Khảo sát ổn định thanh phẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn có xét đến điều kiện ràng buộc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --- BÙI TẤN KHOA KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN CÓ XÉT ĐẾN ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC CHUYÊN NGÀNH :XÂY DỰNG DÂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

BÙI TẤN KHOA

KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN CÓ XÉT

ĐẾN ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

CHUYÊN NGÀNH :XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH : 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 07 NĂM 2009

Đại Học Quốc Gia TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

BÙI TẤN KHOA

KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN CÓ XÉT

ĐẾN ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

Chuyên ngành :XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Mã số ngành : 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, Tháng 07 năm 2009

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học :

………

………

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

………

………

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

………

………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày………….tháng………năm 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC

Tp HCM, ngày tháng……… năm 2009

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành : Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp MSHV : 02107743

I TÊN ĐỀ TÀI :

KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ THEO

PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN CÓ XÉT ĐẾN ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

1 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng của phương pháp vào việc phân tích ổn định kết cấu thành mỏng

2 Nghiên cứu về các tiêu chuẩn phân loại mất ổn định, các dạng mất ổn định của kết cấu thanh thành mỏng và ứng dụng các điều kiện ràng buộc để phân loại các dạng mất ổn định cho kết cấu

3 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để lập chương trình tính toán và vẽ các đường cong mất ổn định cho từng dạng mất ổn định cụ thể, so sánh các đường cong mất ổn định của kết cấu với đường cong mất ổn định theo phương pháp FSM

4 Khảo sát ổn định kết cấu với những chiều dài cụ thể cho các loại tiết diện khác nhau bằng phần mềm Sap 2000, so sánh các giá trị tải trọng tới hạn giữa các phương pháp

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02-02-2009

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 03-07-2009

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin trân trọng gởi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương, người đã tận tâm hướng dẫn và truyền đạt những kiến

thức quý báu nhất cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ này

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các quý thầy cô Khoa K ỹ thuật Xây dựng,

những người đã truyền đạt cho tôi kiến thức và nền tảng vững chắc cho tôi từ khi tôi là sinh viên đại học đến khi tôi là học viên cao học, đó thực sự là hành trang lớn nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi không quên gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả bạn bè và đồng nghiệp của tôi, những người đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đỡ và chia sẻ những kiến thức, tài liệu tham khảo và kinh nghiệm thực tế cho tôi trong thời gian thực hiện đề tài này

Cuối cùng tôi xin gởi lời cảm ơn kính trọng đến gia đình tôi, những người đã luôn bên cạnh và động viên để tôi có thể hoàn thành được luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn và kính chúc sức khỏe đến tất cả quý thầy cô, gia

đình, đồng nghiệp và bạn bè lời chúc tốt đẹp nhất

Tp Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 07 năm 2009

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Ý tưởng hình thành đề tài 1

1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn 3

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN 5

2.1 Phương pháp dải hữu hạn 5

2.1.1 Sơ lược về FSM 5

2.1.2 Chọn hàm chuyển vị 6

2.1.3 Thành lập hàm chuyển vị 7

2.1.4 Thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp dải hữu hạn bằng nguyên lý thế năng toàn phần dừng 14

2.1.5 Phương trình hệ thống 18

2.1.6 Trình tự phân tích bài toán bằng FSM 18

2.1.7 FSM với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật 19

2.1.8 FSM với dải chịu uốn hình chữ nhật 25

2.1.9 FSM với dải chữ nhật có hai đường nút chịu lực phức tạp 31

2.2 Mất ổn định kết cấu thanh thành mỏng 35

2.3 Lý thuyết dầm tổng quát và các tiêu chuẩn phân loại mất ổn định 37

2.3.1 Gỉa thiết Vlasov 37

2.3.2 Lý thuyết dầm tổng quát (Generalized Beam Theory) 37

2.3.3 Các tiêu chuẩn phân loại mất ổn định 38

2.4 Lời giải ổn định theo phương pháp dải hữu hạn thông thường-FSM 39

2.4.1 Ma trận độ cứng đàn hồi của dải 39

2.4.2 Ma trận độ cứng hình học của dải 43

2.4.3 Lời giải ổn định 45

2.4.4 Ma trận biến đổi hệ trục tọa độ 46

2.4.5 Ghép nối phần tử 48

CHƯƠNG 3 MA TRẬN RÀNG BUỘC CHO CÁC DẠNG MẤT ỔN ĐỊNH 49

3.1 Điều kiện ràng buộc và lời giải ổn định có xét đến điều kiện ràng buộc 49

3.2 Ma trận ràng buộc R GD 51

3.2.1 Ma trận thành phần R U 51

3.2.2 Ma trận thành phần R V 57

3.2.3 Ma trận thành phần R W 58

3.3 Ma trận ràng buộc R cho d G ạng mất ổn định tổng thể 62

3.4 Ma trận ràng buộc R cho d D ạng mất ổn định vênh 62

3.5 Ma trận ràng buộc R cho d L ạng mất ổn định cục bộ 64

CHƯƠNG 4 VÍ DỤ SỐ 66

4.1 Ví dụ 1 Tiết diện chữ C chịu nén 66

4.2 Ví dụ 2 Tiết diện chữ C chịu uốn thuần túy 70

4.3 Ví dụ 3 Tiết diện chữ I chịu uốn thuần túy 73

4.4 Ví dụ 4 Tiết diện chữ Z chịu uốn thuần túy 77

4.5 Ví dụ 5 Tiết diện chữ L chịu nén 80

4.6 Ví dụ 6 Tiết diện chữ T chịu nén 82

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 86

5.1 Kết luận 86

5.2 Hướng phát triển đề tài 87

PHẦN PHỤ LỤC VÀ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN 88

SƠ ĐỒ KHỐI CỦA CHƯƠNG TRÌNH 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 126

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1 Ý tưởng hình thành đề tài

Hiện nay, kết cấu thép ngày càng được sử dụng rộng rãi trong xây dựng, đặc biệt là trong xây dựng dân dụng và công nghiệp Kết cấu thành mỏng là một trong các kết cấu hiện đại và có nhiều ưu điểm, kết cấu thành mỏng được sử dụng rất nhiều và rộng rãi không những trong lĩnh vực xây dựng dân dụng công nghiệp mà còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như hàng không, hàng hải, quân sự,…Ở Việt Nam, kết cấu thép thành mỏng tạo hình nguội đã bắt đầu được ứng dụng rộng rãi So với thép cán nóng thì thép thành mỏng tạo hình nguội có nhiều

ưu điểm như :trọng lượng nhỏ, đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật- mỹ thuật và khả năng chịu lực, tuổi thọ sử dụng cao, có thể chế tạo thành nhiều dạng tiết diện khác nhau,…Thép thành mỏng có thể chế tạo thành những sản phẩm như : dầm, xà gồ, tấm mái,… và được ứng dụng để chế tạo hệ khung, hệ giằng trong nhà công nghiệp, Một vấn đề quan trọng đối với kết cấu thép nói chung và kết cấu thép thành mỏng nói riêng là việc khảo sát ứng xử mất ổn định của nó, so với thép cán nóng thì thép thành mỏng tạo hình nguội có ứng xử mất ổn định phức tạp hơn

Từ năm 1850, lý thuyết tấm mỏng đã được Kirchhoff đưa ra, đến nay đã có nhiều lời giải khác nhau Trong thực hành thiết kế ở các nước cũng đã có một số tiêu chuẩn và quy phạm tính toán cho kết cấu thép thành mỏng Các lời giải đều cho kết quả với sai số đạt yêu cầu trong tính toán Có nhiều phương pháp để khảo sát ổn định kết cấu như: phương pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn(FEM), phương pháp dải hữu hạn(FSM),…

Lý thuyết về thanh thành mỏng cũng đã được giới thiệu và trình bày trong

nhiều tài liệu Tác giả Timoshenko là người đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành mỏng, sau đó Vlasov đã tiếp tục phát triển hoàn chỉnh hơn về lý thuyết này Các lý thuyết về thanh thành mỏng của Vlasov đã được sử dụng trong phân tích ổn định và dao động của kết cấu thép thành mỏng Sau này, Schardt đã thừa kế và phát triển lý thuyết của Vlasov để đưa ra lý thuyết dầm tổng quát vào năm 1989

( Generalized Beam Theory viết tắt là GBT), lý thuyết này cũng được ứng dụng rộng rãi và hoàn thiện hơn trong phân tích ổn định và dao động của kết cấu thành mỏng GBT sau đó được mở rộng bởi Davies et al (1994), hiện tại GBT được phát triển bởi Camotim và Silvestre (2002) trong phân tích ổn định và dao động các kết cấu thép thành mỏng

Một trong những phương pháp được áp dụng để phân tích ổn định kết cấu thanh thành mỏng đó là phương pháp dải hữu hạn ( FSM) Đã có một số đề tài luận văn thạc sĩ về phương pháp dải hữu hạn đã được thực hiện thành công như : Nguyễn Trần Thiện Tâm « Khảo sát ổn định thanh thẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn » năm 2005, Phạm Sanh « Phân tích một số kết cấu cầu bằng phương pháp dải hữu hạn » năm 2003,… Áp dụng FSM, ta có thể vẽ được đường cong tổng quát về ứng xử mất ổn định của kết cấu thanh thành mỏng Tuy nhiên, áp dụng FSM, các dạng mất ổn định thường tồn tại chồng chập lẫn nhau và không có giới hạn tồn tại rõ ràng Trong thiết kế thực tế, ta cần phải dự báo và xác định đúng dạng mất ổn định, ứng suất tới hạn cũng như phạm vi xảy ra các dạng mất ổn định của kết cấu Do đó cần phải có một phương pháp để có thể phân biệt rõ ràng phạm vi xảy ra mất ổn định, cũng như xác định chính xác dạng mất ổn định của kết cấu

Trong khuôn khổ đề tài luận văn này : « Khảo sát ổn định thanh thẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn có xét đến điều kiện ràng buộc »,

ta sẽ sử dụng phương pháp dải hữu hạn( Finite Strip Method) có xét đến các điều kiện ràng buộc( constrains) để khảo sát ứng xử mất ổn định cho kết cấu thanh thẳng thành mỏng tiết diện hở Các điều kiện ràng buộc về biến dạng này cũng chủ yếu xuất phát từ lý thuyết dầm tổng quát (GBT) và đã được Schafer, Adany đưa vào thêm một số điều kiện biến dạng khác để phân loại các dạng mất ổn định cho kết cấu thanh thành mỏng

So với phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp dải hữu hạn(FSM) đặc biệt hiệu quả đối với kết cấu có tiết diện và tải trọng tác dụng không thay đổi dọc theo chiều dài kết cấu Trong đề tài luận văn này, việc áp dụng thêm các điều kiên ràng buộc cho phương pháp dải hữu hạn( Constrained Finite Strip Method : cFSM)

để khảo sát ứng xử mất ổn định thanh thành mỏng sẽ được giới thiệu. Áp dụng cFSM ta có thể biểu diễn được các thành phần chuyển vị ngang u, chuyển vị đứng

w và góc xoay θ theo chuyển vị phương dọc v, do đó giảm được một số lượng lớn bậc tự do của bài toán và rút ngắn được thời gian phân tích Ngoài ra, áp dụng cFSM cho phép ta khảo sát riêng từng dạng mất ổn định : cục bộ( Local-L), vênh( Distortional-D), tổng thể( Global-G) mà không cần phải khảo sát toàn bộ dạng mất ổn định của kết cấu

1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn

Luận văn tập trung nghiên cứu và áp dụng các điều kiện ràng buộc biến dạng

để khảo sát và vẽ đường cong mất ổn định cho từng dạng mất ổn định ( cục bộ, vênh và tổng thể), so sánh các đường cong mất ổn định đó với đường cong mất ổn định tổng quát theo FSM Luận văn này bao gồm các nội dung cụ thể sau :

- Trình bày lý thuyết cơ bản của phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng lý thuyết của phương pháp trong phân tích ổn định kết cấu

- Trình bày sơ lược về giả thiết Vlasov, lý thuyết dầm tổng quát (GBT) trong phân tích ổn định kết cấu thanh thành mỏng

- Trình bày về các tiêu chuẩn phân loại và các điều kiện ràng buộc biến dạng

để phân loại mất ổn định Áp dụng các điều kiện đó để xây dựng các ma trận độ cứng cho từng dạng mất ổn định : cục bộ, vênh, tổng thể Áp dụng các ma trận độ cứng đó vào bài toán phân tích ổn định thanh thành mỏng

- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để khảo sát mất ổn định và vẽ các đường cong mất ổn định khi có xét đến điều kiện ràng buộc biến dạng

- Khảo sát các ví dụ số với chiều dài cụ thể của kết cấu cho các loại tiết diện khác nhau bằng phần mềm Sap 2000 và so sánh với giá trị ứng suất tới hạn tính được từ chương trình Matlab

- Nhận xét và kết luận các kết quả nghiên cứu, đề xuất hướng phát triển của đề tài

Toàn bộ luận văn bao gồm 2 phần :

Phần 1 : Phần thuyết minh của luận văn, bao gồm 5 chương :

Chương 1 : Tổng quan

Chương 2 : Nền tảng lý thuyết phương pháp dải hữu hạn

Chương 3 : Ma trận ràng buộc cho các dạng mất ổn định

Chương 4 : Ví dụ số

Chương 5 : Kết luận và kiến nghị

Phần 2 : Phần phụ lục bao gồm sơ đồ khối và mã nguồn của chương trình

Matlab

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN

2.1 Phương pháp dải hữu hạn

2.1.1 Sơ lược về FSM

Phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method- FSM) là một phương pháp phân tích kết cấu được đề xuất lần đầu tiên bởi Y.K.Cheung (1968), sau đó được phát triển thêm bởi Puckett và Wiseman (1987), và về sau này nó ngày càng được phát triển mạnh hơn nữa bởi Cheung và Tham (1998) Hiện nay đã có rất nhiều bài báo và đề tài về sử phương pháp dải hữu hạn để phân tích kết cấu : Sandor Adany(2004) ; Sandor Adany, Nuno Silvestre, Dinar Camotim, B.W Schafer (2006),…

Phân tích kết cấu bằng phương pháp dải hữu hạn làm giảm số chiều của bài toán, khi đó bài toán từ mô hình 2D trở thành mô hình 1D, thường chỉ phân tích bài toán dọc theo chiều dài kết cấu Phương pháp dải hữu hạn thường được áp dụng để phân tích các kết cấu có bề dày không đổi, tiết diện ngang và điều kiện biên đơn giản Đối với các kết cấu dạng này, việc áp dụng phương pháp dải hữu hạn thường đơn giản và tỏ ra có ưu thế hơn so với phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp dải hữu hạn có thể được áp dụng để giải bài toán ổn định và dao động thông qua việc giải hệ thống phương trình trị riêng Ban đầu phương pháp dải hữu hạn được ứng dụng để giải bài toán tấm chữ nhật, sau này nó được phát triển

để giải bài toán tấm cong (Cheung 1969), bài toán không đối xứng, bài toán tấm có

gờ, bài toán dầm hộp Phương pháp dải hữu hạn được tiếp tục phát triển bằng việc

sử dụng hàm spline thay thế cho chuỗi hàm lượng giác để phân tích bài toán tấm

có hình dạng và điều kiện biên phức tạp hơn (Cheung et al.,1982 ; Tham et al.,1986 ; Yang and Chong,1982,1984,…)

Phương pháp dải hữu hạn có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của phương pháp phần tử hữu hạn, cả hai phương pháp này đều sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần Điểm khác nhau cơ bản giữa hai phương pháp này là việc

lựa chọn hàm chuyển vị ban đầu Trong phương pháp phần tử hữu hạn, kết cấu thường được rời rạc hóa theo hai phương, hàm chuyển vị thường được lựa chọn là hàm đa thức hai chiều Đối với phương pháp dải hữu hạn, kết cấu thường được khảo sát theo phương dọc, chiều dài của phần tử được khảo sát chính bằng chiều dài kết cấu, hàm chuyển vị trong phương pháp này thường được kết hợp giữa hàm

đa thức một chiều (theo phương ngang) và hàm điều hòa hay hàm Spline (theo phương dọc) Khi khảo sát các kết cấu có mặt cắt ngang phức tạp nhưng chiều dày kết cấu không đổi theo phương dọc, phương pháp dải hữu hạn thường được áp dụng hiệu quả hơn phương pháp phần tử hữu hạn

So với phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp dải hữu hạn đơn giản hơn

vì số phương trình cần tính toán và dữ liệu đầu vào cũng ít hơn, do đó sẽ giảm được thời gian giải bài toán Tuy nhiên, đối với phương pháp dải hữu hạn, việc lựa chọn hàm chuyển vị ban đầu là rất quan trọng vì nó ảnh hưởng nhiều đến độ chính xác và kết quả của bài toán

Hình 2.1 : (a) Rời rạc hóa theo FEM (b) Rời rạc hóa theo FSM

2.1.2 Chọn hàm chuyển vị

Đối với phương pháp dải hữu hạn, việc chọn hàm chuyển vị cho bài toán có ý

nghĩa hết sức quan trọng vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả của bài toán Hàm chuyển vị trong phương pháp dải hữu hạn phải thỏa mãn các điều kiện sau :

(i) Phần chuỗi Y m (y)của hàm chuyển vị được chọn phải thỏa mãn các điều kiện biên ở hai đầu của dải Do đó khi thành lập các phương trình cơ bản của kết cấu, điều kiện biên đã tự động thỏa mãn nhờ vào hàm chuyển vị đã chọn sẵn, như

vậy khi giải bài toán, ta không cần phải áp đặt điều kiện biên ở hai đầu kết cấu nữa

(ii) Phần đa thức của hàm chuyển vị (f m(x))phải được đại diện cho một giai đoạn biến dạng hằng số theo phương ngang x Nếu điều này không thỏa mãn thì biến dạng sẽ không hội tụ về sự phân phối biến dạng đúng trong khi lưới được chia càng nhỏ Đa thức (f m(x))chính là phần hàm dạng mô tả xấp xỉ trường chuyển vị theo phương ngang x

(iii) Hàm chuyển vị phải thỏa mãn sự tương thích của chuyển vị dọc theo biên với những dải lân cận, và điều này bao gồm sự liên tục của đạo hàm riêng phần bậc nhất cũng như giá trị chuyển vị

2.1.3 Thành lập hàm chuyển vị

Trong phương pháp dải hữu hạn, hàm chuyển vị được biểu diễn qua các thông

số của đường nút Hàm chuyển vị được tạo thành từ hai phần :

* Đa thức f m (x) phụ thuộc vào hình dạng mặt cắt ngang của dải, mô tả chuyển vị theo phương ngang x

* Chuỗi hàm điều hòa Y m (y) phụ thuộc vào điều kiện biên ở hai đầu kết cấu,

mô tả chuyển vị theo phương dọc chiều dài kết cấu

a Thành phần chuỗi hàm điều hòa

Dải có dạng hình học gần giống như một dầm chịu uốn nên thành phần chuỗi

hàm điều hòa Y m (y)cũng được chọn từ phương trình vi phân chủ đạo của bài toán dầm chịu uốn :

4 0

4 4

4

=

a dx

m=2 m=3

y

m=1

m=2 m=3

y

a

y C

a

y C

a

y C

a

y C

y

cosh sinh

cos sin

)

( = 1 + 2 + 3 + 4 (2.2) Các hệ số C1,C2,C3,C4 được xác định từ các điều kiện biên

Sau đây ta sẽ xét các trường hợp liên kết khác nhau ở hai đầu dải :

* Đối với kết cấu liên kết tựa đơn ở cả hai đầu :

Hình 2.2 : Dải liên kết hai đầu tựa đơn

Tại y= 0 và y=a : Chuyển vị và momen bằng 0

m

µsin ) ( = ; với µm =mπ ; m= 1, 2, 3,… (2.3)

* Đối với kết cấu liên kết ngàm ở cả hai đầu :

Hình 2.3 : Dải liên kết hai đầu ngàm

Tại y=0 và y=a : Chuyển vị và góc xoay bằng 0

Y( 0 ) =Y(a) = 0 , ' ( 0 ) ' ( ) 0

=

=Y a Y

y a

y a

y y

m m m

m

µµ

αµµ

cosh cos

sinh sin

)

m=2 m=3

y

m=1

m=2 m=3

y

trong đó

m m

m m

m

µµ

µµ

α

cosh cos

sinh sin

Hình 2.4: Dải liên kết một đầu tựa đơn và một đầu ngàm

Tại đầu tựa đơn y=0 : Chuyển vị và momen bằng 0

Tại đầu ngàm y=a : Chuyển vị và góc xoay bằng 0

y y

αµ

sinh sin

) ( = − (2.5)

trong đó

m

m m

µ

µα

Hình 2.5 : Dải hai đầu tự do

Tại y=0 và y=a : Momen và lực cắt bằng 0

1 ) (

m=2 m=3

y

m=1

m=2 m=3

=

a

y a

y a

y a

y y

m m m

m

µµ

αµµ

cosh cos

sinh sin

)

trong đó

m m

m m

m

µµ

µµ

α

cosh cos

sinh sin

Hình 2.6 : Dải một đầu ngàm và một đầu tự do

Tại đầu ngàm y=0 : Chuyển vị và góc xoay bằng 0

Tại đầu tự do y=a : Momen và lực cắt bằng 0

=

a

y a

y a

y a

y y

m m m

m

µµ

αµµ

cosh cos

sinh sin

)

trong đó

m m

m m

m

µµ

µµ

α

cosh cos

sinh sin

Hình 2.7 : Dải một đầu tựa đơn và một đầu tự do

Tại đầu tựa đơn y=0 : Chuyển vị và momen bằng 0

Tại đầu tự do y=a : Momen và lực cắt bằng 0

a

y y

Y1( ) = ; µ1= 1 Hàm dạng chuyển vị :

a

y a

y y

m m m

µα

µ

sinh sin

) ( = + (2.8)

trong đó

m

m m

µ

µα

Y đều được dùng cho các chuyển vị u, v, w

Theo Meirovitch (1986), các hàm Y m là các hàm trực giao :

Hàm chuyển vị w được biểu diễn như sau :

k k r

m m m

r m

f y

1

) ( )

( ) ( )

,

( (2.11) với s là số đường nút trên một dải

x b/2

b/3 b/3 b/3

{ }d k m là vectơ đại diện cho các thông số chuyển vị nút (chuyển vị và góc

xoay) của số hạng thứ m tại nút thứ k

[ ]C k là vectơ các hàm dạng tương ứng liên kết với { }d k m

Ví dụ: Đối với một dải có hai đường nút (s=2), thành phần hàm đa thức của

dải có thể được biểu diễn như sau :

) (

Bậc của hàm dạng phụ thuộc vào cách sử dụng các loại phần tử dải và các

thông số của đường nút Dưới đây ta sẽ lần lượt xét các mô hình dải thông dụng

với các hàm dạng đã được lập sẵn (b là bề rộng dải,

∂

∂ ,

Hình 2.8c: , , 22

x

f x

f f

w

w x x x

f

2

1

) 1 ( ) ( (2.12)

* Dải có hai nút với thông số nút là các chuyển vị và đạo hàm bậc nhất:

[ ]=(1−3 +2 ) (1−2 + )

2 3

w d

1

1 1

w d

2

2 2

θ Hàm đa thức có dạng :

− +

−

=

m m m m

m

w

w x x x x x x

x x x x x

f

2 2 1

1 2 3

2 2

3 2

) (

) 2 3 ( ) 2 1 ( ) 2 3 1 ( )

(

θ

θ (2.13)

* Dải có hai nút với thông số nút là chuyển vị, đạo hàm cấp 1 và cấp 2:

* Dải có ba nút với thông số nút là các chuyển vị và đạo hàm cấp 1:

[ ]C1 =[( 1 − 23x2+ 66x3− 68x4+ 24x5) x( 1 − 6x+ 13x2 − 12x3 + 4x4)]

[ ]=(16 −32 +16 ) (−8 +32 −40 +16 )

4 3 2 4

3 2

[ ]C3 =[( 7x2 − 34x3+ 52x4 − 24x5) x( −x+ 5x2− 8x3 + 4x4)]

* Dải có bốn nút với thông số nút là các chuyển vị:

[ ] )( 1 )

3

2 )(

3

1 ( 2

3

1 ( 2

Tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn, việc thiết lập các phương trình

cơ bản của phương pháp dải hữu hạn cũng được dựa trên các nguyên lý về năng lượng Ở đây sử dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng, nguyên lý này được phát biểu như sau:

“ Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, chuyển vị nào thỏa mãn phương trình cân bằng sẽ làm cho thế năng toàn phần đạt giá trị dừng”

Biểu thức của nguyên lý thế năng toàn phần dừng:

{ }

{ } { }2 { }0

a Hàm chuyển vị

Dạng chung của hàm chuyển vị:

w x y Y y [ ]C { }d [ ]N { }d k m [ ]N { }d

r m s k m k m

k s

k k r

,

trong đó: r là số chuỗi hàm và s là số đường nút của một dải

[ ]N k m =Y m(y)[ ]C k (2.20) với [ ]N là ma trận các hàm dạng và { }d là vectơ chuyển vị nút

b Biến dạng

Khi đã chọn được hàm chuyển vị, ta có thể tìm được biến dạng bằng cách lấy đạo hàm riêng phần với các biến tọa độ theo các phương trình Cauchy (phương trình liên hệ biến dạng-chuyển vị):

m k s

k m

B d

B y x w

) , (

B D

d B D

trong đó [ ]D là ma trận đàn hồi hay ma trận tính chất

Với bài toán tấm đẳng hướng chịu uốn, ta có :

0 1

0 1

) 1 (

3

νν

νν

Et

D (2.23)

d Cực tiểu hóa thế năng toàn phần

Thế năng biến dạng của một vật thể đàn hồi được cho bởi công thức :

W = −∫ { }d T[ ]N T{q(x,y)}dA (2.27) Thế năng toàn phần :

T T

(2.29)

Viết ở dạng thu gọn:

[ ]K { } { }d = F (2.30) Trong công thức (2.30), [ ]K là ma trận độ cứng và { }F là vectơ tải trọng

* Ma trận độ cứng :

Ma trận độ cứng : [ ]K =∫ [ ] [ ][ ]B T D B dV (2.31a) Dạng khai triển:

[ ]K [ [ ]B T [ ]B T K [ ]B T r] [ ][ ] [ ]D[B B K [ ]B r]dV

2 1 2

1

∫

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

dV B D B B

D B B D B

B D B B

D B B D B

B D B B

D B B D B K

r T

r T

r T

r

r T

T T

r T

T T

M

K K

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

(2.31c)

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

r

r r

K K

K

K K

K

K K

K K

K

M M

M

K K

2 1

2 22

21

1 12

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ s ] [ s ] [ ss] mn

s s mn

K K

K

K K

K

K K

K K

M

K K

2 1

2 22

21

1 12

ij =∫ (2.34) với ivà jlà chỉ số của đường nút thứ i và j

[ ] [ ]

[ ]

{q x y}dA N

N

N F

F F

T r

T T

r

),(2

1 2

{ }

{ } { } { }

[ ] [ ]

[ ]

{q x y}dA N

N N

F

F F F

T m s

T m

T m

m s

m m

1 2

2.1.5 Phương trình hệ thống

[ ] { } { }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

{ } { } { }

{ } { } { } 

rr r

r

r r

F

F F

d

d d

K K

K

K K

K

K K

K F

d K

M M

K

M M

M

K K

2

1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

(2.38)

2.1.6 Trình tự phân tích bài toán bằng FSM

Các bước phân tích bài toán theo phương pháp dải hữu hạn cũng tương tự

như phương pháp phần tử hữu hạn, và được thực hiện theo trình tự như sau:

Bước 1: Chia miền khảo sát thành các dải liên kết với nhau ở các đường nút

Miền V của vật thể được chia thành hữu hạn các miền con V e Các miền con V e là những dải có dạng hình học giống nhau dọc theo chiều dài kết cấu, thường các dải này có mặt cắt ngang đơn giản

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị thích hợp cho dải Các hàm chuyển vị được

chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện biên ở hai đầu kết cấu Hàm chuyển vị bằng tích số của phần hàm dạng và phần chuỗi

Sau khi đã chọn được hàm chuyển vị thích hợp, biểu diễn các hàm chuyển

vị theo tập hợp các giá trị thông số của các đường nút của từng dải

Bước 3: Tính ma trận độ cứng và vectơ tải của từng dải

b

x y

Bước 5: Giải phương trình trong bước 4 để tìm vectơ chuyển vị nút { }d

Bước 6: Tìm ứng suất, chuyển vị của các phần tử

Sau đây ta sẽ xét ba bài toán : FSM với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật, FSM với dải chịu uốn hình chữ nhật, FSM với dải hình chữ nhật chịu lực phức tạp

2.1.7 FSM với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật

Dải ứng suất phẳng đầu tiên được phát triển bởi giáo sư Cheung, sử dụng một chuỗi các đa thức tuyến tính theo x cho cả hai chuyển vị u và v

Xét một dải ứng suất phẳng hình chữ nhật chịu tải trọng tác động nằm trong mặt phẳng dải Các thông số nút chỉ bao gồm các chuyển vị u và v

Hình 2.9: Mô hình dải ứng suất phẳng hình chữ nhật

Dạng tổng quát của các hàm chuyển vị:

v m

r

m

m u m

y Y

a x f v

y Y x f u

1

'

1

) ( )

(

) ( ) (

µ

(2.39)

* Đối với kết cấu liên kết cả hai đầu là tựa đơn:

Điều kiện biên tại y=0 và y=a :

v E

u

x y

m v

m m

m

v m

r m

r m

m u

m m

u m

y k x f y

Y

a x f v

y k x f y

Y x f u

'

) cos(

) ( )

( )

(

) sin(

) ( )

( ) (

* Đối với kết cấu liên kết cả hai đầu là ngàm :

Điều kiện biên tại y=0 và y=a :

( )

( ) ( 0

' '

r m

r m

m m

v m m

u m

x

x f y

Y x f G x

v y

u G

v u

µτ

m

r

m

m u

m

y k x f v

y k x f u

1

1

1

sin ) (

) sin(

) (

Trong phần này chỉ xét bài toán dải ứng suất phẳng hình chữ nhật với liên kết

tựa đơn ở cả hai đầu :

a Hàm chuyển vị

Hàm chuyển vị thích hợp được chọn có dạng sau :

m m

m

v m

r m

r m

m m

u m

y k v

v b

x b

x y

Y

a x f v

y k u

u b

x b

x y

Y x f u

1 '

1

) cos(

1 )

( )

(

sin 1

) ( ) (

m m r

m

m m m

m

m m

d N v

u v u

Y a b

x Y

a b x

Y b

x Y

b x v

0 0

1 )

,

(

µµ

m m r

m

m m xy

y

x

d B d

N

x

v y u y v x u

1 1

'γ

' '

"

"

1 1

1

0 1

0

0 1

0 1

m m m

m m m

m m m

m

m m

m

Y a b

Y b

x Y

a b

Y b x

Y a b

x Y

a b x

Y b

Y b B

µµ

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }m

r m m xy

y

x

d B D

x

y x

y x

y x y x x

G

E E

E E

D

0 0

0 1

1

0 1

1

ννν

νν

νν

ννν

2

1 2

1

I C K I C K t

1 2

1

I C K I C K t

2

1 2

1

I C K I C K t

1

3C C I K bC C I

b K t

K mn

1 2

1

I C K I C K t

1

6C C I K bC C I

b K t

1 2

1

I C K I C K t

2

1 2

1

I C K I C K t

2

1 2

1

I C K I C K t

1

6C C I K bC C I

b K t

2

1 2

1

I C K I C K t

1

3C C I K bC C I

b K t

' 0

'

a n

m Y dy Y I

0

"

a m

E K

νν

y

x E K

νν

ν

−

= 1

y x y

E K

νν

−

= 1

Trong trường hợp đặc biệt, đối với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật có hai đường nút với liên kết tựa đơn ở cả hai đầu, do tính chất trực giao nên [ ]K mn =0khi m≠ n Khi đó ma trận độ cứng trở nên rất đơn giản:

−

− +

+

−

− +

−

+

− +

=

b

aG E abk G ak E ak b

aG E abk G

ak E k

G abk b

aE G

ak E ak G

abk b aE

b

aG E abk G

ak E ak

sym G

abk b

aE

t

K

m m

x m m

m x

m

m m

x m m

m m

x m

m

m

26

64

2124

4

26

44

62

2

2 2

2

2 2

2 1

2

2 1

2

2 2

2 1

νν

νν

(2.49)

với

y x x

E E

νν

−

=1

y x y

E E

νν

−

=1

N F

F

m

T m m

m

2

1 2

* Lực tập trung cường độ (P x,P y) tại điểm (x0,y0):

) sin(

) cos(

1

) sin(

1

0 0

0 0

0 0

0 0

y k b

x P

y k b

x P

y k b

x P

y k b

x P

F

m y

m x

m y

m x

2 ) 1 ( 1 0 1 0

b

x y

0

0 1

2 1

2.1.8 FSM với dải chịu uốn hình chữ nhật

Xét một dải chữ nhật có hai đường nút chịu uốn, tại mỗi nút các thành phần chuyển vị bao gồm: chuyển vị w i ngoài mặt phẳng dải và góc xoay '

m

s k

m k k

Y y

,

(

Hình 2.10: Dải chữ nhật có hai đường nút chịu uốn

Hàm chuyển vị thích hợp được chọn có dạng như sau:

m r

x x b

x b

x b

x b

x x b

x b

x y

2 3

3 2

2 2

2 3

3 2

1 2

3 1 ) ( )

,

(

θθ

(2.54)

b Biến dạng

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }k m

r m s k m

B d

B y x

Biến dạng trong bài toán uốn ở đây chính là độ cong trong mặt phẳng chịu

uốn Theo lý thuyết tấm biến dạng bé, lấy đạo hàm cấp hai của hàm chuyển vị, ta được biến dạng của dải:

{ }

[ ] [ ] [ ]

m m m

r m m r

m

m m m m

xy

y

x

d B d

N d

y x N y N x N

y x w y w x w

1 1

"

1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 '

2

2 '

2

2 '

2 2

" 2

2

"

3

3 2

2 2

2 3 2 6

6

2 3

4 1 2 6

6 2

2 3 2

1 2

3 1

3 1

2 2

1

6 3

2

2 2

1 6

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m

Y b

x b

x Y

b

x b

x b

Y b

x b

x Y

b

x b

x b

Y b

x b

x x Y

b

x b

x Y

b

x b

x x

Y b

x b x

Y b

x b

Y b

x b

Y b

x b

Y b

x b

m m

B D

d B D D

ε

σ (2.57)

Các thành phần ứng suất suy rộng (momen) liên hệ với các thành phần biến

dạng qua ma trận tính chất của dải Trong trường hợp tổng quát đối với vật liệu

trực hướng, ta có:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }m

r m m xy

y

x

d B D D

M M

D

D D

D D D

0 0

( 12

3

y x

x x

t E D

νν

−

) 1

( 12

3

y x

y y

t E D

νν

( 12 ) 1

( 12

3 3

1

y x

x y y

νν

E x, E y, νx, νy, G là các hằng số đàn hồi ; t là bề dày của dải

Với vật liệu đẳng hướng:

E x =E y = E ; νx =νy =ν ;

) 1 (

ta được các số hạng thành phần của ma trận độ cứng được tính theo các công thức:

2 4

4 3

1

2 2

1

2 1

D b I

D b I

D b I

D b

3 4

5 3 1

3 2 1

3 1

D b I D b I D b I

bD b

[ ] [ 5]

2 4

4 3 1

2 2

1

2 1

D b I D b I

D b I

D b

3 4

5 3 1

3 2 1

3 1 3

420

1

I D b I

D b I D b I D b I bD b

D b I D b I D b I

bD b

D b I D b I D b I D b b

3 4

5 3 1

3 2 1

3 1 3

420

1

I D b I

D b I D b I D b I bD b

4 4

6 3 1

4 2 1

4 1 2 3

420

1

I D b I D b I D b I D b I D b b

2 4

4 3 1

2 2

1

2 1

D b I D b I

D b I

D b

K mn = − x + + + y − xy

3 4

5 3 1

3 2 1

3 1 3

420

1

I D b I

D b I D b I D b I bD b

D b I

D b I

D b I

D b

D b I D b I D b I

bD b

3 4

5 3 1

3 2 1

3 1 3

420

1

I D b I

D b I D b I D b I bD b

4 4

6 3 1

4 2 1

4 1 2 3

420

1

I D b I D b I D b I D b I D b b

3 4

5 3 1

3 2 1

3 1

D b I D b I D b I

bD b

4 4

6 3 1

4 2 1

4 1

2 3

420

1

I D b I

D b I D b I D b I D b b

"

0

a m

' 0 '

Vì tính chất hàm trực giao nên I1 = I4 = 0 khi m≠n

Xét riêng trường hợp dải chữ nhật có hai đường nút chịu uốn với liên kết

hai đầu đều là tựa đơn:

Hàm chuyển vị được chọn như sau:

( ) sin y sin(k y)

a

m y

Y m = − m m Với m≠n ta có:

a

n m

m a

n n

' '

I

a

n m

n m a

n m

Do đó ma trận độ cứng trong trường hợp này là:

[ ]

[ ] [ ]

K

M O M M

K K

0 0

0 0

0 0

1 5 4

2 3 1

22 21

12 11

k k k k

k k k

k k

sym k

K K

K K

b

a D k b

a D k b

a D k

ab

5

6 5

12 70

13

+ +

+

=

m y m xy m D x

b

a D k

ab D

k

ab D

4

2 2

4 3

m y m xy m D x

b

a D k a D k a D k ab

2 3

3 5

3 5

420

11

+ +

a D k b

a D k ab

5

6 5

12 140

a D k

a D k

ab

2 5

3 10

5 840

ab D k

ab D k

N F

F

m

T m m

* Lực tập trung cường độ P0 đặt tại điểm (x0,y0):

{ } sin( )

2 3

2 1

2 3 1

0 0

0 2

2 0 0

3

3 0 2

2 0

2

2 0 0 0

3

3 0 2

2 0

y k P

b

x b

x x

b

x b x

b

x b

x x

b

x b x

k q

b b b b

12 2 12

b

x y

z

u v

1 1

u v

4 3

2 2

2

2 1

0

3 2 4 3

4 2 3

2

4 3 2

3

4 2 3

y k y

k k

q

b

X b X b

X b X

b

X b

X X

b

X b

X X

2 2 1 1

2 3 6 5

1 5 4

2 3 1

w w

k k k k

k k k

k k

sym k

F d

K

w

w

m m

2.1.9 FSM với dải chữ nhật có hai đường nút chịu lực phức tạp

Ta xét một dải hình chữ nhật có hai đường nút với liên kết ở hai đầu dải đều

là tựa đơn Tai mỗi nút của dải có hai thành phần chuyển vị thẳng trong mặt phẳng, một thành phần chuyển vị thẳng ngoài mặt phẳng và một thành phần góc xoay Như vậy bài toán dải chịu lực này chính là sự kết hợp hai bài toán dải chịu lực đã xét ở phần trên

Hình 2.11: Dải chữ nhật tựa đơn có hai đường nút chịu lực phức tạp

0 0

0 1

0

0 0

1

' '

m m m

m

m m

Y a b

x Y

a b x

Y b

x Y

b x

w

v

u

µµ

2

2 3

3 2

2 2

2 3

3

2

1 2

3

1

0 0

0 0

0 0

0 0

θ

θ

w

w v u v u

Y b

x b

x x Y b

x b

x Y

b

x b

x x Y b

x

b

x

m m

m m

(2.66)

b Biến dạng

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }k m

r m s k m

B d

B y x

Dạng tường minh của ma trận tính biến dạng:

r m m

xy y x xy y x

d B

y x w y w x w x

v y u y v x u

2

2χ

χχγ

εε

ε (2.67)

c Ứng suất

Các thành phần ứng suất trong trường hợp này là:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }m

r m m

xy y x xy y x

d B D D

τσσ

y x y y

x

y x

y x

y x y x x

D

D D

D D G

E E

E E

D

0 0 0 0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0 1

1

0 0 0 0 1

1

1 1

ννν

νν

νν

ννν

m uv m

F

F F

θ

(2.70)

Sau đây ta xét các trường hợp tải trọng khác nhau tác dụng lên dải:

* Lực tập trung cường độ (P x,P y,P z)tại điểm (x0,y0):