MỘT số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC cơ bản TRONG bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN THCS

Trong bộ môn Toán ở trường THCS, THPT thì chuyên đề Bất đẳng thứcđược xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí họcsinh giỏi còn lo ngại né tránh bởi vì học sinh

Trong bộ môn Toán ở trường THCS, THPT thì chuyên đề Bất đẳng thức

được xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí họcsinh giỏi còn lo ngại né tránh bởi vì học sinh chưa hình thành được nhữngphương pháp giải để ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức Đề thi họcsinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất đẳngthức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày vấn đề này rất sơ lược.Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu, không theo một phươngpháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức Vì vậy,học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào, hầu hết học sinhkhông biết làm toán về bất đẳng thức và không biết vận dụng bất đẳng thức đểgiải quyết các loại bài tập khác

Do vậy việc tìm tòi biện pháp giải quyết một số hạn chế học sinh thườngmắc phải khi giảng dạy học sinh giải toán chứng minh bất đẳng thức là công việcrất quan trọng và không thể thiếu được của giáo viên dạy môn toán

Xuất phát từ những vấn đề thực tế, hiểu được những khó khăn của học sinh

để giúp học sinh phần nào đỡ lúng túng khi làm các bài toán chứng minh bất đẳngthức, bằng những trải nghiệm được đúc rút trong quá trình giảng dạy của bản

thân, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài : “Một số phương pháp

chứng minh bất đẳng thức cơ bản trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

THCS”.

1.2 Điểm mới của đề tài.

Đề tài chọn lọc các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cơ bản màtrong chương trình Toán THCS các em tiếp xúc chưa nhiều Cách vận dụng linhhoạt các bất đẳng thức vào giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức thườnggặp Ứng dụng bất đẳng thức để giải quyết bài toán cực trị

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu:

Bài toán chứng minh bất đẳng thức là một trong những lĩnh vực mà theotôi là tương đối khó Bởi vậy phải luyện cho học sinh nhiều để cho học sinh nắmđược các dạng toán này nhờ đó có thể giải được nhiều bài tập hơn Cho nên vớimột bài toán chứng minh bất đẳng thức, thông qua các bước tư duy, bước giải sẽdẫn học sinh có những câu hỏi rồi lại yêu cầu học sinh tự trả lời Chính vì thế màgiải toán chứng minh bất đẳng thức yêu cầu học sinh phải biết tự đặt vấn đề và tựgiải quyết vấn đề trước một điều kiện nhất định của bài toán, góp phần rèn luyệnkhả năng phân tích, tổng hợp và áp dụng vào thực tế cuộc sống, loại bỏ nhữngkhả năng không thể xảy ra hay tạo ra một điều kiện phù hợp một yếu tố mới cólợi cho bài toán đang giải, làm như vậy cũng chính là giáo dục học sinh theo quanđiểm “học đi đôi với hành”, “lí thuyết phải gắn liền với thực tế”

Vì vậy, việc giải toán chứng minh bất đẳng thức góp phần phát triển khảnăng tư duy linh hoạt, sáng tạo bởi khi giải một bài toán chứng minh bất đẳngthức, các em phải chú ý vào điều kiện mà bài toán đòi hỏi, xác định mối quan hệgiữa cái đã biết và cái cần phải chứng minh, từ đó phải huy động tất cả các kiếnthức về bất đẳng thức đã học để giải Như vậy, lại một lần nữa học sinh đượckhắc sâu kiến thức đã có, tự đưa ra những lập luận dựa trên những cơ sở có sẵn

để trình bày một lời giải chặt chẽ, lôgic và từ đó học sinh thầy rằng những kết quảmình đã có thật là vững vàng

Thực tế khi chuẩn bị thực hiện đề tài, năng lực giải các bài toán chứngminh bất đẳng thức của học sinh là rất yếu Đa số học sinh cho rằng dạng toánnày quá khó, các em tỏ ra rất mệt mỏi khi phải làm bài tập dạng này Vì thế họcsinh học rất thụ động trong các buổi học bồi dưỡng và không có hứng thú học tập.Qua quá trình trực tiếp giảng dạy Toán, từ các tiết luyện tập, các tiết kiểm tra, cáctiết bồi dưỡng học sinh yếu kém và ôn thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinhthường lúng túng, không tìm ra hướng giải quyết hoặc đã tìm ra nhưng không biếtlàm như thế nào, làm từ đâu Bài làm của các em trong các giờ kiểm tra trên lớpcũng như các bài kiểm tra một tiết thường không chặt chẽ, không có tính logic,nhiều lời giải còn rời rạc, nhiều chỗ không hợp lý, đặc biệt là những bài toán khó,những tình huống toán học mang tính thực tiễn

Mặt khác, rất ít học sinh có sách tham khảo về dạng bài tập này Nếu cócũng chỉ là một quyển sách “học tốt” hoặc một quyển sách “nâng cao’’ mà nộidung viết về vấn đề này quá ít ỏi Lý do chủ yếu là do điều kiện kinh tế gia đìnhcòn khó khăn hoặc không biết tìm mua một sách hay

Kết quả điều tra: Mức độ thành thạo bất đẳng thức của đội tuyển học sinhgiỏi Toán 8 trước khi thực hiện đề tài

còn lúng

túng

Vận dụngthànhthạo

Vận dụngcòn lúngtúng

Vận dụngthànhthạo

Vận dụngcòn lúngtúng

Vận dụngthành thạo

2.2.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Để chứng minh A�B ta biến đổi tương đương A�B�…� C �D.Trong đó, bất đẳng thức cuối cùng C�D là một bất đẳng thức hiển nhiên đúnghoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức A�B Sau khi khẳng địnhđược tính đúng đắn của bất đẳng thức C�D ta kết luận bất đẳng thức A�B

đúng

Một số ví dụ :

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có:

Do bất đẳng thức (1) đúng suy ra điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xãy ra khi a = b

Do bất đẳng thức (2’) đúng suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

� (a b )2    (a 1)2 (b 1)2 � đúng0

� Điều cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.

Khai thác bài toán:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b 

* Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchy

�

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức trên có liên quan đến việc “cộng mẫu” nên có thể sử dụng đểchứng minh bất đẳng thức sau:

Cho a b c , , là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

(b + c - a)(b + a - c) (3)

a b c a c b

c b

(a b c a c b b c a  )(   )(   �) abc

Trở lại bài toán:

3 3

Dấu “=” xảy ra

2

22

Khai thác bài toán:

Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thứcCôsi để giải Sử dụng cách thức trên, hãy giải bài toán sau:

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3

1 2 3

n n

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Khai thác bài toán:

Bằng cách xét các cặp số như trên ta có thể giải các bài toán sau:

1) Cho x2 y2 z2  1, chứng minh rằng: x 2y 3z � 14

2) Cho a b c, , �0, chứng minh rằng:

a b c   1 � a b  b c  c a � 6

3) Cho , ,a b c �0, chứng minh rằng:

để kết luận A là đúng.

Muốn chứng minh bất đẳng thức A B� đúng, ta giả sử A B� sai, tức là

A B đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều mâu thuẫn

từ giả thiết Kết luận A B� đúng

Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng

Ví dụ 2: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể chọn

được 3 trong 6 số đó, chẳng hạn a, b, c sao cho a < bc, b < ca, c < ab

Trái với giả thiết a6 < 108 Vậy phải có 3 số a,b,c thỏa mãn a < bc; b < ca; c < ab

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:

0 (1)

ab + bc + ca > 0 (2) abc > 0 (3)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Tương tự, xét khả năng thứ hai a � 0; b < 0; c > 0 � a + b < 0

Vậy 3 số a, b, c đều là số dương

Ví dụ 4: Chứng minh rằng không có 3 số dương a b c, , nào thoả mãn cả 3 bấtđẳng thức:

Vì a b c, , > 0 nên ta dễ dàng chứng minh được:

� � � � � � điều này mâu thuẫn với (1).

Vậy không tồn tại các số dương a b c, , thoả mãn cả 3 bất đẳng thức đã cho

Khai thác bài toán:

Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau: Chứng minh rằng không có 3 số dương a b c, , thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau:

4 (1a  b) 1; 4 (1b  c) 1; 4 (1c  a) 1

2.2.1.5 Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết

Muốn chứng minh một bất đẳng thức trước hết ta để ý đến bất đẳng thức

đó ở dạng nào, tức là dùng bất đẳng thức nào đã được học để chứng minh Đôilúc chúng ta cần phải có sự định hướng trước để đưa bất đẳng thức về dạng có thể

áp dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh để giải bài toán

Một số ví dụ :

Ví dụ 1: Cho tam tam giác ABC có độ dài các cạnh là a b c, , và các đường caotương ứng h h h a, , b c Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minhrằng:

Nếu thay bằng điều kiện : Cho tam giác ABC có , ,a b c thoả mãn điều

kiện a b c  2 thì 0, 4

c

r

h �Bài tập áp dụng:

1) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a b c, , Chứng minh rằng:

2 2 2

a   b c ab ac bc  2) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a b c, , Chứng minh rằng:

nhiên nếu sử dụng trực tiếp với các cặp số 1 và

Khai thác bài toán:

a) Bài toán trên cũng có thể giải cách khác:

Chú ý: Với cách tách một số hạng thành tổng của nhiều số hạng bằng nhau ta có

thể giải bài toán:

Cho a b c   1 với a b c, ,  0, chứng minh rằng:

2.2.1.6 Phương pháp chứng minh qui nạp

Phương pháp qui nạp thường sử dụng để chứng minh một bất đẳng thứcphụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thực hiện các bước sau:

 Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất

 Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dương k bất kỳ

 Cần chứng minh BĐT cũng đúng với n = k + 1

Một số ví dụ :

1

2k (2 1)2 4 2 2( 1) 2 2( 1) 1

 �         Điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n� 2 ta có:

Suy ra điều phải chứng minh

2.2.1.7 Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác

Đây là phương pháp sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác làm các giả

thiết để chứng minh các bất đẳng thức Ở phương pháp chứng minh này các bạnnên chú ý một số kiến thức cơ bản sau:

1 Các bất đẳng thức trong tam giác:

Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì a b c, ,  0

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Ví dụ 2: Cho a; b; c là số đo ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng:

a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b) abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

Lời giải:

Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có:

( ) ( ) ( )

Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

2.2.2 Ứng dụng bất đẳng thức vào bài toán tìm GTLN, GTNN.

Bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi nhiều trong việc tìm GTLN, GTNN.Kiến thức : Nếu f(x) � m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu f(x) � M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M

Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như: Côsi,Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, kiểm tra trường hợp xảy

ra dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức,

ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đổi biến số, một số bất đẳngthức… Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta vận dụngcác bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

2 � �x 2b) Tương tự : min D = 9 khi : -3 � x � 2

c) Tương tự : min E = 4 khi : 2 � x � 3

Ví dụ 3: Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : 1

 + 1

z z

 � 2 (1 )(1 )

yz

 Tương tự : 1

Từ đó suy ra : P = xyz �1

8Max P = 1



2 3

z z

2 1

x  x� x  

Như vậy minB 2 2 � x 2 1 

Bây giờ ta xét hiệu A B

Do đó minA 2 2 3  khi và chỉ khi x 2 1 

Ví dụ 6: Cho các số dương a b c , ,    thoả mản a b c    1.Tìm giá trị lớn nhấtcủa

�۳ Do đó có thể khai triển biểu thức

P rồi ước lượng theo bất đẳng thức Côsi

abc4

Khai thác bài toán:

Ta có bài toán tổng quát:

Cho 3 số dương a b c , , có S a b c  

Tìm giá trị lớn nhất của f a b c( , , ) (1 1)(1 1)(1 1).

- Ứng dụng tốt bất đẳng thức vào các bài toán cực trị.

Kết quả sau khi vận dụng đề tài: Mức độ thành thạo bất đẳng thức của độituyển học sinh giỏi Toán 8

còn lúng

túng

Vận dụngthànhthạo

Vận dụngcòn lúngtúng

Vận dụngthànhthạo

Vận dụngcòn lúngtúng

Vận dụngthànhthạo

3 KÕt luËn

Có thể nói những phương pháp nêu ở trên đã phát huy rất tốt năng lực tư

duy, độc lập suy nghĩ cho học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi Các em đãtích cực hơn trong việc tham gia các hoạt động xác định hướng giải và tìm kiếmhướng giải cho các bài tập Qua đề tài này, kiến thức, kỹ năng của học sinh được

củng cố một cách vững chắc, sâu sắc; kết quả học tập của học sinh luôn đượcnâng cao Từ chỗ rất lúng túng khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, thì nay phầnlớn các em đã tự tin hơn, biết vận dụng những kỹ năng được bồi dưỡng để giảithành thạo các bài tập chứng minh mang tính phức tạp.

Việc phân dạng các bài toán chứng minh bất đẳng thức đã nêu ở trên nhằmmục đích bồi dưỡng và phát triển kiến thức kỹ năng cho học sinh vừa bền vững,vừa sâu sắc; phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học Học sinh có khảnăng tự tìm ra kiến thức, tự mình tham gia các hoạt động để củng cố vững chắckiến thức, rèn luyện được kỹ năng Sáng kiến kinh nghiệm còn tác động rất lớnđến việc phát triển tiềm lực trí tuệ, nâng cao năng lực tư duy độc lập và khả năngtìm tòi sáng tạo cho học sinh giỏi Tuy nhiên cần biết vận dụng các kỹ năng mộtcách hợp lý và biết kết hợp các kiến thức cơ bản cho từng bài tập cụ thể thì mớiđạt được kết quả cao

Trong quá trình giảng dạy tôi đã vận dụng đề tài này và rút ra một số kinhnghiệm thực hiện như sau:

- Giáo viên phải chuẩn bị thật kỹ nội dung cho mỗi dạng bài tập cần bồidưỡng cho học sinh Xây dựng được nguyên tắc và phương pháp giải các dạngbài toán đó

- Tiến trình bồi dưỡng kỹ năng được thực hiện theo hướng đảm bảo tính kếthừa và phát triển vững chắc Tôi thường bắt đầu từ một bài tập mẫu, hướng dẫnphân tích đầu bài cặn kẽ để học sinh xác định hướng giải và tự giải, từ đó các em

có thể rút ra phương pháp chung để giải các bài toán cùng loại Sau đó tôi tổ chứccho học sinh giải bài tập tương tự mẫu; phát triển vượt mẫu và cuối cùng nêu racác bài tập tổng hợp

- Mỗi dạng bài toán tôi đều đưa ra nguyên tắc nhằm giúp các em dễ nhậndạng loại bài tập và dễ vận dụng các kiến thức, kỹ năng một cách chính xác; hạnchế được những nhầm lẫn có thể xảy ra trong cách nghĩ và cách làm của hoc sinh

- Sau mỗi dạng tôi luôn chú trọng đến việc kiểm tra, đánh giá kết quả, sửachữa rút kinh nghiệm và nhấn mạnh những sai sót mà học sinh thường mắc

Đề tài này đã được bản thân tôi thí điểm cho các em học sinh có học lựckhá trở lên, kết quả thu được rất khả quan, các em học một cách say mê hứng thú,một số em đã đạt được những thành tích tốt trong học tập

Kinh mong lãnh đạo cấp trên, quý thầy cô giáo và đồng nghiệp góp ý bổsung để đề tài ngày một hoàn thiện hơn

Ý KIẾN CỦA HĐKH TRƯỜNG

Ý KIẾN CỦA HĐKH PHÒNG GD HUYỆN QUẢNG NINH