Bài soạn nguyên ham cuc hay

TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1... Dùng đồng nhất thức và tính chất của nguyên hàm.. Với giá trị nào của a, b, c thì Fx là một nguyên hàm của fx.. Với giá trị nào của a, b, c thì Fx là một nguyên hà

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 : NGUYÊN HÀM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Nguyên hàm và tính chất

a) Định nghĩa : Cho hàm số ( )f x xác định trên K (K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng)

Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu :

'( )F x = f x( ) với mọi x K∈

b) Định lí :

1) Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm

số ( )F x +C cũng là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K.

2) Ngược lại, nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì mọi nguyên

hàm của hàm số ( )f x trên K đều có dạng ( ) F x +C

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số ( )f x là ∫ f x dx( )

Vậy : ∫ f x dx( ) = ( )F x +C , C R∈

• Tính chất của nguyên hàm

1) ∫ f x dx'( ) = f x( )+C

2) ∫k f x dx k f x dx ( ) = ∫ ( ) 3) ∫ [ f x( )±g x dx( )] =∫ f x dx( ) ± ∫g x dx( )

• Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí : Mọi hs ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP

1) ∫0dx C=

2) ∫dx x C= +

3)

1

( -1) 1

x

x dxα α C α

α

+

+

∫

ln

dx x C

∫

x = − +x

∫

2

dx x C

∫

3

xdx= x x C+

∫

8) ∫e dx e x = +x C

9) (a>0;a 1)

ln

x

x a

a

∫

1) ∫0du C=

2) ∫du u C= +

3)

1

( -1) 1

u

u duα α C α

α

+

+

∫

ln

du u C

∫

u = − +u

∫

2

du u C

∫

3

udu= u u C+

∫ 8) ∫e du e u = +u C

9) (a>0;a 1)

ln

u

u a

a

∫

12) 12

tan cos x dx= x C+

∫

cot sin x dx= − x C+

∫

tan cos u du= u C+

∫

cot sin u du= − u C+

∫

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ

Phương pháp :

1 Biến đổi hàm số ( )f x về những hàm số có trong bảng nguyên hàm

f x( )=k f x1 ( )1 +k f x2 ( ) 2 + +k f x n ( )n

2 Áp dụng tính chất của nguyên hàm

∫ f x dx k( ) = 1.∫ f x dx k1( ) + 2.∫ f x dx2( ) + + k n.∫ f x dx n( )

Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

6 ( ) (2f x = x−1)

2 f x( ) 2sin= x+3cosx

2 2

1

7 ( )f x x

x

3 f x( ) x2 x 1

x

=

2

8 ( ) sin cos

f x = − 

4 f x( ) x 3 x 1

x

x

=

5 f x( ) (2= x+1)(x2− −x 2) 10 ( ) cos cos5f x = x x

Bài 2 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

1 ( ) x(1 x)

f x =e +e− 6 ( )f x 1x

e

= 11 ( ) cos3f x = x+sin 4x−1

2 ( ) 2 1 2

sin cos

f x

= 7 ( ) sin3 cos3

2 sin 2

f x

x

+

=

−

3 1

12 ( ) x

f x =e +

3 f x( ) tan= 2x 8 ( ) (2f x = x−3 )x 2 13 ( ) 3 1

1

x x

e

f x

e

+

= +

4 f x( ) (2 tan= x+cot )x 2 9 ( ) cos 2

sin cos

x

f x

=

+

14 ( ) sin cosf x = x x−sin xcosx

5 ( ) cos2

2

x

f x = 10 ( ) 3 cos 22

sin

x

f x

x

−

=

2

sin

15 ( )

sin 2cos cos

2

x

f x

x

=

+

Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau :

1 1

2x+3dx

1

8

(3x−2) dx

1 cos+ x dx

∫

2 1

5 3− x dx

1 dx

x+ − x

∫

3 2 3

2 1

x

dx x

+

+

1 sin

x dx x

+

∫ 4

2

1

x

dx

x+

1

18

(sinx+cos )x dx

∫

3

4 1

2 1

x

dx x

+

−

1

x

x x e

x

−

+

−

1

19 dx

x +x

∫

(1+x)(1 2 )− x dx

∫ 13 cos cos 2 cos3∫ x x xdx 3

1

20

3 2dx

x − +x

∫

7 23 4

3 2

x

dx

x x

−

− +

∫ 14 sin sin 3 sin 5∫ x x xdx 21 tan xdx∫

Dạng 2 : • CHỨNG MINH HÀM SỐ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x)

• TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x) Phương pháp :

1 Chứng minh : '( )F x = f x( ) ∀ ∈x D

2 Dùng đồng nhất thức và tính chất của nguyên hàm

Bài 1 :

1 CMR hàm số ( ) 4sin (4 1) x 1

F x = x+ x+ e − là một nguyên hàm của hàm số ( ) 4cos (4 5) x

f x = x+ x+ e

2 CMR hàm số F x( ) ln(= x+ x2+1) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 12

1

f x

x

= + .

3 CMR hàm số ( ) ln tan

2

x

F x = là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

sin

f x

x

Bài 2 :

1 Cho hàm số ( ) (f x = −x 3).e x và F x( ) (= ax2+ +bx c e) x Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) ĐS : a=0; b=1; c= −4

2 Cho hàm số f x( ) (= −x 2) x2−4x và F x( ) (= ax2+ +bx c) x2−4x Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) ĐS : 1; 4; 0

a= b= − c=

Dạng 3 : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x) THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Phương pháp :

• Tìm F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) ( )F x =∫ f x dx g x( ) = ( )+C (*)

• Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C Thay C vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm

Bài tập :

1 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

2

( ) x x

f x

x

= biết (1) 2F = ĐS :

F x x x

x

= − − +

2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

( )

1

x x

f x

x

= + biết ( 2) 0F − = .

ĐS :

2

( ) 5 6ln 1 12 2

x

F x = − x+ x+ −

3 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 1 sin

1 cos

x

f x

x

+

= + biết (0) 1F = ĐS :

( ) tan 2ln cos 1

Bài 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

A Phương pháp đổi biến số :

Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u u x= ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ f u x u x dx F u x[ ( ) '( )] = [ ( )]+C.

Hệ quả : Nếu ∫ f x dx F x( ) = ( )+C thì f ax b dx( ) 1F ax b( ) C (a 0)

a

∫

B Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số u u x= ( ) và v v x= ( ) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫u x v x dx u x v x( ) '( ) = ( ) ( )−∫u x v x dx'( ) ( )

Hay viết gọn là : ∫udv uv= −∫vdu

Bài tập áp dụng :

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Dạng 1 : Để tìm ∫ f x dx( ) , ta tiến hành như sau :

• Ta biến đổi f x dx g u x u x dx( ) = [ ( ) '( )] .

• Đặt t u x= ( ), khi đó dt u x dx= '( ) .

Vậy ∫ f x dx( ) =∫g u x u x dx[ ( ) '( )] =∫g t dt( ) =G t( )+ =C G u x[ ( )]+C với ( )G t là một nguyên hàm của

( )

g t

Một số dạng bài tập thường gặp :

• ∫ f(sin ).cosx xdx Đặt t=sinx⇒ =dt cosxdx

• ∫ f(cos ).sinx xdx Đặt t=cosx⇒ = −dt sinxdx

1 (tan )

cos

x

tan

cos

x

1 (cot )

sin

x

cot

sin

x

−

• ( ).x x

f e e dx

t e= ⇒ =dt e dx

• f(ln ).x 1dx

x

ln

t x dt dx

x

Bài tập :

Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau

1 ∫sin cos4x xdx 6

1

x x

e dx

e +

∫

2 sin5

cos

x

dx x

∫ 7 ∫e x2− +6 1x (x−3)dx 2

12 ∫x x +1dx

3

3

ln x

dx

x

∫ 8 (∫ x3+1) 10 x dx2 5 2

13 ∫x x +1dx

4

5

2

tan 1

cos

x

dx x

−

cos

9

(2sin 1)

x dx

x+

3

x x

e dx

e +

∫

5 ∫esinx.cosxdx 10 cos( )∫x x dx2 15 1

1

x dx

e +

∫

Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau

+

∫

3

2

sin

os

x

dx

c x

1 2cos

dx x

− +

∫

3 3 2

1

x

dx

x +

1 cos

x x

dx x

+

∫

4 cos 2

1 3sin 2

x dx x

+

1 sin

x dx x

+

∫ 5

2

2

x

x

e

dx

e +

sin 2

x dx x

∫

Bài 3 : Tìm các nguyên hàm sau

1 2sin 2 2

sin 3cos

x

dx

x+ x

cos

8

sin 5sin 6

x

dx

x− x+

∫

cos 2 (sin cos 2)

x

dx

x+ x+

3 4

x x

dx

e + e− −

∫

3 1 2ln

4ln 3

x dx

−

+

2 1

dx

x− x−

∫

4 14

cos x dx

1

x dx

x −

∫

5 12

4dx

x x +

1

12

1

x dx x

− +

∫

6 ∫(tan8x−1)dx 13 1

sinx dx

∫

1 (2sinx+3cos )x dx

1

14

cos x dx

∫

Dạng 2 : Để tìm ∫ f x dx( ) , ta tiến hành như sau :

• Đặt x=ψ( )t ⇒dx=ψ'( )t dt

• ∫ f x dx( ) =∫ f [ψ( ) '( )t ]ψ t dt=∫g t dt( ) =G t( )+C.

Một số dạng bài tập thường gặp :

1

( 0)

dx a

x a >

+

• 21 2 dx (a 0)

a x >

−

−

• 21 2 dx (a 0)

x a >

−

−

Bài tập :

Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau

1 21

4dx

x +

2 1

7

9

x dx x

+ +

3

13

1

x dx x

+

−

∫

2 21

3dx

x +

1

8

1

x dx

x x

− + +

4 1

14

1

x x

dx x

−

∫

3 2 1

2 2dx

x + x+

1

9

2 5

x x

dx

x x

− +

3 2

15

1 9

x x

dx x

−

∫

4 2 1

6 34dx

x − x+

1

10

4−x dx

∫ 16 ∫ 4 x dx− 2

5 2 1

1dx

x + +x

1

11

3−x dx

∫ 17 ∫ 2 2x x dx+ − 2

6 21

4x +9dx

1

12

4 5dx

x x

∫ 18 ∫ x2−4dx

Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau

1 cos 2

1 sin

xdx x

+

1

x x

e dx

e +

4

dx

x x −

∫

2 sin 2

3 cos

xdx x

+

(ln 3)

dx

x x+

1 ln

dx

x − x

∫

3 2(4 2)

dx

x +x

( 9)

dx

x x+

1 2cos 2

xdx x

+

∫

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Dạng 1 : Để tính nguyên hàm dạng ∫p x( ).lnxdx, trong đó ( )p x là hàm đa thức, ta tiến hành như sau :

• Đặt

1 ln

du dx

dv p x dx v p x dx

 =

=

• Sau đó dùng công thức udv uv∫ = −∫vdu

Dạng 2 : Để tính nguyên hàm dạng ∫p x e( ).( ax b+ ;sin(ax b+ );cos(ax b dx+ )) , trong đó ( )p x là hàm đa

thức, ta tiến hành như sau :

'( ) ( )

;sin( );cos( ) ;sin( );cos( )

du p x dx

u p x

dv e + ax b ax b dx v e + ax b ax b dx

=

• Sau đó dùng công thức udv uv∫ = −∫vdu

Bài tập : Tìm các nguyên hàm sau

1 ∫ln xdx 6 (∫ x2+1)e dx−x

2 ∫(3x2−2x+1)lnxdx 7 (∫ x2+ +x 1)cosxdx

3 ∫2 ln(x x−1)dx 8 (1 3 )cos∫ − x 2xdx

4 ∫ln(x2+x dx) 9 ln xdx∫ 2

5 (3 1) x

x+ e dx

10

( 1)

x

x e dx

x+

∫