Bài tập chọn lọc nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Đặc biệt với việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm ngay trong năm 2017 này thì các tài liệu dạng trắc ngiệm chưa có nhiều.. Trên tinh thần đó tôi đã biên soạn và tập hợ

LỜI MỞ ĐẦU

Như các bạn đã biết, trong các kì thi THPT Quốc gia các năm gần đây câu hỏi liên quan đến tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán Đặc biệt với việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm ngay trong năm 2017 này thì các tài liệu dạng trắc ngiệm chưa có nhiều Trên tinh thần

đó tôi đã biên soạn và tập hợp tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm phần NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG Nội dung tài liệu được dề cập đến rất nhiều bài tập phong phú và khá đầy đủ các dạng

Ngoài ra tài liệu còn có các bài tập tích phân tổng hợp dưới dạng khắc chế việc sử dụng máy tính cầm tay, điều mà nhiều học sinh hiện nay đang có tư tưởng ỷ lại, lệ thuộc Phần ứng dụng tích phân ngoài các bài tập như truyền thống còn có bài tập mang tính vận dụng thực tế theo tinh thần ra đề của Bộ Giáo Dục hiện nay Sau mỗi phần hoặc dạng bài tập đều có đáp án các bài tập trắc nghiệm kèm theo để đọc giả có thể đối chiếu kết quả Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập, chủ động tự tin bước vào kì thi THPT quốc gia sắp tới; và cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô trong quá trình ôn luyện cho học sinh

Tôi cũng xin cảm ơn bạn Vũ Thị Ngọc Huyền (facebook.com/huyenvu2405) nhiệt tình góp ý,

chia sẻ và dành nhiều thời gian để chỉnh sửa tài liệu Tôi cũng xin cảm ơn fanpage lovebook.vn cùng các

thành viên đã tạo điều kiện đang bài và chia sẻ tài liệu

Mặc dù đã rất cố gắng song với khả năng và trong khoảng thời gian còn hạn chế, cùng với lượng bài tập lớn nên không thể tránh khỏi sai sót Rất mong được sự góp ý và xây dựng từ phía bạn đọc, để tài liệu được hoàn thiện hơn trong thời gian tới

Mọi góp ý xin gửi về theo địa chỉ cá nhân

Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

MỤC LỤC

ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH 4

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 4

B – BÀI TẬP 5

C – ĐÁP ÁN 20

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN THỪA 21

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 21

B – BÀI TẬP 21

C – ĐÁP ÁN 29

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 31

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 30

B – BÀI TẬP 30

C – ĐÁP ÁN . 32

TÍCH PHÂN 34

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 33

B – BÀI TẬP 33

PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ MTCT 34

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ MTCT 37

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN VÀ MTCT 40

C – ĐÁP ÁN 41

TÍCH PHÂN TỔNG HỢP 42

ĐÁP ÁN 55

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH 57

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 56

B – BÀI TẬP 56

C – ĐÁP ÁN 69

ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH 71

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 70

B – BÀI TẬP 70

C – ĐÁP ÁN 75

ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:



dx cot(ax b) Csin (ax b)  a  

1 x 

Câu 13: Nguyên hàm F(x) của hàm số

2 2

x2



3 3

2

xx3

x2

Câu 18: Cho các hàm số:

220x 30x 7

Câu 29: Nguyên hàm F x của hàm số     2 3

f x 2x x 4 thỏa mãn điều kiện F 0 0 là

4 3

x4

Câu 33: Hàm số f x có nguyên hàm trên K nếu  

A. f x xác định trên K   B. f x có giá trị lớn nhất trên K  

C. f x có giá trị nhỏ nhất trên K   D. f x liên tục trên K  

Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 4

Câu 38: Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b và C là hằng số thì f (x)dxF(x) C

B Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b

C. F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b F (x) f (x),  x  a; b

(I): F(x)G(x) là một nguyên hàm của f (x)g(x)

(II):k.F x là một nguyên hàm của   kf x   kR

(III):F(x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g(x)

Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 44: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y 1

là một nguyên hàm của f x sin x

Câu 47: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

Câu 49: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A F(x) = 7 + sin2x là một nguyên hàm của hàm số f x sin 2x

B Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì  F x G x  dx có dạng

2 x 2

2

x 1 1F(x)

2 x 2

2

x 1 3F(x)

Câu 56: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số 1

x 1 và F(2)=1 Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:

3ln

1C

1C2x 1

2x3x+6 ln x 1

2x3x+6 ln x 1

Câu 64: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: 43 12 C f (y)dy

Câu 65: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v C f (u)du

Câu 66: Tìm nguyên hàm của hàm số

 C. 2

3 D.

23

Câu 73: Hàm số F(x)ln sin x 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:

C. 2x 2 cos 2x 1sin 2x C

Câu 75: Cho f (x)4msin x2

 Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F 4 8



C.

3m4

 

D.

4m3

Câu 79: Nguyên hàm của hàm số 3

Câu 81: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

Câu 83: Nguyên hàm F x của hàm số     4 

f x sin 2x thỏa mãn điều kiện   3

Câu 84: Một nguyên hàm của hàm số f (x) 42

3

3cos x

Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f x 2sin xcos xlà:

Câu 94: Họ nguyên hàm của sin x2 là:

Câu 100: Cho f (x)  3 5sin x và f(0) = 7

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

2

2xF(x) cosx 2

2

C.

2xF(x) cosx 20

2

2xF(x) cosx 20

2

Câu 105: Tìm nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn điều kiện: f x  2x 3cos x, F 3

4



2 2F(x) cotx x

x

32

A.  

x43

3ln4

3ln4

3ln4

f (x)(2x 1).e là:

A.

1 xF(x)x.e B.

1 x

1

2 xF(x)x e D.   1

8ln9

8ln9

9ln8

ln 2008

Câu 136: Họ nguyên hàm của hàm số   x

x 3

1C

Câu 153: Họ nguyên hàm của f(x) = 1



1 x aln

a x a



1 x aln



1 x aln

a x a



1 x aln

Nếu sai, thì sai ở phần nào?

C – ĐÁP ÁN

1D, 2A, 3B, 4B, 5B, 6D, 7A, 8D, 9D, 10A, 11D, 12B, 13A, 14C, 15A, 16A, 17B, 18C, 19C, 20D, 21C, 22B, 23C, 24D, 25A, 26C, 27A, 28A, 29C, 30D, 31D, 32B, 33D, 34A, 35A, 36A, 37D, 38A, 39C, 40B, 41A, 42D, 43B, 44D, 45A, 46C, 47C, 48C, 49C, 50A, 51B, 52D, 53A, 54B, 55A, 56A, 57A, 58D, 59C, 60C, 61C, 62B, 63A, 64C, 65D, 66A, 67C, 68B, 69B, 70D, 71C, 72B, 73A, 74D, 75D, 76D, 77A, 78D, 79D, 80D, 81D, 82D, 83C, 84B, 85B, 86C, 87B, 88D, 89D, 90B, 91B, 92B, 93D, 94C, 95A, 96D, 97C, 98C, 99B, 100A, 101A, 102C, 103C, 104D, 105D, 106D, 107B, 108B, 109D, 110D, 111D, 112A, 113B, 114B, 115D, 116A, 117C, 118A, 119C, 120B, 121A, 122B, 123B, 124C, 125B, 126C, 127C, 128D, 129B, 130A, 131C, 132C, 133A, 134C, 135D, 136C, 137D, 138D, 139D, 140B, 141A, 142D, 143B, 144A, 145C, 146D, 147A, 148D, 149A, 150D, 151D, 152D, 153B, 154D, 155B, 156A, 157D

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN

( F(u) là một nguyên hàm của f(u) )

Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn

bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như:

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :

+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

Câu 4: Nguyên hàm của sin x cos x

2cot x

C

2tan x

C2

2tan x

C6

6cos x

C6

6cos x

1Ce

Câu 21: Kết quả của x 2 dx

1 x

1C

1 x



21

ln(1 x ) C2

Câu 27: Để tìm nguyên hàm của   4 5

f x sin x cos x thì nên:

A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt tcos x

B Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt u cos x4 4

D Dùng phương pháp đổi biến số, đặttsin x

Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số f x cos 3x tan x là

2 ln x 3

C2

3

1(x 5)

C

Câu 40: Họ nguyên hàm của 2

1C

Câu 48: Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:

A sin3x + sin5x + C B. 1sin x3 1sin x5 C

Câu 49: Một nguyên hàm của hàm số: f (x)x sin 1 x 2 là:

A. F(x)  1 x cos 1 x2  2 sin 1 x 2 B. F(x)  1 x cos 1 x2  2 sin 1 x 2

2xC

Câu 58: Họ các nguyên hàm của hàm số ytan x3 là:

A. tan x2 ln cos x B. 1tan x2 ln cos x

2sin x

C – ĐÁP ÁN

1A, 2D, 3B, 4C, 5D, 6D, 7A, 8B, 9A, 10C, 11D, 12C, 13B, 14A, 15C, 16C, 17B, 18D, 19B, 20C, 21D, 22A, 23B, 24B, 25A, 26A, 27D, 28C, 29C, 30D, 31B, 32B, 33C, 34B, 35D, 36D, 37A, 38B, 39B, 40C, 41B, 42B, 43D, 44B, 45D, 46B, 47B, 48B, 49B, 50B, 51A, 52D, 53A, 54A, 55A, 56A, 57B, 58B, 59D, 60A, 61B, 62C, 63D, 64D, 65B, 66B, 67D, 68A, 69D, 70B, 71A, 72C, 73B, 74D, 75B, 76D

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: Công thức

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:

-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức -f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit

-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit -f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ Cách giải : - Dùng công thức (*)

- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

xP(x)e dx

 P(x) cosx dx P(x) sinx dx P(x) lnx dx

e dx cos xdx sin xdx P(x)

Câu 85: Nguyên hàm x cos xdx

A x tan x ln cos x B. x tan xln cos x  C x tan xln cos x D x tan xln sin x

Câu 92: Họ nguyên hàm của hàm số   x

Câu 99: F(x)4 sin x(4x5)ex 1 là một nguyên hàm của hàm số:

C – ĐÁP ÁN

77D, 78C, 79B, 80D, 81A, 82B, 83D, 84A, 85A, 86A, 87B, 88A, 89A, 90A, 91C, 92A, 93A, 94A, 95C, 96A, 97D, 98C, 99A

TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

udvuv  vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b

avdu

 dễ tính hơn

b

audv



B – BÀI TẬP

PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ MTCT

Câu 1:

2 4

3

2 ln7

dxI

Câu 22: Cho

2 2

2 1

Câu 23: Tính tích phân sau:

2x 1dx

dxI

Câu 30: Giá trị của

2 2

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ MTCT

Câu 37: Giá trị của tích phân

Câu 42: Tính tích phân

1

3 2 0

xdx

Câu 43:

2

0

dxI

dxI

dxI

xdxcos x

 

3 1 8

 

3 1 8

2ln

2ln7

Câu 51: Tích phân

2

2 0

I t

03



C. 9

328

Câu 57: Tính

1 2

3ln

1ln2

(3 1)

6 9

x dx I



2eK4

Câu 74: Giá trị của 1  

4



2eK4

2

e 14



C.

33e 28



D.

22e 33



C – ĐÁP ÁN

1A, 2C, 3C, 4A, 5D, 6D, 7B, 8A, 9D, 10B, 11C, 12D, 13D, 14B,15C, 16A, 17C, 18B, 19C, 20C, 21A, 22C, 23D, 24D, 25D, 26B, 27B, 28D, 29C, 30C, 31D, 32A, 33B, 34D, 35A, 36A, 37B, 38D, 39D, 40A, 41C, 42C, 43C, 44C, 45C, 46C, 47D, 48A, 49D, 50B, 51A, 52D, 53C, 54B, 55D, 56C, 57B, 58D, 59B, 60A, 61B, 62A, 63C, 64B, 65B, 66A, 67D, 68A, 69C, 70D, 71B, 72A, 73A, 74A, 75A, 76A, 77B, 78A, 79D, 80B.

1 dtI

1 3 1 2

Câu 9: Cho tích phân

2 0

sin xI





Câu 20: Biến đổi

3

0

xdx

Câu 24: Cho đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [0;6] như hình vẽ

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất:

1dx

Câu 29: Bằng cách đổi biến số x2 sin t thì tích phân 1

2 0

  

2a4

 :.một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt tsin xdtcos xdx Đổi cận:

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A Bài giải trên sai từ bước 1 B Bài giải trên sai từ bước 2

C Bài giải trên hoàn toàn đúng D Bài gaiir trên sai ở bước 3

Câu 42: Nếu f (x) liên tục và

Câu 46: Khẳng định nào sau đây sai về kết quả

t dtI

t dtI

2 2

tdtI

tdtI

dxI

1 e





 tuần tự như sau:

(I) Ta viết lại

e 1 e







1  = 1 2016

m.e2

Câu 64: Biếtb2x4 dx 0, khi đó b nhận giá trị bằng:

A. b1 hoặc b4 B. b0 hoặc b2 C. b1 hoặc b2 D. b0 hoặc b4

2xdx

với mọi a, b, cthuộc TXĐ của f x  

D Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F x 

là nguyên hàm của hàm số f x  

Câu 68: Cho biết

1

2 0

Câu 74: Tính các hằng số A và B để hàm số f (x)A sin x Bthỏa mãn đồng thời các điều kiện

0

12

1 5

0

3 2 4

2x 0

3 e(x 1)e dx

A. ln( 1 tan x) C

2tan x

Câu 87: Tính tích phân

2 2

 (với a, b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a b, bằng 1) Chọn

khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Câu 99: Khẳng định nào sau đây là đúng:

(a) Một nguyên hàm của hàm số yecos x là sin x.ecos x

Câu 104: Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Nếu w '(t) là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì

10

5

w '(t)dt

 là sự cân nặng của đứa trẻ giữa 5 và 10 tuổi

B Nếu dầu rò rỉ từ 1 cái thùng với tốc độ r(t) tính bằng galông/phút tại thời gian t, thì

120

0

r(t)dt

 biểu thị lượng galông dầu rò rỉ trong 2 giờ đầu tiên

C Nếu r(t)là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới, trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t0 vào ngày 1

tháng 1 năm 2000 và r(t) được tính bằng thùng/năm,

Câu 113: Cho hàm số yf (x) có nguyên hàm trên (a ;b) đồng thời thỏa mãn f (a)f (b) Lựa chọn phương án đúng:

Câu 121: Nếu đặt 2

e

2 1

1

2

I tdt3

dx0

Câu 124: Cho hai tích phân

2 2

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

– Hai đường thẳng x = c, x = d

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số  C : ysin x và  D : y x  là:

Câu 4: Diện tích hình giới hạn bởi   3

P yx 3, tiếp tuyến của (P) tại x2 và trục Oy là

Câu 5: Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi Ox, Oy, y = cosx và y 2x 1

Câu 6: Cho parabôn   2

P : yx 1và đường thẳng  d : ymx2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và  d đạt giá trị nhỏ nhất?

Câu 9: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx33x ; yx ; x 2 ; x2 Vậy S bằng bao nhiêu ?

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi yx ; y3 4x, x0, x3 là:

Câu 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2

83

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2xya

 và

2yxa

2a4

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x và 2 3 3

Câu 16: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x , y 6 xvà trục hoành thì diện tích của hình phẳng (H) là:

Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol yx2 và đường thẳng y3x2 là:

Câu 18: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong yf (x); y0; x a; xb có diện tích là S1 còn hình phẳng tạo bởi đường cong y | f (x) |; y 0; xa; xbcó diện tích làS2, còn hình phẳng tạo bởi đường cong y f (x); y0; xa; xbcó diện tích là S3 Lựa chọn phương án đúng:

Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y3 , yx  4 x và trục trung bằng

Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường cong (C) yx22x3, tiếp tuyến với (C) tại A(1; 6) và x= -2 là:

Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx2 và đường thẳng y2x là

Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) : yx22x3 và hai tiếp tuyến của (P) tại

Câu 32: Thể tích khối tròn xoay có được khi cho miền phẳng giới hạn bởi các đường

A. 2 ln 2 1  B. 2ln 2 1  C. 2 ln 2 D. ln 2 1 