 lim
x
x
→
− + + − ; 18)
2 2
lim
x a
→
− TÍNH CÁC GI I H N SAU
1) 3
2
lim
2
x
x x
→
−
− ; 2) 32
1
lim
x
x
→
+ −
− + ; 3)
3 3 2 1
lim
x
→−
4) 3
2
6 2 lim
2
x
x x
→−
− + + ; 5)
3 2 3 2
lim
8
x
x
→−
3 2 1
1 lim
x
x
→−
+
6)
3 2
3
3 lim
1 2
x
x x
→
−
− −
; 7)
3 0
lim
1 1
x
x x
3 1
1 lim
2 1
x
x x
→
−
− + 9) 3 3
1
lim
1
x
x x
→
+ −
1
lim
1
x
x
→
− −
0
lim
x
→
1
1 lim
1
x
x
→−
3 1
lim
x
→
14)
2 8
7 10 lim
8
x
x
→
2 3
2 1
lim
x
→−
TÍNH CÁC GI I H N SAU
0
lim
x
x
→
0
lim
x
x
→
; 3)
3
2 2 2 1
lim
1
x
x
→
4)
3 2 0
lim
sin
x
x
→
0
2004 1 2 2004 lim
x
x
→
; 6)
3
2 2
lim
4
x
x
→
1
lim
1
x
x
→
−
Trang 3Bài toán 2: Tính ( )
lim ( )
x
f x
g x
→±∞ mà lim ( ) lim ( )
x f x x g x
→±∞ = →±∞ = ±∞ (D ng vô nh ∞
∞)
Ph ng pháp: t x v i s m cao nh t t và m u ra làm th a s chung
Chú ý: 1) lim n 0( 0, *)
x
a
x
x x
→±∞ = ±∞
3) x → +∞ thì x > 0; x → −∞ thì x < 0; 4) 2
A = A TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
3 2
7 2
lim
x
→+∞
4 2
2 4
lim
x
→−∞
5 2
2 4
lim
x
→−∞
4)
5 2
2 4
lim
x
→+∞
(1 2 )(3 1) (2 3 ) lim
(1 2 )(2 1) (2 5 )
x
→±∞
6)
(1 )(3 1)(2 3 ) lim
(2 1) (2 5 )
x
→±∞
2
3 3
lim
x
→−∞
+ + + − ; 8)
2
3 3
lim
x
→+∞
+ + + − 9)
2
lim
x
x
→−∞
+
− + − ; 10) lim 2 cos 2
3 sin3
x
→±∞
−
3
2 2
sin lim
x
→−∞
−
Bài toán 3: Tính lim[ ( ) ( )]
x a f x g x
x f x x g x
→±∞ = →±∞ = ±∞ (D ng vô nh ∞ − ∞ )
Ph ng pháp: Chuy n v d ng ∞
∞ ho c 0
0 Chú ý: ( a−b)( a+b)= −a b2;( a− b)( a+ b)= − a b
( a±b)( a b a+b ); a± b a ab+ b
Bài 1: Cho hàm s f x( )= x2+ + − Tính các gi i h n limx 1 x ( )
x f x
→+∞ và lim ( )
x f x
→−∞ Bài 2: Tính các gi i h n sau:
1) lim( 2 2 4 2 2 4)
→+∞ + + − − + ; 2) lim( 2 2 4 2 2 4)
→−∞ + + − − +
3)
2
lim
x
→±∞
5) lim 2 4( 2 3 33 3 7 2 3)
→+∞ − + − − + ; 6) lim( 33 2 3)
→±∞ + − ; 7) lim
1
lim
x → x− x
2
lim
x → x x + x x
Bài 3: Tìm a, b sao cho lim( 4 2 4 3 ) 0
→+∞ + + − − = Bài 4: Tính các gi i h n sau
→+∞ + − + + ; 2) lim (3 3 3 2 2 2 )
→+∞ + − − ; 3) lim ( 2 1 3 3 1)
n
x x a x a x a x
Trang 4Bài toán 4: Gi i h n các hàm l ng giác (d ng vô nh)
Ph ng pháp: S d ng công th c
0
sin
x
x x
→ = ,
0
sin
x
kx kx
0
sin
u
u u
Bài 1: Tính các gi i h n sau
1)
0
sin3
lim
2
x
x x
0
tan3 lim 2
x
x x
0
sin3 t an2 lim
x
x
→
+
4)
0
sin2
lim
t an3
x
x x
2 0
1 cos 2 lim
sin
x
x
→
−
cos cos 2 lim sin 2
x
x x
→
π
Bài 2: Tính các gi i h n sau
0
1 cos
lim
x
x x
→
−
0
tan sin lim
x
x
→
−
0
1 cos lim
1 cos3
x
x x
→
−
− 4)
0
sin3 lim
1 2 cos
x
x x
0
lim sin sin3
x → x− x x; 6) 2
0
1 cos lim
tan
x
x x
→
−
7)
0
1 cos
lim
1 cos
x
x x
→
−
0
1 tan 1 sin lim
x
x
→
Bài 3: Tính các gi i h n sau
1)
3 2 1
2 lim
sin( 1)
x
x
→
1
3 2 lim
tan( 1)
x
x
→
+ −
2
cos lim
2
x
x x
π
−
;
4)
2
lim(1 cos 2 ) tan
x
π
→
4
1 tan lim
1 cos
x
x x
π
→
−
4
sin cos lim
1 tan
x
x
π
→
−
7)
3
3
tan 3tan
lim
cos
6
x
x
π
→
− π +
; 8) lim1 sin2
x
x x
→π
−
π − ; 9) lim sin23
1 cos
x
x x
→π + Bài 4: Tính các gi i h n sau
0
2 1 cos lim
tan
x
x x
→
0
1 sin2 1 sin2 lim
x
x
→
0
tan( ) tan( ) tan
lim
x
x
→
0
sin( 2 ) 2sin( ) sin lim
x
x
→
Bài 5: Tính các gi i h n sau
1) lim sin( 1 sin )
D ng 3: Gi i h n m t bên
Chú ý: 1) x→a+ x>a x; →a− x< a
2)
2 2
A A A
A A
≥
=
− <
3) lim ( )f x t n t i xlim ( ), lim ( )a x a
⇔
Trang 5Bài 1: Tính các gi i h n sau
1)
2 2 2
( 2) (4 ) lim
4
x
x
−
→
2 3
lim
3
x
x
+
→
2 2 2 4
lim
8
x
→
− − 4)
1
1 lim
x
x x
−
→
−
− + − ; 5)
2 3
lim 3
x
x
→
+ −
1
lim ( 1)
x
x x
→
− Bài 2: Tính gi i h n trái, ph i, gi i h n (n u có) c a các hàm ( )f x khi x d n ra x0
1)
2 2
0
1
2
x x
x x
>
−
≤
3
3, 0 2
1 1, 0
1 1
x
x
x x
≤
+ −
>
+ −
2 3
2
4
2
0 2
2, 1
x
Tìm m hàm f x( ) có gi i h n khi x d n ra 1
Bài 4: Cho hàm
2
( )
2
x x
f x
x
<
=
+
Tìm m hàm f x( ) có gi i h n khi x→ 0
Bài 5: Cho ( ) 2 1 2
f x
+
− + − Tìm a, b
2
lim ( ) 1
x f x
Trang 6V n 3: Hàm s liên t c
D ng 1: Xét tính liên t c c a hàm s t i m t i m
Bài toán 1: Xét tính liên t c c a hàm 1 0
0
( ), ( )
,
f x x x
f x
a x x
≠
=
= t i i m x=x0
Ph ng pháp: 1) Tìm t p xác nh
2) Tính f x( )0 và
0
lim ( )
x x f x
→
3) So sánh và k t lu n Bài 1: Xét tính liên t c t i x0 c a hàm f bi t:
1)
2 2
0
1
1
2
x x
x
≠
−
; 2)
1, 2
x x
x
≠
=
, x0= 2
sin
x x
x
π
≠
1 cos
sin
1, 0 4
x x x
x
−
≠
= Bài 2: Tìm a các hàm s sau liên t c t i x0
1)
0
x
≠
0
cos cos 2
x
−
≠
3)
3 2
0
x
≠
; 4)
3 2
0
x
x a x
≠
Bài 3: Tìm a, b hàm
2
2 2
6
3
a x
b x
=
− −
−
=
liên t c t i x = 0 và x = 3
Bài toán 2: Xét tính liên t c c a hàm 1 0
( ), ( )
( ),
f x x x
f x
f x x x
>
=
≤ t i i m x=x0
Ph ng pháp: 1) Tìm t p xác nh
2) Tính f x( )0 ,
0
lim ( )
x x
f x
+
→ và
0
lim ( )
x x
f x
−
→
3) So sánh và k t lu n Bài 1: Xét tính liên t c t i x0 c a hàm f bi t:
1)
2
0
6, 3
2 , 3
x
x x
− −
>
≤
0
x
Trang 73)
2
0
1
2, 1
x x
x
≠
−
=
; 4)
2
0
4
1
x x
x x x
>
−
−
<
− Bài 2: Tìm giá tr c a tham s hàm sau liên t c t i x0
4
2
x x
x
x
<
−
+
1 cos 4
sin2
1
x x
x a x x
−
<
+
≥ +
3
5
x x
x x
≤
= = < < =
>
và x0 = 5
D ng 2: Xét tính liên t c c a hàm s trên m t kho ng
Ph ng pháp: 1) Tìm t p xác nh
2) Xét tính liên t c trên nh ng kho ng n 3) Xét tính liên t c t i biên
4) K t lu n Bài 1: Xét tính liên t c c a các hàm sau
1)
3 2
x
x
≠ −
= −
sin , 0 ( )
1, 0
x x
x
≠
=
=
3)
sin , 0 ( )
1, 0
x x x
f x
x
≠
=
=
1 sin , 0 ( )
0, 0
x
≠
=
= Bài 2: Tìm giá tr tham s hàm f liên t c trên D
1)
33 2 2, 2 2
1
3
x
x x
+ −
>
−
2
b
x
x
x
+ >
−
− <
−
3)
3
3, 1
x
≠
; 4)
sin
3 ,
x
x
a x
π
−
π
≠
Trang 8D ng 3: Ch ng minh ph ng trình f(x) = 0 có nghi m
Ph ng pháp: 1) Tìm hai s a, b sao cho ( ) ( ) 0f a f b <
2) Ch ng minh f liên t c trên [a; b]
3) K t lu n: f(x) = 0 có nghi m trong kho ng (a; b) Bài 1: Ch ng minh r ng
1) x5+7x4−3x2+ + =x 2 0 có nghi m
2) 2x3−6x+ = có ba nghi m phân bi t trong (- 2; 2) 1 0
3) x3−3x+ = có ba nghi m phân bi t 1 0
4) x5−10x3+100 0= có 5 nghi m phân bi t
Bài 2: Ch ng minh các ph ng trình sau có nghi m v i m i m
1) sinx+ms in2x= ; 0 2) x4+mx2−2mx− = ; 2 0 3) (m2+m+1)x8+2x− = 2 0 3) p x( −a x c)( − )+q x b x( − )( −d) 0= v i a≤ ≤ ≤b c d p q; , ∈
Bài 3: Cho hàm f liên t c trên [a; b] và có mi n giá tr c ng là [a; b] Ch ng minh r ng ph ng trình f x( )=x có nghi m trên (a; b)
Bài 4: Cho hàm f liên t c trên [a; b] và α β, là hai s d ng b t k Ch ng minh r ng ph ng trình
( ) ( )
f x α α + β β
=
α + β có nghi m trong [a; b]
Bài 5: Gi s hai hàm s f x( ) và ( 1)
2
f x+ u liên t c trên [0; 1] và f(0) = f(1) Ch ng minh r ng
ph ng trình ( )f x = ( 1)
2
f x+ có nghi m trong 0;1
2