Tôi cũng đồng ý với các bạn như vậy, nhưng ở đây tôi chỉ lấy hai ví dụ đơn giản nhất để minh họa cho kĩ thuật phân tích này, còn ứng dụng thực sự của nó không phải là để giải các bài toá[r]
Trang 1Các bất đẳng thức cơ bản
I.1.1 Các định lí và hệ quả
Định lí 1 (Bất đẳng thức AM-GM 1) Với mọi số thực không âm a1, a2, , an
ta có bất đẳng thức
a1 + a2 + · · · + an
a1a2 an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an
Chứng minh (Dùng phương pháp quy nạp theo kiểu Cauchy)
Rõ ràng bất đẳng thức đúng với n = 2, nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số, do đó bất đẳng thức đúng khi n là một lũy thừa của 2
Ta còn phải chứng minh nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với n − 1 số Thật vậy, đặt s = a1 + a2 + · · · + an−1 và chọn an = s/(n − 1), suy ra
n − 1 ≥ nr an 1a2 an−1s
n − 1
⇒ s ≥ (n − 1) n−1√
a1a2 an−1
Vậy bđt được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an
Hệ quả 1 Với mọi số thực dương a1, a2, , an ta có
1
a1
a2
+ · · · + 1
an
2
a1 + a2 + · · · + an
1 Theo cách gọi tên chung của thế giới, bđt Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM( Arithmetic Means-Geometer Means) Cauchy chỉ là người đưa ra cách chứng minh hay nhất của mình(như chứng minh trên) chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên Có lẽ vì vậy mà nhiều người nhầm lẩn rằng ông là người phát hiện ra bất đẳng thức này.
Trang 2I.1.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có
1
1
1
a + b + c
Ví dụ 2 (Bất đẳng thức Nesbitt với 3 số) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có
a
b
c
2
Chứng minh Có nhiều cách chứng minh cho bđt này Sau đây xin nêu ra một
số cách để các bạn tham khảo
C1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a
b
c
9 2
1
1
2(a + b + c)
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức AM-GM ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
C2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars(xem thêm mục I.2) ta có
2
a(b + c) +
b2 b(c + a) +
c2
2
2 C3: Xét các biểu thức sau
b
c
a + b
c
a
a + b
a
b
a + b
Ta có M + N = 3 Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì
b + c
c + a
b + a
c + b
Trang 3Vậy M + N + 2S ≥ 3 suy ra 2S ≥ 3 Đây là điều phải chứng minh.
C4: Dùng kỉ thuật phân tích bình phương(xem chương II Các kỉ thuật thường
sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức), ta biến đổi được
2
2(a + c)(b + c) +
(b − c)2 2(b + a)(c + a) +
(c − a)2 2(c + b)(a + b) ≥ 0 Đây là đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Trong bốn cách chứng minh nêu trên thì cách thứ nhất và thứ hai là những cách chứng minh quen thuộc, cách thứ tư đã sử dụng một kỉ thuật mạnh và có thể coi là khó đối với những bạn chưa từng dùng kỉ thuật này, riêng cách thứ
ba, theo tôi đó là cách chứng minh độc đáo và hay nhất Các bạn hãy thử áp dụng cách này để chứng minh bất đẳng thức Nesbitt cho 4 biến sau
Ví dụ 3 (Bất đẳng thức Nesbitt với 4 số) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, d ta có
a
b
c
d
Sau đây là một số ví dụ khác xem như bài tập để các bạn thử sức
Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a1, a2, , an và mọi số nguyên dương k ta có bất đẳng thức sau
ak1 + ak2 + · · · + akn
n
k
Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có bất đẳng thức
1
1 b(b + c) +
1
2(a + b + c)2
Ví dụ 6 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abcd = 1 Chứng minh hai bất đẳng thức sau
a3 + b3 + c3 + d3 ≥ a + b + c + d
a3 + b3 + c3 + d3 ≥ 1
1
1
1
d.
Ví dụ 7 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức sau
1
a3 + b3 + abc +
1
b3 + c3 + abc +
1
c3 + a3 + abc ≤ 1
abc
Trang 4Ví dụ 8 Các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x2+ y2 + z2 = 3 Hãy chứng minh
xy
yz
zx
Ví dụ 9 Các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x3+ y3 + z3 = 3 Hãy chứng minh
xy
yz
zx
Ví dụ 10 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có
x
y
z
3
√ xyz
Ví dụ 11 Với mọi x, y, z dương, hãy chứng minh
x3
y3
z3
Ví dụ 12 Chứng minh với mọi x, y, z dương ta có
x2 + y2 + z2 ≥ √2x(y + z)
I.2.1 Các định lí và hệ quả
Với hai dãy số thực tùy ý a1, a2, , an và b1, b2, , bn ta luôn có bất đẳng thức
(a21 + a22 + · · · + a2n)(b21 + b22 + · · · + b2n) ≥ (a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a1, a2, , an) và (b1, b2, , bn) là hai bộ tỉ lệ, tức là tồn tại số thực k để ai = kbi ∀i = 1, n
Chứng minh Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức trên, sau đây là ba cách chứng minh đơn giản nhất
Cách 1: Dùng tam thức bậc hai
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng khi a21 + a22 + · · · + a2n = 0
Khi a21 + a22 + · · · + a2n 6= 0, xét tam thức bậc hai sau đây
f (x) = (a1x − b1)2 + (a2x − b2)2 + · · · + (anx − bn)2
2 Chúng ta quen gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức BunhiaCopxki, thực chất đây là phát minh của ba nhà toán học Schwars, Bunhiacopxki và Cauchy Theo cách gọi tên chung của thế giới, bất đẳng thức này có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwars.
Trang 5Khai triển ta được
f (x) = (a21+ a22+ · · · + a2n)x2− 2(a1b1+ a2b2+ · · · + anbn)x + (b21+ b22+ · · · + b2n)
ta có ∆0f ≤ 0 Đây là đpcm
Cách 2: Dùng hằng đẳng thức sau
(a21+a22+· · ·+a2n)(b21+b22+· · ·+b2n)−(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)2 = 1
2
n
X
i,j=1
(aibj−ajbi)2
Cách 3: Dùng bất đẳng thức AM-GM (các bạn tự chứng minh)
Hệ quả 2 Với hai dãy số a1, a2, , an và b1, b2, , bn, bi ≥ 0 ∀i = 1, n ta có bất đẳng thức Schwars sau
a21
b1
2 2
b2
+ · · · + a
2 n
bn
≥ (a1 + a2 + · · · + an)
2
b1 + b2 + · · · + bn
Hệ quả 3 Với mọi dãy số thực a1, a2, , an ta có
(a1 + a2 + · · · + an)2 ≤ n(a21 + a22 + · · · + a2n)
I.2.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 13 Giả sử a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng
a
4(a + b + c)
Ví dụ 14 Giả sử a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng
a2
2
2
c + 2a2 ≥ 1
Ví dụ 15 Giả sử x, y, z ≥ 1 và x1 + 1y + 1z = 2 Chứng minh rằng
√
z − 1
Ví dụ 16 Với a, b, c là các số thực dương tùy ý,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4b
5c
a + b
Ví dụ 17 Chứng minh với mọi a, b, c dương ta có
a3
b2 + b
3
c2 + c
3
a2 ≥ a
2
b2
c2 a
Trang 6I.3 Bất đẳng thức Chebyshev
I.3.1 Các định lí và hệ quả
Định lí 3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Với hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều
a1, a2, , an và b1, b2, , bn ta có
a1b1 + a2b2 + · · · + anbn ≥ 1
n(a1 + a2 + · · · + an)(b1 + b2 + · · · + bn)
Chứng minh Bằng phân tích trực tiếp ta có đẳng thức sau
n(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn) − (a1 + a2 + · · · + an)(b1 + b2 + · · · + bn)
2
n
X
i,j=1
(ai − aj)(bi − bj) ≥ 0
Nếu hai dãy a1, a2, , an và b1, b2, , bn đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều
Hệ quả 4 Nếu a1, a2, , an là các số thực dương có tổng bằng n thì
an+11 + an+12 + · · · + an+1n ≥ an1 + an2 + · · · + ann
I.3.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 18 Cho các số thực dương a1, a2, , an có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
a1
2 − a1 +
a2
2 − a2 + · · · +
an
2n − 1
Ví dụ 19 Cho các dương a, b, c, d có tổng bình phương bằng 4 Chứng minh rằng
a2
b2
c2
d2
3
I.4.1 Các định lí và hệ quả
Định lí 4 (Bất đẳng thức Jensen) Nếu f là hàm lồi trên khoảng I thì với mọi
x1, x2, , xn ∈ I ta đều có
f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ nf
x1 + x2 + · · · + xn
n
Trang 7
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn
Nếu các bạn chưa biết khái niệm về hàm lồi thì hãy dùng dạng phát biểu khác của định lí trên như sau
f (x) + f (y) ≥ 2f (x+y2 ) ∀x, y ∈ D Khi đó với mọi x1, x2, , xn ∈ D ta đều có
f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ nf
x1 + x2 + · · · + xn
n
Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy
Chú ý rằng nếu bất đẳng thức điều kiện đổi chiều thì bất đẳng thức tổng quát cũng đổi chiều
f (x) + f (y) ≥ 2f (√
xy) ∀x, y ∈ D Khi đó với mọi x1, x2, , xn ∈ D ta đều có
f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ nf (√n
x1x2 xn)
I.4.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 20 (Bất đẳng thức AM-GM).Với mọi số thực không âm a1, a2, , an ta
có bất đẳng thức
a1 + a2 + · · · + an
a1a2 an
Ví dụ 21 Với mọi số thực dương a1, a2, , an ta có
1
a1 +
1
a2 + · · · +
1
2
a1 + a2 + · · · + an
Ví dụ 22 Chứng minh rằng với mọi dãy số dương x1, x2, , xn thì
x1 + x2 + · · · + xn ≤
q n(x21 + x22 + · · · + x23)
I.5.1 Các định lí và hệ quả
Định lí 6 (Công thức khai triển Abel) Giả sử x1, x2, , xn và y1, y2, , yn là các số thực tùy ý Đặt ck = y1 + y2 + · · · + yk ∀k = 1, n Khi đó
x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn = (x1− x2)c1+ (x2− x3)c2+ · · · + (xn−1− xn)cn−1+ xncn
Trang 8Định lí 7 Cho hai dãy số thực x1, x2, , xn và y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn Đặt
Sk = x1 + x2 + · · · + xk ∀k = 1, n
M = max
k=1,n
k=1,n
Sk Khi đó ta có bất đẳng thức
my1 ≤ x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn ≤ M y1
I.5.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 23 Cho hai dãy số dương a1, a2, , an và b1, b2, , bn thỏa mãn điều kiện
a1, a2, , an ≥ 0
b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn
a1 ≥ b1
a1a2 ≥ b1b2
· · ·
a1a2 an ≥ b1b2 bn Chứng minh bất đẳng thức
a1 + a2 + · · · + an ≥ b1 + b2 + · · · + bn
Ví dụ 24 Giả sử 0 ≤ x ≤ y ≤ z và a, b, c ≥ 0 thỏa mãn hệ điều kiện
a/x + b/y + c/z ≤ 3
z
Ví dụ 25 (Bất đẳng thức hoán vị).Cho hai dãy số đơn điệu tăng a1, a2, , an
và b1, b2, , bn Giả sử (i1, i2, , in) là một hoán vị bất kì của (1, 2, , n), ta luôn có
a1b1 + a2b2 + + anbn ≥ a1bi1 + a2bi2 + + anbin Ngoài ra nếu hai dãy đơn điệu ngược chiều nhau thì bất đẳng thức trên đổi chiều
Ví dụ 26 Chứng minh với mọi a, b, c không âm ta luôn có
a5 + b5 + c5 ≥ a4b + b4c + c4a
Trang 9Ví dụ 27 Chứng minh với mọi số dương a, b, c thì
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
I.6.1 Các định lí và hệ quả
Định lí 8 (Bất đẳng thức Schur).Với mọi số thực không âm a, b, c ta luôn có bất đẳng thức
a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
Bất đẳng thức Schur còn có các dạng phát biểu tương đương sau đây
I.6.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 28 (Olympic Toán Châu á-Thái Bình Dương-2004)
Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca)
Ví dụ 29 (Olympic Toán Ba Lan-2005),
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ 9
Ví dụ 30 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có
a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)
Trang 10Một số kĩ thuật thường sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức
Ý tưởng chính trong kĩ thuật này là dự đoán xem dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi nào do đó nó chỉ thật sự hiệu quả đối với các bất đẳng thức đối xứng Các bạn hãy xem kĩ ví dụ sau đây và thử tìm hiểu xem kĩ thuật này được áp dụng như thế nào?
Ví dụ 31 Cho a, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
S = a + b√
√ ab
a + b Lời giải:
S = a + b√
√ ab
a + b
4√
a + b
4√
a + b
4√
a + b
4√
√ ab
a + b
≥ 5 5
s (a + b)3
44(√ ab)3 = 5 5
s 1
28
a + b
√ ab
3
2
5
s
a + b
2√ ab
3
2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Vậy min S = 5/2
Ví dụ 32 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 3/2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = a2 + b2 + c2 + 1
1
1 c
Ví dụ 33 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Chứng minh rằng
a + b + c + 3
9
4
Trang 11II.2 Kĩ thuật cân bằng hệ số
Ví dụ 34 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện xy + yz + zx = 1 Chứng minh bất đẳng thức
10x2 + 10y2 + z2 ≥ 4
Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với
(2x2 + 2y2) + (8x2 + 1
2z
2
) + (8y2 + 1
2z
2
) ≥ 4
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2x2 + 2y2 ≥ 4xy 8x2 + 12z2 ≥ 4yz 8y2 + 12z2 ≥ 4xz Cộng ba bất đẳng thức trên lại ta được điều cần chứng minh Đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi x = y = 1/3, z = 4/3
Chắc chắn các bạn sẽ thắc mắc tại sao lại tách 10=2+8 và 1=1/2+1/2, liệu các cách tách khác như 10=4+6 chẳng hạng thì có giải quyết được bài toán không? Các bạn hãy tìm hiểu điều đó và nếu tự mình trả lời được thì có nghĩa là bạn
đã có thêm một kĩ thuật nữa để áp dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức:
kĩ thuật cân bằng hệ số Sau đây là một số ví dụ để các bạn luyện tập
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
P = 3x + 2y + z
Ví dụ 36 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1 và k là một hằng
số dương Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = k(x2 + y2) + z2
Ví dụ 37 Giả sử các số thực a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N = 5x2 + 4y2 + 5z2 + t2 Hãy tổng quát hóa bài toán
Trang 12Ví dụ 38 Cho x > y > 0 Chứng minh rằng
4
√ 12 3
Ví dụ 39 Giả sử các số thực dương x, y, z có tổng bằng 3 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 + y2 + z3
thức Cauchy với mẫu số, tuy nhiên nếu làm như vậy thì bất đẳng thức sẽ đổi chiều và ta không đạt được mục đích Vậy ta phải làm thế nào để có thể áp dụng được bất đẳng Cauchy với mẫu số mà bất đẳng thức vẫn không đổi chiều? Rất đơn giản, các bạn hãy tìm cách làm xuất hiện dấu "trừ" trước biểu thức cần đánh giá Sau đây là một số ví dụ minh họa cho kĩ thuật này
Ví dụ 41 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh bất đẳng thức
a
1 + a2 ≥ 3
2
Chứng minh Đánh giá từng số hạng ở vế trái, ta có
a
2
1 + b2 ≥ a − ab
2
ab 2 Xây dựng thêm 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại ta được
a
1 + a2 ≥ a + b + c − ab + bc + ca
2
vì 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Ví dụ 42 Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 4
ta có bất đẳng thức sau
a
1 + a2 ≥ 2
Ví dụ 43 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, d ta luôn có
a3
a2 + b2 + b
3
b2 + c2 + c
3
3
d2 + a2 ≥ a + b + c + d
2
Trang 13Ví dụ 44 Chứng minh với mọi số dương a, b, c có tổng bằng 3 thì
a + 1
b2 + 1 +
b + 1
c2 + 1 +
c + 1
a2 + 1 ≥ 3
Ví dụ 45 Chứng minh với mọi số dương a, b, c, d có tổng bằng 4 thì
1
a2 + 1 +
1
b2 + 1 +
1
c2 + 1 +
1
d2 + 1 ≥ 2
Ví dụ 46 Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0 và abc = 1 thì
1
1
1
Chứng minh Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng
a
b
c
Vì abc = 1 nên tồn tại các số thực x, y, z sao cho a = x/y, b = y/x, c = z/x Ta cần phải chứng minh
x/y
y/z
z/x
y
z
Nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng ở vế trái lần lượt với x, y, z rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c = 1
Ví dụ 47 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c có tích bằng 1 thì
1
1 b(1 + c) +
1
1
Ví dụ 48 Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm thì
r
ab + bc + ca
r (a + b)(b + c)(c + a)
8
Trang 14Ví dụ 49 Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta luôn có
a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) ≥ (ab + bc + ca)p3
(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 50 Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a, b, c
(2a + b + c)2 2a2 + (b + c)2 + (2b + c + a)
2
2b2 + (c + a)2 + (2c + a + b)
2
2c2 + (a + b)2 ≤ 8
Đây là một kĩ thuật rất hiệu quả đối với các bất đẳng thức dạng P (a, b, c) ≥ 0, trong đó P (a, b, c) là biểu thức đối xứng đối với ba biến a, b, c và thỏa mãn điều kiện P (a, a, a) = 0 Nội dung chính của kĩ thuật này là tìm cách phân tích biểu thức P (a, b, c) về dạng
P (a, b, c) = Pa(b − c)2 + Pb(c − a)2 + Pc(c − a)2 Khi đó, nếu các hệ số Pa, Pb, Pc đều không âm thì ta có điều phải chứng minh, còn nếu trong chúng có số âm thì ta vẫn hi vọng chứng minh được biểu thức
P (a, b, c) không âm bằng cách đánh giá các hệ số Pa, Pb, Pc mà thông thường thì việc làm này ít khó khăn hơn Theo tôi khó khăn nhất đối với kĩ thuật này là làm thế nào để phân tích được biểu thức P (a, b, c) về dạng chuẩn trên Các bạn hãy
tự tìm hiểu điều đó, còn bây giờ tôi sẽ làm thử một vài ví dụ để các bạn tham
cyc để chỉ tổng hoán vị(cyc là viết tắt của
từ cyclic)1 và P
sym để chỉ tổng đối xứng(sym là viết tắt của từ symmetric)2
Ví dụ 51 Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta có bất đẳng thức
a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
Chứng minh Xét biểu thức P = a3 + b3 + c3 − 3abc ta có
cyc
cyc
a(a2 − bc) = 1
2 X
cyc
a
2a2 − b2 − c2 + (b − c)2
2 X
cyc
a(a2 − b2 + a2 − c2) + 1
2 X
cyc
a(b − c)2
2 X
cys
(a + b)(a − b)2 + 1
2 X
cyc
a(b − c)2
1 Ví dụ P
cyc a 2 b = a 2 b + b 2 c + c 2 a
2 Ví dụ P
sym a 2 b = a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2